Точка накопления

«Предельная точка» перенаправляется сюда. Информацию об использовании слова «точка» необязательно, см. в разделах « Предел (математика)» и «Предел (значения) § Математика» .

В математике — предельная точка , точка накопления или точка кластера множества . $S$ в топологическом пространстве $X$ это точка $x$ которое можно «аппроксимировать» точками $S$ в том смысле, что окрестность каждая $x$ содержит точку $S$ кроме $x$ сам. Предельная точка множества $S$ не обязательно должен быть элементом $S.$ Существует также близко связанная концепция последовательностей . Точка кластера или накопления последовательности точка $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ в топологическом пространстве $X$ это точка $x$ такой, что для каждой окрестности $V$ из $x,$ существует бесконечно много натуральных чисел $n$ такой, что $x_{n}\in V.$ Это определение кластера или точки накопления последовательности обобщается на сети и фильтры .

Аналогичное понятие предельной точки последовательности. (соответственно предельная точка фильтра , предельная точка сети ) по определению относится к точке, к которой сходится последовательность (соответственно, фильтр сходится к , сеть сходится к ). Важно отметить, что хотя «предельная точка набора» является синонимом «точки кластера/накопления набора», это неверно для последовательностей (а также сетей или фильтров). То есть термин «предельная точка последовательности» не является синонимом «точки кластеризации/накопления последовательности».

Предельные точки множества не следует путать с точками примыкания (также называемыми точками замыкания ), для которых каждая окрестность множества $x$ содержит некоторую точку $S$. В отличие от предельных точек, точка присоединения $x$ из $S$ может иметь окрестность, не содержащую точек, отличных от $x$ сам. Предельную точку можно охарактеризовать как точку присоединения, которая не является изолированной точкой .

Предельные точки множества также не следует путать с граничными точками . Например, $0$ является граничной точкой (но не предельной точкой) множества $\{0\}$ в $\mathbb {R}$ со стандартной топологией . Однако, $0.5$ является предельной точкой (но не граничной точкой) интервала $[0,1]$ в $\mathbb {R}$ со стандартной топологией (менее тривиальный пример предельной точки см. в первой подписи).

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и лежит в основе таких понятий, как замкнутое множество и топологическое замыкание . Действительно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, которая обогащает множество путем объединения его с его предельными точками.

По отношению к обычной евклидовой топологии последовательность рациональных чисел $x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}$ не имеет предела считаются предельными точками (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь ), а именно. -1 и +1. Таким образом, если рассматривать множества, эти точки являются предельными точками множества. $S=\{x_{n}\}.$

Определение

Очки накопления набора

Последовательность, перечисляющая все положительные рациональные числа . Каждое положительное действительное число является точкой кластера.

Позволять $S$ быть подмножеством топологического пространства $X.$ точка $x$ в $X$ является предельной точкой или точкой кластера или точка накопления набора $S$ если окрестность каждая $x$ содержит хотя бы одну точку $S$ отличается от $x$ сам.

Не будет никакой разницы, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения «общей окрестности», чтобы получить факты из известной предельной точки.

Если $X$ это $T_{1}$ пространстве (например, метрическом пространстве ), то $x\in X$ является предельной точкой $S$ тогда и только тогда, когда каждая окрестность $x$ содержит бесконечно много точек $S.$ Фактически, $T_{1}$ Пространства характеризуются этим свойством.

Если $X$ является пространством Фреше–Урысона (которым являются все метрические пространства и пространства с первой счетностью ), то $x\in X$ является предельной точкой $S$ тогда и только тогда, когда существует последовательность точек в $S\setminus \{x\}$ чей предел ​ $x.$ Фактически этим свойством характеризуются пространства Фреше–Урысона.

Набор предельных точек $S$ называется производным множеством $S.$

Особые типы точек накопления набора

Если каждая окрестность $x$ содержит бесконечно много точек $S,$ затем $x$ это особый тип предельной точки, называемый ω-точка накопления $S.$

Если каждая окрестность $x$ содержит бесчисленное множество точек $S,$ затем $x$ представляет собой особый тип предельной точки, называемый конденсации точкой $S.$

Если каждый район $U$ из $x$ такова, мощность что $U\cap S$ равна мощности $S,$ затем $x$ это особый тип предельной точки, называемый полная точка накопления $S.$

Точки накопления последовательностей и сетей

См. также: Сеть (математика) § Точка кластера сети и Точка кластера фильтра.

В топологическом пространстве $X,$ точка $x\in X$ Говорят, что это точка кластера или точка накопления последовательности $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ если для каждой окрестности $V$ из $x,$ их бесконечно много $n\in \mathbb {N}$ такой, что $x_{n}\in V.$ Это эквивалентно тому, что для каждой окрестности $V$ из $x$ и каждый $n_{0}\in \mathbb {N} ,$ есть некоторые $n\geq n_{0}$ такой, что $x_{n}\in V.$ Если $X$ является метрическим пространством или пространством первой счетности (или, в более общем смысле, пространством Фреше–Урысона ), тогда $x$ является точкой кластера $x_{\bullet }$ тогда и только тогда, когда $x$ является пределом некоторой подпоследовательности $x_{\bullet }.$ Набор всех точек кластера последовательности иногда называют предельным набором .

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности, обозначающее точку. $x$ к которому сходится последовательность (т. е. каждая окрестность $x$ содержит все элементы последовательности, кроме конечного числа). Поэтому мы не используем термин « предельная точка последовательности» как синоним точки накопления последовательности.

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть — это функция $f:(P,\leq )\to X,$ где $(P,\leq )$ представляет собой направленное множество и $X$ является топологическим пространством. точка $x\in X$ Говорят, что это точка кластера или точка накопления сети $f$ если для каждой окрестности $V$ из $x$ и каждый $p_{0}\in P,$ есть некоторые $p\geq p_{0}$ такой, что $f(p)\in V,$ эквивалентно, если $f$ имеет подсеть , которая сходится к $x.$ Точки кластера в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления. кластеризация и предельные точки также определены Для фильтров .

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора

Каждая последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ в $X$ по определению это просто карта $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ так что его изображение $\operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}$ можно определить обычным способом.

• Если существует элемент $x\in X$ которое встречается бесконечно много раз в последовательности, $x$ является точкой накопления последовательности. Но $x$ не обязательно должна быть точкой накопления соответствующего множества $\operatorname {Im} x_{\bullet }.$ Например, если последовательность представляет собой постоянную последовательность со значением $x,$ у нас есть $\operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}$ и $x$ представляет собой изолированную точку $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ а не точка накопления $\operatorname {Im} x_{\bullet }.$

• Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечное количество раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является точкой $\omega$-точка накопления связанного набора $\operatorname {Im} x_{\bullet }.$

Обратно, учитывая счетное бесконечное множество $A\subseteq X$ в $X,$ мы можем перечислить все элементы $A$ во многих отношениях, даже с повторами, и, таким образом, связывать с ним множество последовательностей $x_{\bullet }$ это удовлетворит $A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.$

• Любой $\omega$- точка накопления $A$ является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечное число элементов $A$ и, следовательно, также бесконечно много членов в любой ассоциированной последовательности).

• точка $x\in X$ это не ​ $\omega$- точка накопления $A$ не может быть точкой накопления какой-либо из связанных последовательностей без бесконечных повторов (поскольку $x$ имеет окрестность, содержащую лишь конечное число (возможно, даже ни одной) точек $A$ и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей).

Свойства

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности.И по определению каждая предельная точка является точкой присоединения .

Закрытие $\operatorname {cl} (S)$ из набора $S$ представляет собой несвязное объединение своих предельных точек $L(S)$ и изолированные точки $I(S)$; то есть,

$$\operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .$$

точка $x\in X$ является предельной точкой $S\subseteq X$ тогда и только тогда, когда оно находится закрытии в $S\setminus \{x\}.$

Доказательство

Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки соответствует этому множеству. Сейчас, $x$ является предельной точкой $S,$ тогда и только тогда, когда каждая окрестность $x$ содержит точку $S$ кроме $x,$ тогда и только тогда, когда каждая окрестность $x$ содержит точку $S\setminus \{x\},$ тогда и только тогда, когда $x$ находится в закрытии $S\setminus \{x\}.$

Если мы используем $L(S)$ для обозначения множества предельных точек $S,$ то мы имеем следующую характеристику замыкания $S$: Закрытие $S$ равно объединению $S$ и $L(S).$ факт иногда принимают за определение замыкания Этот .

Доказательство

(«Левое подмножество») Предположим $x$ находится в закрытии $S.$ Если $x$ находится в $S,$ мы закончили. Если $x$ не в $S,$ тогда каждое соседство $x$ содержит точку $S,$ и этого пункта быть не может $x.$ Другими словами, $x$ является предельной точкой $S$ и $x$ находится в $L(S).$

(«Правое подмножество») Если $x$ находится в $S,$ тогда каждое соседство $x$ явно соответствует $S,$ так $x$ находится в закрытии $S.$ Если $x$ находится в $L(S),$ тогда каждое соседство $x$ содержит точку $S$ (кроме $x$), так $x$ снова находится в закрытии $S.$ Это завершает доказательство.

Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество $S$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство

Доказательство 1: $S$ закрыто тогда и только тогда, когда $S$ равно его замыканию тогда и только тогда, когда $S=S\cup L(S)$ тогда и только тогда, когда $L(S)$ содержится в $S.$

Доказательство 2: Пусть $S$ быть замкнутым множеством и $x$ предельная точка $S.$ Если $x$ не в $S,$ тогда дополнение к $S$ включает в себя открытую окрестность $x.$ С $x$ является предельной точкой $S,$ любое открытое окружение $x$ должно иметь нетривиальное пересечение с $S.$ Однако множество не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. И наоборот, предположим $S$ содержит все свои предельные точки. Покажем, что дополнение $S$ представляет собой открытое множество. Позволять $x$ быть точкой в ​​дополнении $S.$ По предположению, $x$ не является предельной точкой и, следовательно, существует открытая окрестность $U$ из $x$ это не пересекается $S,$ и так $U$ целиком лежит в дополнении $S.$ Поскольку этот аргумент справедлив для произвольного $x$ в дополнении $S,$ дополнение $S$ может быть выражено как объединение открытых окрестностей точек дополнения $S.$ Следовательно, дополнение $S$ открыт.

Ни одна изолированная точка не является предельной точкой любого множества.

Доказательство

Если $x$ является изолированной точкой, то $\{x\}$ это район $x$ который не содержит никаких точек, кроме $x.$

Пространство $X$ дискретно тогда и только тогда , когда нет подмножества $X$ имеет предельную точку.

Доказательство

Если $X$ дискретна, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой какого-либо множества. И наоборот, если $X$ не дискретен, то существует синглтон $\{x\}$ это не открыто. Следовательно, каждая открытая окрестность $\{x\}$ содержит точку $y\neq x,$ и так $x$ является предельной точкой $X.$

Если пространство $X$ имеет тривиальную топологию и $S$ является подмножеством $X$ с более чем одним элементом, то все элементы $X$ являются предельными точками $S.$ Если $S$ является синглтоном, то каждая точка $X\setminus S$ является предельной точкой $S.$

Доказательство

Пока $S\setminus \{x\}$ непусто, его замыкание будет $X.$ Оно пусто только тогда, когда $S$ пуст или $x$ является уникальным элементом $S.$

См. также

• Точка присоединения - точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Точка конденсации – более сильный аналог предельной точки. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Конвергентный фильтр – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Производный набор (математика) – набор всех предельных точек набора. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Изолированная точка - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Предел функции - точка, к которой сходятся функции при анализе.
• Предел последовательности - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Последующий предел - предел некоторой подпоследовательности.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• «Предельная точка множества» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]