Топологический делитель нуля

В математике элемент $z$ банаховой алгебры $A$ называется топологическим делителем нуля, если существует последовательность $x_{1},x_{2},x_{3},...$ элементов $A$ такой, что

1. Последовательность $zx_{n}$ сходится к нулевому элементу, но
2. Последовательность $x_{n}$ не сходится к нулевому элементу.

Если такая последовательность существует, то можно предположить, что $\left\Vert \ x_{n}\right\|=1$ для всех $n$.

Если $A$ не коммутативен , то $z$ называется «левым» топологическим делителем нуля, и аналогичным образом можно определить «правые» топологические делители нуля.

Примеры

• Если $A$ имеет единичный элемент, то обратимые элементы $A$ образуют открытое подмножество $A$, а необратимые элементы являются дополнительным замкнутым подмножеством . Любая точка на границе между этими двумя множествами является одновременно левым и правым топологическим делителем нуля.
• В частности, любой квазинильпотентный элемент является топологическим делителем нуля (например, оператор Вольтерра ).
• Оператор в банаховом пространстве $X$, который является инъективным , а не сюръективным , но образ которого плотен в $X$, является левым топологическим делителем нуля.

Обобщение

Понятие топологического делителя нуля можно обобщить на любую топологическую алгебру . Если рассматриваемая алгебра не является счетной в первую очередь , необходимо заменить сетями последовательности, использованные в определении, .