Фильтры в топологии

Решетка силового набора набора $X:=\{1,2,3,4\},$ с верхним комплектом $\{1,4\}^{\uparrow X}$ окрашены в темно-зеленый цвет. Это фильтр , и даже главный фильтр . Это не ультрафильтр , так как его можно расширить до более крупного нетривиального фильтра. $\{1\}^{\uparrow X}$ включив также светло-зеленые элементы. Потому что $\{1\}^{\uparrow X}$ дальше продолжаться не может, это ультрафильтр.

Фильтры в топологии , подобласти математики , можно использовать для изучения топологических пространств и определения всех основных топологических понятий, таких как сходимость, непрерывность , компактность и многое другое. Фильтры , которые представляют собой специальные некоторого заданного семейства подмножеств набора, также обеспечивают общую основу для определения различных типов пределов функций, таких как пределы слева/справа, до бесконечности, до точки или набора и многих других. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают многими полезными техническими свойствами, и их часто можно использовать вместо произвольных фильтров.

Фильтры имеют обобщения, называемые префильтрами (также известными как базы фильтров ) и подбазы фильтров , которые естественным образом и неоднократно появляются в топологии. Примеры включают фильтры соседства / базы/подбазы и единообразия . Каждый фильтр является предварительным фильтром, и оба являются подосновами фильтров. Каждый префильтр и подбаза фильтров содержатся в уникальном наименьшем фильтре, который, как говорят, они генерируют . Это устанавливает взаимосвязь между фильтрами и предфильтрами, которую часто можно использовать, чтобы позволить использовать любое из этих двух понятий, которое технически более удобно. существует определенный предпорядок , обозначаемый В семействах множеств $\,\leq ,\,$ это помогает точно определить, когда и как одно понятие (фильтр, префильтр и т. д.) можно или нельзя использовать вместо другого. Важность этого предзаказа усиливается тем фактом, что он также определяет понятие сходимости фильтров, где по определению фильтр (или префильтр) ${\mathcal {B}}$ сходится к точке тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},$ где ${\mathcal {N}}$ этой точки это фильтр окрестности . Следовательно, подчинение также играет важную роль во многих понятиях, связанных со сходимостью, таких как точки кластеризации и пределы функций. Кроме того, отношение ${\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},$ что обозначает ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}$ и выражается в том, что ${\mathcal {S}}$ находится в подчинении ${\mathcal {B}},$ также устанавливает отношения, в которых ${\mathcal {S}}$ это ${\mathcal {B}}$ как подпоследовательность относится к последовательности (т. е. отношение $\geq ,$ которое называется подчинением , для фильтров является аналогом «является подпоследовательностью»).

Фильтры были представлены Анри Картаном в 1937 году. и впоследствии использован Бурбаки в их книге «Общая топология» как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Х. Муром и Х. Л. Смитом . Фильтры также можно использовать для характеристики понятий последовательности и сетевой сходимости. Но в отличие от определяется сходимость последовательностей и сетей, сходимость фильтров полностью в терминах подмножеств топологического пространства. $X$ и таким образом, это дает понятие конвергенции, которое полностью присуще топологическому пространству; действительно, категория топологических пространств может быть эквивалентным образом полностью определена в терминах фильтров . Каждая сеть порождает канонический фильтр, и, двойственно, каждый фильтр порождает каноническую сеть, где эта индуцированная сеть (соответственно индуцированный фильтр) сходится к точке тогда и только тогда, когда то же самое верно для исходного фильтра (соответственно сети). Эта характеристика также справедлива для многих других определений, таких как точки кластера. Эти отношения позволяют переключаться между фильтрами и сетями, а также часто позволяют выбирать, какое из этих двух понятий (фильтр или сеть) более удобно для рассматриваемой задачи. Однако если предположить, что « подсеть » определяется с использованием любого из наиболее популярных определений (которые даны Уиллардом и Келли ), то в целом эта связь не распространяется на подчиненные фильтры и подсети, поскольку, как подробно описано ниже , существуют подчиненные фильтры и подсети. фильтры, у которых взаимосвязь фильтр/подчиненный-фильтр не может быть описана в терминах соответствующей взаимосвязи сеть/подсеть; Однако эту проблему можно решить, используя менее часто встречающееся определение «подсети», то есть AA – подсеть .

Таким образом, фильтры/предварительные фильтры и этот единственный предварительный заказ $\,\leq \,$ обеспечить структуру, которая легко связывает воедино фундаментальные топологические концепции, такие как топологические пространства ( через фильтры окрестности ), базы соседства , сходимость , различные пределы функций , непрерывность, компактность , последовательности (через последовательные фильтры ), фильтр, эквивалентный «подпоследовательности» (подчинение) ), унифицированные пространства и многое другое; концепции, которые в противном случае кажутся относительно несопоставимыми и отношения которых менее ясны.

Мотивация

Архетипический пример фильтра

См. Также: Фильтр (теория множеств)

Типичным . примером фильтра является фильтр соседства ${\mathcal {N}}(x)$ в какой-то момент $x$ в топологическом пространстве $(X,\tau ),$ которое представляет собой семейство множеств, состоящее из всех окрестностей $x.$ По определению, окрестность некоторой данной точки $x$ это любое подмножество $B\subseteq X$ которого топологическая внутренность содержит эту точку; то есть такой, что $x\in \operatorname {Int} _{X}B.$ Важно отметить, что окрестности не обязательно должны быть открытыми множествами; это так называемые открытые районы . Ниже перечислены те фундаментальные свойства фильтров соседства, которые в конечном итоге стали определением «фильтра». Фильтр включен $X$ это набор ${\mathcal {B}}$ подмножеств $X$ который удовлетворяет всем следующим условиям:

1. Не пусто : $X\in {\mathcal {B}}$ - так же, как $X\in {\mathcal {N}}(x),$ с $X$ всегда является окрестностью $x$ (и всего остального, что он содержит);
2. Не содержит пустой набор : $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$ – так же, как никакое соседство $x$ пусто;
3. Закрыто при конечных пересечениях : Если $B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}B\cap C\in {\mathcal {B}}$ – так же, как пересечение любых двух окрестностей $x$ снова район $x$;
4. Вверх закрыто : Если $B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}B\subseteq S\subseteq X$ затем $S\in {\mathcal {B}}$ – так же, как любое подмножество $X$ который содержит окрестность $x$ обязательно будет окрестностью $x$ (это следует из $\operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S$ и определение «района $x$").

Обобщение сходимости последовательностей с использованием множеств — определение сходимости последовательности без последовательности

См. Также: Предел последовательности и Net (математика).

Последовательность ​ в $X$ это по определению карта $\mathbb {N} \to X$ из натуральных чисел в пространство $X.$ Первоначальное понятие сходимости в топологическом пространстве заключалось в том, что последовательность сходится к некоторой заданной точке пространства, например метрического пространства . В случае метризуемых пространств (или, в более общем смысле, пространств с первой счетностью или пространств Фреше-Урысона ), последовательностей обычно достаточно, чтобы охарактеризовать или «описать» большинство топологических свойств, таких как замыкание подмножеств или непрерывность функций. Но существует множество пространств, где последовательности нельзя использовать для описания даже базовых топологических свойств, таких как замыкание или непрерывность. Эта неудача с последовательностями послужила мотивацией для определения таких понятий, как сети и фильтры, которые всегда характеризуют топологические свойства.

Сети напрямую обобщают понятие последовательности, поскольку сети по определению являются отображениями. $I\to X$ из произвольного направленного множества $(I,\leq )$ в космос $X.$ Последовательность — это просто сеть, домен которой $I=\mathbb {N}$ с естественным порядком. Сети имеют собственное понятие сходимости , которое является прямым обобщением сходимости последовательностей.

Фильтры обобщают сходимость последовательностей другим способом, рассматривая только значения последовательности. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X,$ что по определению является просто функцией $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ чья стоимость в $i\in \mathbb {N}$ обозначается $x_{i}$ а не обычным обозначением в круглых скобках $x_{\bullet }(i)$ который обычно используется для произвольных функций. Зная только изображение (иногда называемое «диапазоном») $\operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}$ последовательности недостаточно, чтобы охарактеризовать ее сходимость; необходимо несколько наборов. Оказывается, что нужные наборы следующие: которые называются хвостами последовательности $x_{\bullet }$: $${\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

Эти множества полностью определяют сходимость (или несходимость) этой последовательности, поскольку для любой точки эта последовательность сходится к ней тогда и только тогда, когда для каждой окрестности $U$ (этой точки) существует некоторое целое число $n$ такой, что $U$ содержит все точки $x_{n},x_{n+1},\ldots .$ Это можно перефразировать как:

каждый район $U$ должен содержать некоторый набор вида $\{x_{n},x_{n+1},\ldots \}$ как подмножество.

Или короче: в каждой окрестности должен быть какой-то хвост. $x_{\geq n}$ как подмножество. Именно эту характеристику можно использовать с приведенным выше семейством хвостов для определения сходимости (или несходимости) последовательности $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.$ В частности, с семейством множеств $\{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}$ в руке функция $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ больше не требуется определять сходимость этой последовательности (независимо от того, какая топология размещена на $X$). Обобщая это наблюдение, понятие «сходимости» можно распространить на последовательности/функции на семейства множеств.

Вышеупомянутый набор хвостов последовательности, как правило, не является фильтром, но он « генерирует » фильтр путем восходящего замыкания (которое состоит из всех надмножеств всех хвостов). То же самое относится и к другим важным семействам множеств, таким как любой базис окрестности в данной точке, который, как правило, также не является фильтром, но порождает фильтр посредством своего замыкания вверх (в частности, он генерирует фильтр окрестности в этой точке). . Свойства, которыми обладают эти семейства, привели к понятию базы фильтра , также называемой префильтром , который по определению представляет собой любое семейство, имеющее минимальные свойства, необходимые и достаточные для того, чтобы сгенерировать фильтр путем его замыкания вверх .

Сети против фильтров – преимущества и недостатки

У фильтров и сетей есть свои преимущества и недостатки, и нет причин использовать одно понятие исключительно над другим. В зависимости от того, что доказывается, доказательство можно существенно упростить, если использовать одно из этих понятий вместо другого. И фильтры, и сети могут использоваться для полной характеристики любой заданной топологии . Сети являются прямым обобщением последовательностей и часто могут использоваться аналогично последовательностям, поэтому кривая обучения для сетей обычно гораздо менее крутая, чем для фильтров. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют гораздо больше применений за пределами топологии, например, в теории множеств , математической логике , теории моделей ( ультрапроизведения например, ), абстрактной алгебре , комбинаторика , динамика , теории порядка , обобщенных пространствах сходимости , пространствах Коши , а также в определении и использовании гипердействительных чисел .

Как и последовательности, сети являются функциями и поэтому имеют преимущества функций . Например, как и последовательности, сети могут быть «подключены» к другим функциям, где «подключение» — это просто композиция функций . Теоремы, связанные с функциями и композицией функций, затем могут быть применены к сетям. Одним из примеров является универсальное свойство обратных пределов , которое определяется в терминах композиции функций, а не множеств, и его легче применять к таким функциям, как сети, чем к множествам, таким как фильтры (ярким примером обратного предела является декартово произведение ). . В определенных ситуациях использование фильтров может оказаться неудобным, например, при переключении между фильтрами в пространстве. $X$ и фильтр на плотном подпространстве $S\subseteq X.$

В отличие от сетей, фильтры (и предварительные фильтры) представляют собой семейства множеств и поэтому имеют преимущества множеств . Например, если $f$ сюръективно, то изображение $f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}$ под $f^{-1}$ произвольного фильтра или префильтра ${\mathcal {B}}$ легко определяется и гарантированно является предварительным фильтром для $f$домен, тогда как менее понятно, как откатить (однозначно/без выбора ) произвольную последовательность (или сеть) $y_{\bullet }$ чтобы получить последовательность или сеть в домене (если только $f$ также инъективен и, следовательно, является биекцией, что является строгим требованием). Точно так же пересечение любого набора фильтров снова является фильтром, хотя неясно, что это может означать для последовательностей или сетей. Потому что фильтры состоят из подмножеств самого топологического пространства. $X$ то, что находится на рассмотрении, топологические операции над множествами (такие как замыкание или внутреннее ) могут применяться к множествам, составляющим фильтр. Замыкание всех множеств в фильтре иногда полезно, в функциональном анализе например, . Теоремы и результаты об образах или прообразах множеств под действием функции также могут быть применены к множествам, составляющим фильтр; примером такого результата может быть одна из характеристик непрерывности в терминах прообразов открытых/замкнутых множеств или в терминах внутренних операторов/замыкания. Специальные типы фильтров, называемые ультрафильтрами, обладают множеством полезных свойств, которые могут существенно помочь в подтверждении результатов. Одним из недостатков сетей является их зависимость от направленных множеств, составляющих их области действия, которые в целом могут быть совершенно не связаны с пространством. $X.$ Действительно, класс сетей в данном множестве $X$ слишком велик, чтобы быть набором (это правильный класс ); это потому, что сети в $X$ может иметь домены любой мощности . Напротив, коллекция всех фильтров (и всех предфильтров) на $X$ множество, мощность которого не превышает мощности $\wp (\wp (X)).$ Подобно топологии на $X,$ фильтр включен $X$ является «присущим $X$«в том смысле, что обе структуры целиком состоят из подмножеств $X$ и ни одно из определений не требует какого-либо множества, которое нельзя построить из $X$ (такой как $\mathbb {N}$ или другие направленные множества, необходимые для последовательностей и сетей).

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия

Основная статья: Фильтр (теория множеств)

В этой статье латинские буквы в верхнем регистре, например $S{\text{ and }}X$ обозначают множества (но не семейства, если не указано иное) и $\wp (X)$ будет обозначать мощности набор $X.$ Подмножество степенного множества называется семейством множеств (или просто семейством ), где оно находится над $X$ если это подмножество $\wp (X).$ Семейства наборов будут обозначаться заглавными каллиграфическими буквами, например: ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.$ Всякий раз, когда необходимы эти предположения, следует предполагать, что $X$ непусто и что ${\mathcal {B}},{\mathcal {F}},$ и т. д. являются семействами множеств над $X.$

Термины «предварительный фильтр» и «основа фильтра» являются синонимами и будут использоваться как взаимозаменяемые.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. К ним относятся некоторые из наиболее важных терминов, таких как «фильтр». Хотя разные определения одного и того же термина обычно существенно совпадают из-за очень технической природы фильтров (и топологии набора точек), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы читателям рекомендуется проверять, как терминология, относящаяся к фильтрам, определяется автором. По этой причине в этой статье будут четко изложены все определения по мере их использования. К сожалению, не все обозначения, относящиеся к фильтрам, хорошо известны, а некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например, обозначение набора всех предфильтров в наборе), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые наиболее легко описываются или легко поддаются описанию. вспомнил.

Теория фильтров и предфильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы не допустить, чтобы эта статья стала многословной и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны ниже.

Устанавливает операции

The закрытие или изотонизация вверх $X$ из семейства наборов ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ является

${\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}$

и аналогично вниз закрытие ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).$

Обозначения и определения	Имя
$\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$	Ядро ​ ${\mathcal {B}}$
$S\setminus {\mathcal {B}}:=\{S\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\}=\{S\}\,(\setminus )\,{\mathcal {B}}$	Двойной из ${\mathcal {B}}{\text{ in }}S$ где $S$ это набор.
${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\}={\mathcal {B}}\,(\cap )\,\{S\}$	След ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ или ограничение ${\mathcal {B}}{\text{ to }}S$ где $S$ представляет собой набор; иногда обозначается ${\mathcal {B}}\cap S$
${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {C}}=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$	Поэлементное ( множество ) пересечение ( ${\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}$ будет обозначать обычный перекрёсток)
${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {C}}=\{B\cup C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$	Поэлементное ( множество ) объединение ( ${\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}$ будет обозначать обычный союз)
${\mathcal {B}}\,(\setminus )\,{\mathcal {C}}=\{B\setminus C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$	Поэлементное ( set ) вычитание ( ${\mathcal {B}}\setminus {\mathcal {C}}$ будет обозначать обычное вычитание множества )
$\wp (X)=\{S~:~S\subseteq X\}$	Силовой набор набора $X$

Для любых двух семей ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},$ заявить, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда для каждого $C\in {\mathcal {C}}$ существует какой-то $F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,$ в этом случае говорят, что ${\mathcal {C}}$ грубее , чем ${\mathcal {F}}$ и это ${\mathcal {F}}$ тоньше ( или подчиняется ) ${\mathcal {C}}.$ Обозначения ${\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$ также может использоваться вместо ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.$

Если ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}$ затем ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ Говорят, что они равнозначные (по подчинению).

Две семьи ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка , написано ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},$ если $B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.$

Через, $f$ это карта.

Обозначения и определения	Имя
$f^{-1}({\mathcal {B}})=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}$	Изображение ​ ${\mathcal {B}}{\text{ under }}f^{-1},$ или прообраз ​ ${\mathcal {B}}$ под $f$
$f({\mathcal {B}})=\{f(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\}$	Изображение ​ ${\mathcal {B}}$ под $f$
$\operatorname {image} f=f(\operatorname {domain} f)$	Изображение (или диапазон) $f$

Обозначение топологии

Обозначим множество всех топологий на множестве $X{\text{ by }}\operatorname {Top} (X).$ Предполагать $\tau \in \operatorname {Top} (X),$ $S\subseteq X$ любое подмножество, и $x\in X$ это любая точка.

Обозначения и определения	Имя
$\tau (S)=\{O\in \tau ~:~S\subseteq O\}$	Установить или префильтр кварталов открытых ​ $S{\text{ in }}(X,\tau )$
$\tau (x)=\{O\in \tau ~:~x\in O\}$	Набор или предварительный фильтр открытых окрестностей $x{\text{ in }}(X,\tau )$
${\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\mathcal {N}}(S):=\tau (S)^{\uparrow X}$	Установить или отфильтровать районов ​ ​ $S{\text{ in }}(X,\tau )$
${\mathcal {N}}_{\tau }(x)={\mathcal {N}}(x):=\tau (x)^{\uparrow X}$	Установить или отфильтровать окрестности $x{\text{ in }}(X,\tau )$

Если $\varnothing \neq S\subseteq X$ затем $\tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ and }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).$

Сети и их хвосты

– Ориентированное множество это множество $I$ вместе с предзаказом , который будет обозначаться $\,\leq \,$ (если явно не указано иное), что делает $(I,\leq )$ в ( вверх ) направленное множество ; это означает, что для всех $i,j\in I,$ существует какой-то $k\in I$ такой, что $i\leq k{\text{ and }}j\leq k.$ Для любых индексов $i{\text{ and }}j,$ обозначение $j\geq i$ определяется как означает $i\leq j$ пока $i<j$ определяется как означает, что $i\leq j$ имеет место, но это неправда , что $j\leq i$ (если $\,\leq \,$ антисимметричен , то это эквивалентно $i\leq j{\text{ and }}i\neq j$).

Сеть ​ в $X$ есть отображение непустого направленного множества в $X.$ Обозначения $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ будет использоваться для обозначения сети с доменом $I.$

Обозначения и определения	Имя
$I_{\geq i}=\{j\in I~:~j\geq i\}$	Хвост или часть $I$ начиная с $i\in I$ где $(I,\leq )$ представляет собой направленное множество .
$x_{\geq i}=\left\{x_{j}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in I\right\}$	Хвост или часть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ начиная с $i\in I$
$\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$	Установить или хвостов / секций предварительный фильтр $x_{\bullet }.$ Также называется базой фильтра событий, генерируемой (хвостами) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}.$ Если $x_{\bullet }$ это последовательность, то $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ еще называют последовательная база фильтра .
$\operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)^{\uparrow X}$	( Случайность ) фильтр /сгенерирован (хвосты) $x_{\bullet }$
$f\left(I_{\geq i}\right)=\{f(j)~:~j\geq i{\text{ and }}j\in I\}$	Хвост или часть сети $f:I\to X$ начиная с $i\in I$ где $(I,\leq )$ представляет собой направленное множество.

Предупреждение об использовании строгого сравнения

Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой сеть и $i\in I$ тогда это возможно для набора $x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},$ который называется хвостом $x_{\bullet }$ после $i$, быть пустым (например, это происходит, если $i$ является верхней границей множества ориентированного $I$). В этом случае семья $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}$ будет содержать пустой набор, что не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина определения $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ как $\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ скорее, чем $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}$ или даже $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ и именно по этой причине, вообще говоря, когда речь идет о предварительном фильтре хвостов сети, строгое неравенство $\,<\,$ не может использоваться взаимозаменяемо с неравенством $\,\leq .$

Фильтры и префильтры

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Основная статья: Фильтр (теория множеств)

Ниже приводится список недвижимости, которую семья ${\mathcal {B}}$ наборов могут обладать и формируют определяющие свойства фильтров, предфильтров и подбаз фильтров. Всякий раз, когда это необходимо, следует исходить из того, что ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).$

Семейство наборов ${\mathcal {B}}$ является:

1. Правильный или невырожденный, если $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}.$ В противном случае, если $\varnothing \in {\mathcal {B}},$ тогда это называется неправильным или деградировать .
2. Направлен вниз если когда-нибудь $A,B\in {\mathcal {B}}$ тогда существует некоторый $C\in {\mathcal {B}}$ такой, что $C\subseteq A\cap B.$
   • Это свойство можно охарактеризовать с точки зрения направленности , что объясняет слово «направленный»: Бинарное отношение $\,\preceq \,$ на ${\mathcal {B}}$ называется направленным (вверх), если для любых двух $A{\text{ and }}B,$ есть некоторые $C$ удовлетворяющий $A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.$ С использованием $\,\supseteq \,$ вместо $\,\preceq \,$ дает определение направленности вниз, тогда как использование $\,\subseteq \,$ вместо этого дает определение направленного вверх . Явно, ${\mathcal {B}}$ направлен вниз (соответственно направлен вверх ) тогда и только тогда, когда для всех $A,B\in {\mathcal {B}},$ существует нечто «большее» $C\in {\mathcal {B}}$ такой, что $A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C$ (соответственно такой, что $A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C$) − где «большой» элемент всегда находится справа, — что можно переписать как $A\cap B\supseteq C$ (соответственно как $A\cup B\subseteq C$).
3. Замкнуто относительно конечных пересечений (соответственно объединений ), если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементов ${\mathcal {B}}$ является элементом ${\mathcal {B}}.$
   • Если ${\mathcal {B}}$ замкнуто относительно конечных пересечений, то ${\mathcal {B}}$ обязательно направлен вниз. Обратное утверждение обычно неверно.
4. Закрыто вверх или Isotone в $X$ если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ или, что то же самое, если всякий раз, когда $B\in {\mathcal {B}}$ и некоторый набор $C$ удовлетворяет $B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.$ Сходным образом, ${\mathcal {B}}$ закрыто вниз, если ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.$ Закрытый сет вверх (соответственно вниз) также называется верхним сетом или сетом (соответственно нижний сет или даун сет ).
   • Семья ${\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ что представляет собой закрытие вверх ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X,$ является единственным наименьшим (по отношению к $\,\subseteq$) изотонное семейство множеств над $X$ имея ${\mathcal {B}}$ как подмножество.

Многие свойства ${\mathcal {B}}$ определенные выше и ниже, такие как «собственный» и «направленный вниз», не зависят от $X,$ так что упомянув набор $X$ не является обязательным при использовании таких терминов. Определения, включающие «закрытие вверх в $X,$", например, "фильтровать по $X,$"зависят от $X$ итак, набор $X$ следует упомянуть, если это не ясно из контекста.

Семья ${\mathcal {B}}$ есть/есть a(n):

1. Идеально если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ замкнуто вниз и замкнуто относительно конечных объединений.
2. Двойной идеал на $X$ если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ закрыто вверх $X$ а также замкнуто относительно конечных пересечений. Эквивалентно, ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ является двойственным идеалом, если для всех $R,S\subseteq X,$ $R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.$
   • Объяснение слова «двойной»: Семья. ${\mathcal {B}}$ является двойственным идеалом (соответственно идеалом) на $X$ тогда и только тогда, когда двойственное ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X,$ что такое семья $$X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},$$ является идеалом (соответственно двойственным идеалом) на $X.$ Другими словами, дуальный идеал означает « двойственный идеалу » . Двойственное двойственному – это первоначальная семья, т.е. $X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.$
3. Фильтровать ​ $X$ если ${\mathcal {B}}$ является собственным дуальным идеалом на $X.$ То есть фильтр на $X$ является непустым подмножеством $\wp (X)\setminus \{\varnothing \}$ замкнутое относительно конечных пересечений и замкнутое вверх в $X.$ Аналогично, это предварительный фильтр, закрывающийся вверх. $X.$ Другими словами, фильтр на $X$ это семейство множеств над $X$ что (1) не пусто (или, что то же самое, оно содержит $X$), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверх в $X,$ и (4) не имеет пустого множества в качестве элемента.
   • Предупреждение : некоторые авторы, особенно алгебраисты, используют слово «фильтр» для обозначения двойственного идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного / невырожденного двойственного идеала. Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы. Однако определения «ультрафильтра», «предфильтра» и «подбазы фильтра» всегда требуют невырожденности . В этой статье используется Анри Картаном . оригинальное определение «фильтра», данное что требовало невырожденности.
   • Набор мощности $\wp (X)$ является единственным двойственным идеалом $X$ это тоже не фильтр. Исключая $\wp (X)$ из определения «фильтра» в топологии имеет то же преимущество, что и исключение $1$ из определения « простого числа »: оно избавляет от необходимости указывать «невырожденное» (аналог «неединичного » или «невырожденного» $1$") во многих важных результатах, тем самым делая их утверждения менее неуклюжими.
4. Предварительный фильтр или основание фильтра если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ правильная и направлена ​​вниз. Эквивалентно, ${\mathcal {B}}$ называется предфильтром, если его закрытие вверх ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ является фильтром. Его также можно определить как любое семейство, эквивалентное некоторому фильтру . Правильная семья ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ является предфильтром тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.$ Семейство является предфильтром тогда и только тогда, когда то же самое верно и для его восходящего замыкания.
   • Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр, то его закрытие вверх ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ является уникальным наименьшим (относительно $\subseteq$) фильтровать $X$ содержащий ${\mathcal {B}}$ и он называется фильтром, сгенерированным ${\mathcal {B}}.$ Фильтр ${\mathcal {F}}$ Говорят, что он генерируется предварительным фильтром ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ в котором ${\mathcal {B}}$ называется базой фильтра для ${\mathcal {F}}.$
   • В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно замкнут при конечных пересечениях.
5. π –система, если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ замкнуто относительно конечных пересечений. Каждая непустая семья ${\mathcal {B}}$ содержится в единственной наименьшей π –системе, называемой π –системой , порожденной ${\mathcal {B}},$ который иногда обозначают $\pi ({\mathcal {B}}).$ Она равна пересечению всех π –систем, содержащих ${\mathcal {B}}$ а также множеству всех возможных конечных пересечений множеств из ${\mathcal {B}}$: $$\pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.$$
   • π . –система является префильтром тогда и только тогда, когда она собственная Каждый фильтр является собственной π -системой, а каждая правильная π -система является префильтром, но обратное, вообще говоря, неверно.
   • Предварительный фильтр эквивалентен - системе порожденной им π , и оба этих семейства генерируют один и тот же фильтр на $X.$
6. Основание фильтра и по центру если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ и ${\mathcal {B}}$ удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
   1. ${\mathcal {B}}$ обладает свойством конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или нескольких) множеств в ${\mathcal {B}}$ не пуст; явно это означает, что всякий раз, когда $n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}$ затем $\varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.$
   2. π –система , порожденная ${\mathcal {B}}$ является правильным; то есть, $\varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).$
   3. π –система , порожденная ${\mathcal {B}}$ является предфильтром.
   4. ${\mathcal {B}}$ является подмножеством некоторого префильтра.
   5. ${\mathcal {B}}$ является подмножеством некоторого фильтра.
   • Предположим, что ${\mathcal {B}}$ это подоснова фильтра. Тогда существует единственный наименьший (относительно $\subseteq$) фильтр ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ содержащий ${\mathcal {B}}$ назвал фильтр, созданный ${\mathcal {B}}$, и ${\mathcal {B}}$ Говорят, что это подоснова фильтра для этого фильтра. Этот фильтр равен пересечению всех фильтров на $X$ это суперсеты ${\mathcal {B}}.$ π –система , порожденная ${\mathcal {B}},$ обозначается $\pi ({\mathcal {B}}),$ будет префильтром и подмножеством ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.$ Более того, фильтр, созданный ${\mathcal {B}}$ равно закрытию вверх $\pi ({\mathcal {B}}),$ значение $\pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.$ Однако, ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр (хотя ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ всегда является закрытым вверх основанием фильтра для ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$).
   • А $\subseteq$ – наименьший (то есть наименьший по отношению к $\subseteq$ ) предварительный фильтр, содержащий подбазу фильтра ${\mathcal {B}}$ будет существовать только при определенных обстоятельствах. Оно существует, например, если подоснова фильтра ${\mathcal {B}}$ бывает еще и предфильтр. Оно также существует, если фильтр (или, что то же самое, π –система), порожденный ${\mathcal {B}}$ является основным , и в этом случае ${\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}$ это уникальный наименьший префильтр, содержащий ${\mathcal {B}}.$ В противном случае, в общем, $\subseteq$ – наименьший предварительный фильтр, содержащий ${\mathcal {B}}$ может не существовать. По этой причине некоторые авторы могут ссылаться на π –систему, порожденную ${\mathcal {B}}$ как предварительный фильтр, созданный ${\mathcal {B}}.$ Однако, если $\subseteq$ – наименьший префильтр существует (скажем, он обозначается $\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}$) то, вопреки обычным ожиданиям, он не обязательно равен " префильтру, сгенерированному ${\mathcal {B}}$" (то есть, $\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})$ возможно). А если подоснова фильтра ${\mathcal {B}}$ случается, что это также предварительный фильтр, но не π -система, тогда, к сожалению, « префильтр, порожденный этим предварительным фильтром » (имеется в виду $\pi ({\mathcal {B}})$) не будет ${\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}$ (то есть, $\pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}$ возможно, даже когда ${\mathcal {B}}$ является префильтром), поэтому в данной статье будет отдана предпочтение точной и однозначной терминологии « π –система, порожденная ${\mathcal {B}}$".
7. Субфильтр фильтра ${\mathcal {F}}$ и это ${\mathcal {F}}$ это суперфильтр ​ ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {B}}$ это фильтр и ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}$ где фильтры, ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.$
   • Важно отметить, что выражение «является суперфильтром » для фильтров является аналогом «является подпоследовательностью » . Таким образом, несмотря на общий префикс «подфильтр», «является подфильтром » на самом деле является противоположностью «является подпоследовательностью ». Однако, ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ также можно написать ${\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}$ что описывается словами « ${\mathcal {F}}$ находится в подчинении ${\mathcal {B}}.$В этой терминологии « подчиняется » становится для фильтров (а также для префильтров) аналогом «является подпоследовательностью » что делает эту ситуацию, когда использование термина «подчиненный» и символа $\,\vdash \,$ может быть полезно.

Префильтров нет $X=\varnothing$ (и нет никаких сетей, оцененных в $\varnothing$), поэтому в этой статье, как и большинство авторов, автоматически и без комментариев предполагается, что $X\neq \varnothing$ всякий раз, когда это предположение необходимо.

Основные примеры

Именованные примеры

• Набор синглтонов ${\mathcal {B}}=\{X\}$ называется недискретным или тривиальный фильтр включен $X.$ Это уникальный минимальный фильтр на $X$ потому что это подмножество каждого фильтра на $X$; однако он не обязательно должен быть подмножеством каждого префильтра на $X.$
• Двойной идеал $\wp (X)$ также называется вырожденным фильтром на $X$ (несмотря на то, что на самом деле это не фильтр). Это единственный двойственный идеал на $X$ это не фильтр $X.$
• Если $(X,\tau )$ является топологическим пространством и $x\in X,$ затем фильтр соседства ${\mathcal {N}}(x)$ в $x$ это фильтр на $X.$ По определению семья ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ называется базисом окрестности (соответственно подбазой окрестности ) в точке $x{\text{ for }}(X,\tau )$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ является предфильтром (соответственно. ${\mathcal {B}}$ является подставкой фильтра) и фильтр на $X$ что ${\mathcal {B}}$ генерируется равно фильтру соседства ${\mathcal {N}}(x).$ Подсемейство $\tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ открытых кварталов является базой фильтра для ${\mathcal {N}}(x).$ Оба предфильтра ${\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)$ также образуют основу для топологий на $X,$ с созданной топологией $\tau (x)$ быть грубее, чем $\tau .$ Этот пример немедленно обобщается с окрестностей точек на окрестности непустых подмножеств. $S\subseteq X.$
• ${\mathcal {B}}$ это элементарный предварительный фильтр если ${\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ для некоторой последовательности точек $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.$
• ${\mathcal {B}}$ это элементарный фильтр или последовательный фильтр включен $X$ если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ генерируется каким-то элементарным префильтром. Фильтр хвостов, порожденный последовательностью, которая в конечном итоге не является постоянной, не обязательно является ультрафильтром. Каждый главный фильтр на счетном множестве является последовательным, как и любой коконечный фильтр на счетном множестве. Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова является последовательным.
• Набор ${\mathcal {F}}$ всех коконечных подмножеств $X$ (имеются в виду те множества, дополнение к которым в $X$ конечно) является собственным тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}$ бесконечно (или, что то же самое, $X$ бесконечно), и в этом случае ${\mathcal {F}}$ это фильтр на $X$ известный как фильтр Фреше или кофинитный фильтр включен $X.$ Если $X$ конечно тогда ${\mathcal {F}}$ равен двойственному идеалу $\wp (X),$ что не является фильтром. Если $X$ бесконечно, то семья $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}$ дополнений одноэлементных наборов — это подбаза фильтра, которая генерирует фильтр Фреше на $X.$ Как и в любом семействе наборов $X$ который содержит $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},$ ядро фильтра Фреше на $X$ пустое множество: $\ker {\mathcal {F}}=\varnothing .$
• Пересечение всех элементов любого непустого семейства. $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)$ сам по себе является фильтром $X$ называется нижней границей или наибольшей нижней границей $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),$ поэтому его можно обозначить ${\textstyle \bigwedge \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.$ Сказал по-другому, $\ker \mathbb {F} ={\textstyle \bigcap \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$ Поскольку каждый включенный фильтр $X$ имеет $\{X\}$ как подмножество, это пересечение никогда не бывает пустым. По определению, нижняя грань является самой тонкой/самой большой (относительно $\,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,$) фильтр, содержащийся как подмножество каждого члена $\mathbb {F} .$
  • Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются фильтрами, то их нижняя грань $\operatorname {Filters} (X)$ это фильтр ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.$ Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ тогда это предфильтры ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}$ это предварительный фильтр, который более грубый, чем оба ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ (то есть, ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}$); действительно, это один из лучших префильтров такого типа , а это означает, что если ${\mathcal {S}}$ является предфильтром таким, что ${\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда обязательно ${\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.$ В более общем смысле, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются непустыми семействами, и если $\mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}$ затем ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S}$ и ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}$ является величайшим элементом $(\mathbb {S} ,\leq ).$
• Позволять $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)$ и пусть $\cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.$ Верхняя граница или наименьшая верхняя граница $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),$ обозначается ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}},$ является наименьшим (относительно $\subseteq$) двойной идеал на $X$ содержащий каждый элемент $\mathbb {F}$ как подмножество; то есть оно является наименьшим (относительно $\subseteq$) двойной идеал на $X$ содержащий $\cup \mathbb {F}$ как подмножество. Этот двойной идеал ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},$ где $\pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}$ – π –система, порожденная $\cup \mathbb {F} .$ Как и в случае с любым непустым семейством множеств, $\cup \mathbb {F}$ содержится в некотором фильтре на $X$ тогда и только тогда, когда это подбаза фильтра, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ это фильтр на $X,$ в этом случае это семейство является наименьшим (относительно $\subseteq$) фильтровать $X$ содержащий каждый элемент $\mathbb {F}$ как подмножество и обязательно $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).$
• Позволять $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)$ и пусть $\cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.$ Верхняя граница или наименьшая верхняя граница $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),$ обозначается ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}$ если он существует, то по определению является наименьшим (относительно $\subseteq$) фильтровать $X$ содержащий каждый элемент $\mathbb {F}$ как подмножество. Если он существует, то обязательно ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ (как определено выше) и ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}$ также будет равно пересечению всех фильтров на $X$ содержащий $\cup \mathbb {F} .$ Этот супремум $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)$ существует тогда и только тогда, когда двойственный идеал $\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ это фильтр на $X.$ Наименьшая верхняя граница семейства фильтров $\mathbb {F}$ может не быть фильтром. Действительно, если $X$ содержит как минимум 2 различных элемента, то существуют фильтры ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X$ для которого не существует фильтра ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ который содержит оба ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.$ Если $\cup \mathbb {F}$ не является подбазой фильтра, тогда верхняя грань $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)$ не существует, и то же самое относится и к его супремуму в $\operatorname {Prefilters} (X)$ но их супремум в множестве всех двойственных идеалов на $X$ будет существовать (это вырожденный фильтр $\wp (X)$).
  • Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются префильтрами (соответственно фильтрами на $X$) затем ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}$ является префильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда он невырожден (или, другими словами, тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ сетка), и в этом случае это один из самых грубых предфильтров (соответственно самый грубый фильтр) на $X$ это тоньше (по отношению к $\,\leq$), чем оба ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};$ это означает, что если ${\mathcal {S}}$ — это любой предварительный фильтр (соответственно любой фильтр), такой что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}$ тогда обязательно ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},$ в этом случае он обозначается ${\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.$

Другие примеры

• Позволять $X=\{p,1,2,3\}$ и пусть ${\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},$ что делает ${\mathcal {B}}$ префильтр и подбаза фильтра, не замкнутая при конечных пересечениях. Потому что ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр, самый маленький предварительный фильтр, содержащий ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}.$ π –система , порожденная ${\mathcal {B}}$ является $\{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.$ В частности, наименьший префильтр, содержащий фильтрующую подставку. ${\mathcal {B}}$ не равно множеству всех конечных пересечений множеств в ${\mathcal {B}}.$ Фильтр включен $X$ созданный ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.$ Все трое из ${\mathcal {B}},$ π ​ –система ${\mathcal {B}}$ генерирует, и ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ являются примерами фиксированных, главных и ультра префильтров, которые являются главными в данной точке $p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ также является ультрафильтром на $X.$
• Позволять $(X,\tau )$ быть топологическим пространством, ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ и определить ${\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},$ где ${\mathcal {B}}$ обязательно тоньше, чем ${\overline {\mathcal {B}}}.$ Если ${\mathcal {B}}$ непусто (соответственно невырождено, подбаза фильтра, предфильтр, замкнутый относительно конечных объединений), то то же самое верно для ${\overline {\mathcal {B}}}.$ Если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ затем ${\overline {\mathcal {B}}}$ это предварительный фильтр, но не обязательно фильтр на $X$ хотя $\left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}$ это фильтр на $X$ эквивалентно ${\overline {\mathcal {B}}}.$
• Набор ${\mathcal {B}}$ всех плотных открытых подмножеств (непустого) топологического пространства $X$ является собственной π –системой и, следовательно, также является префильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств представляет собой π –систему и префильтр, который тоньше, чем ${\mathcal {B}}.$ Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ (с $1\leq n\in \mathbb {N}$) то множество ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ из всех $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B$ имеет конечную меру Лебега, является собственной π –системой и свободным префильтром, который также является собственным подмножеством ${\mathcal {B}}.$ Предварительные фильтры ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ и ${\mathcal {B}}$ эквивалентны и поэтому генерируют один и тот же фильтр для $X.$ Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ правильно содержится в предварительном фильтре, состоящем из всех плотных открытых подмножеств, и не эквивалентен ему. $\mathbb {R} .$ С $X$ — пространство Бэра , каждое счетное пересечение множеств в ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ плотный в $X$ (а также сходное и нетощее), поэтому множество всех счетных пересечений элементов ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ – предфильтр и π –система; это также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.$

Ультрафильтры

Основные статьи: Ультрафильтр (теория множеств) и Ультрафильтр

Существует множество других характеристик «ультрафильтра» и «ультрапредфильтра», которые перечислены в статье об ультрафильтрах . В этой статье также описаны важные свойства ультрафильтров.

Непустая семья ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ наборов представляет собой:

8. Ультра если $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$ и любое из следующих эквивалентных условий удовлетворено:
   1. Для каждого набора $S\subseteq X$ существует некоторый набор $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S$ (или, что то же самое, такое, что $B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing$).
   2. Для каждого набора $S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}B$ существует некоторый набор $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .$
      • Эта характеристика « ${\mathcal {B}}$ ультра» не зависит от набора $X,$ так что упомянув набор $X$ не является обязательным при использовании термина «ультра».
   3. Для каждого набора $S$ (не обязательно даже подмножество $X$) существует некоторое множество $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .$
9. Ультра префильтр если это префильтр то тоже ультра. По сути, это ультрафильтрационная подставка. Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ является ультра тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
   1. ${\mathcal {B}}$ является максимальным в $\operatorname {Prefilters} (X)$ относительно $\,\leq ,\,$ это означает, что $${\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$$
   2. ${\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
      • Хотя это утверждение идентично приведенному ниже для ультрафильтров, здесь ${\mathcal {B}}$ просто предполагается, что это предварительный фильтр; это не обязательно должен быть фильтр.
   3. ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ является ультра (и, следовательно, ультрафильтром).
   4. ${\mathcal {B}}$ эквивалентен . некоторому ультрафильтру
   • Фильтрующая подставка ультра обязательно является предварительным фильтром. Подбаза фильтра является ультра тогда и только тогда, когда она является максимальной подбазой фильтра относительно $\,\leq \,$ (как указано выше).
10. Ультрафильтр включен $X$ если это фильтр $X$ это ультра. Аналогично, ультрафильтр на $X$ это фильтр ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
    1. ${\mathcal {B}}$ генерируется ультрапрефильтром.
    2. Для любого $S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.$
    3. ${\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).$ Это условие можно переформулировать так: $\wp (X)$ разделен на ${\mathcal {B}}$ и его двойственность $X\setminus {\mathcal {B}}.$
    4. Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S\in {\mathcal {B}}$ затем $R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}$ (фильтр с таким свойством называется фильтром простых чисел ).
       • Это свойство распространяется на любое конечное объединение двух или более множеств.
    5. ${\mathcal {B}}$ является максимальным фильтром на $X$; это означает, что если ${\mathcal {C}}$ это фильтр на $X$ такой, что ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$ тогда обязательно ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$ (это равенство можно заменить на ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}$).
       • Если ${\mathcal {C}}$ закрыто вверх, тогда ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.$ Таким образом, характеристику ультрафильтров как максимальных фильтров можно переформулировать как: $${\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$$
       • Потому что подчинение $\,\geq \,$ для фильтров является аналогом фразы «является подсетью/подпоследовательностью» (в частности, «подсеть» должна означать « AA-подсеть », определение которой приведено ниже), такая характеристика ультрафильтра как «максимально подчиненного фильтра» предполагает, что Ультрафильтр можно интерпретировать как аналог своего рода «максимально глубокой сети» (что может, например, означать, что «если смотреть только с точки зрения $X$«в некотором смысле она неотличима от своих подсетей, как, например, в случае с любой сетью, оцениваемой в одноэлементном наборе), Эта идея фактически стала строгой благодаря ультрасетям . Лемма об ультрафильтре тогда представляет собой утверждение, что каждый фильтр («сеть») имеет некоторый подчиненный фильтр («подсеть»), который является «максимально подчиненным» («максимально глубоким»).

Лемма об ультрафильтре

Следующая важная теорема принадлежит Альфреду Тарскому (1930).

Лемма/принцип/теорема об ультрафильтре  ( Тарский ) — Каждый фильтр на наборе $X$ является подмножеством некоторого ультрафильтра на $X.$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. Если принять аксиомы Цермело-Френкеля (ZF) , лемма об ультрафильтре следует из выбранной аксиомы (в частности, из леммы Цорна ), но является строго более слабой, чем она. Лемма об ультрафильтре подразумевает аксиому выбора для конечных множеств. Если иметь дело только с хаусдорфовыми пространствами, то большинство основных результатов (которые встречаются на вводных курсах) в топологии (таких как теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств и теорема Александера о суббазисах ) и функциональном анализе (такие как теорема Хана-Банаха ) могут быть доказано с использованием только леммы об ультрафильтре; полная сила аксиомы выбора может и не потребоваться.

Ядра

Ядро полезно для классификации свойств префильтров и других семейств множеств.

Ядро ​ из семейства наборов ${\mathcal {B}}$ является пересечением всех множеств, являющихся элементами ${\mathcal {B}}:$$$\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$$

Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ затем $\ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}$ и это множество также равно ядру π –системы, порождённой ${\mathcal {B}}.$ В частности, если ${\mathcal {B}}$ является подбазой фильтра, то ядра всех следующих наборов равны:

(1) ${\mathcal {B}},$ (2) π –система, порожденная ${\mathcal {B}},$ и (3) фильтр, созданный ${\mathcal {B}}.$

Если $f$ тогда это карта $f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}}){\text{ and }}f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).$ Эквивалентные семейства имеют равные ядра. Два главных семейства эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра равны.

Классификация семейств по их ядрам

Семья ${\mathcal {B}}$ наборов составляет:

2. Бесплатно если $\ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,$ или эквивалентно, если $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};$ это можно переформулировать как $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.$
   • Фильтр ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ бесплатно тогда и только тогда, когда $X$ бесконечен и ${\mathcal {F}}$ содержит фильтр Фреше на $X$ как подмножество.
3. Исправлено, если $\ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing$ в этом случае, ${\mathcal {B}}$ говорят, что он зафиксирован в любой точке $x\in \ker {\mathcal {B}}.$
   • Любое фиксированное семейство обязательно является подбазой фильтра.
4. Главный если $\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.$
   • Правильное главное семейство множеств обязательно является предфильтром.
5. Дискретный или главный в $x\in X$ если $\{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.$
   • Основной фильтр в $x{\text{ on }}X$ это фильтр $\{x\}^{\uparrow X}.$ Фильтр ${\mathcal {F}}$ является главным в $x$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.$
6. Счетно глубоко, если когда угодно ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}$ является счетным подмножеством, тогда $\ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.$

Если ${\mathcal {B}}$ является основным фильтром $X$ затем $\varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}$ и $\{\ker {\mathcal {B}}\}$ также является самым маленьким префильтром, который генерирует ${\mathcal {B}}.$

Семейство примеров: Для любого непустого $C\subseteq \mathbb {R} ,$ семья ${\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}$ свободен, но является подбазой фильтра тогда и только тогда, когда не существует конечного объединения вида $\left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)$ обложки $\mathbb {R} ,$ в этом случае создаваемый им фильтр также будет бесплатным. В частности, ${\mathcal {B}}_{C}$ является подбазой фильтра, если $C$ счетно (например, $C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,$ простые числа), скудный набор в $\mathbb {R} ,$ множество конечной меры или ограниченное подмножество $\mathbb {R} .$ Если $C$ тогда это одноэлементный набор ${\mathcal {B}}_{C}$ является основой для фильтра Фреше на $\mathbb {R} .$

Характеристика фиксированных ультрапрефильтров

Если семейство множеств ${\mathcal {B}}$ является фиксированным (т. $\ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing$) затем ${\mathcal {B}}$ является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент ${\mathcal {B}}$ является одноэлементным набором, и в этом случае ${\mathcal {B}}$ обязательно будет предфильтр. Каждый основной префильтр фиксирован, поэтому основной префильтр ${\mathcal {B}}$ является ультра тогда и только тогда, когда $\ker {\mathcal {B}}$ представляет собой одноэлементный набор.

Каждый фильтр включен $X$ то есть главным в одной точке является ультрафильтр, а если к тому же $X$ конечно, то на $X$ кроме этих.

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо является главным фильтром, порожденным одной точкой.

Предложение — Если ${\mathcal {F}}$ это ультрафильтр на $X$ то следующие условия эквивалентны:

1. ${\mathcal {F}}$ является фиксированным или, что то же самое, несвободным, что означает $\ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .$
2. ${\mathcal {F}}$ является главным, то есть $\ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.$
3. Какой-то элемент ${\mathcal {F}}$ является конечным множеством.
4. Какой-то элемент ${\mathcal {F}}$ представляет собой одноэлементный набор.
5. ${\mathcal {F}}$ является главным в какой-то момент $X,$ что означает $\ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}$ для некоторых $x\in X.$
6. ${\mathcal {F}}$ не содержит фильтра Фреше на $X.$
7. ${\mathcal {F}}$ является последовательным.

Более мелкое/грубое, подчинение и сетка

Предзаказ $\,\leq \,$ то, что определено ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения префильтра, эквивалентного «подпоследовательности», где " ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$«можно интерпретировать как» ${\mathcal {F}}$ является подпоследовательностью ${\mathcal {C}}$» (поэтому «подчиненный» является эквивалентом префильтра «подпоследовательности»). Он также используется для определения сходимости префильтра в топологическом пространстве. Определение ${\mathcal {B}}$ соединяется с ${\mathcal {C}},$ что тесно связано с предзаказом $\,\leq ,$ используется в топологии для определения точек кластера .

Два семейства наборов ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка и совместимы , обозначаются записью ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},$ если $B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.$ Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ не сцепляйтесь, тогда они диссоциируются . Если $S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ затем ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ говорят, что они сцеплены, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}$ сетка или эквивалентно, если след ​ ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S,$ что такое семья $${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},$$ не содержит пустого множества, где трасса также называется ограничение ​ ${\mathcal {B}}{\text{ to }}S.$

Заявите, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},$ заявлено как ${\mathcal {C}}$ грубее , чем ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {F}}$ тоньше ( или подчиняется ) ${\mathcal {C}},$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: Каждый $C\in {\mathcal {C}}$ содержит некоторые $F\in {\mathcal {F}}.$ В явном виде это означает, что для каждого $C\in {\mathcal {C}},$ есть некоторые $F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F\subseteq C$ (таким образом ${\mathcal {C}}\ni C\supseteq F\in {\mathcal {F}}$ держится).
   • Короче говоря, на простом английском языке: ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ если каждый набор ${\mathcal {C}}$ больше , чем некоторые установленные в ${\mathcal {F}}.$ Здесь «большой набор» означает суперсет.
2. $\{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.$
   • Другими словами, $\{C\}\leq {\mathcal {F}}$ утверждает именно это $C$ больше, чем некоторые установленные в ${\mathcal {F}}.$ Эквивалентность (a) и (b) вытекает сразу.
3. ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ что эквивалентно ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}$;
4. ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}$;
5. ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ что эквивалентно ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}$;

и если вдобавок ${\mathcal {F}}$ закрыто вверх, а это означает, что ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ то этот список можно расширить, включив в него:

6. ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.$
   • Итак, в данном случае это определение " ${\mathcal {F}}$ тоньше , чем ${\mathcal {C}}$«было бы идентично топологическому определению понятия «более тонкое», если бы ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ были топологии на $X.$

Если восходящая закрытая семья ${\mathcal {F}}$ тоньше, чем ${\mathcal {C}}$ (то есть, ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$) но ${\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}$ затем ${\mathcal {F}}$ говорят, что он строго тоньше, чем ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {C}}$ , строго грубее чем ${\mathcal {F}}.$

Две семьи сравнимы , если одна из них лучше другой.

Пример : Если $x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ является подпоследовательностью ​ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ затем $\operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)$ находится в подчинении $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);$ в символах: $\operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ а также $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Говоря простым языком, префильтр хвостов подпоследовательности всегда подчинен фильтру исходной последовательности. Чтобы увидеть это, позвольте $C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ быть произвольным (или, что то же самое, пусть $i\in \mathbb {N}$ быть произвольным) и осталось показать, что это множество содержит некоторые $F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Для набора $x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}$ содержать $x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},$ достаточно иметь $i\leq i_{n}.$ С $i_{1}<i_{2}<\cdots$ являются строго возрастающими целыми числами, существует $n\in \mathbb {N}$ такой, что $i_{n}\geq i,$ и так $x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}$ держится по желанию. Следовательно, $\operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Левая часть будет строгим/правильным подмножеством правой части, если (например) каждая точка $x_{\bullet }$ уникальна (то есть, когда $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ инъективен) и $x_{i_{\bullet }}$ это четно-индексированная подпоследовательность $\left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)$ потому что в этих условиях каждый хвост $x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}$ (для каждого $n\in \mathbb {N}$) подпоследовательности будет принадлежать правому фильтру, но не левому фильтру.

Другой пример, если ${\mathcal {B}}$ есть ли тогда семья? $\varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}$ всегда держится и, кроме того, $\{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.$

Непустое семейство, более крупное, чем монтажная плита фильтра, само должно быть плитой фильтра. Каждая подбаза фильтра является более грубой, чем π -система, которую она генерирует, и фильтр, который она генерирует.

Если ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ такие семьи, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},$ семья ${\mathcal {C}}$ это ультра, и $\varnothing \not \in {\mathcal {F}},$ затем ${\mathcal {F}}$ обязательно ультра. Отсюда следует, что любая семья, эквивалентная ультрасемье, обязательно будет ультрасемейством . В частности, если ${\mathcal {C}}$ является предварительным фильтром, то либо оба ${\mathcal {C}}$ и фильтр ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}$ он генерирует либо ультра, либо ни один из них не является ультра.

Отношение $\,\leq \,$ является рефлексивным и транзитивным , что превращает его в предварительный заказ на $\wp (\wp (X)).$ Отношение $\,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)$ антисимметричен , но если $X$ имеет более одной точки, то несимметричен он .

Эквивалентные семейства множеств

Предзаказ $\,\leq \,$ индуцирует свое каноническое отношение эквивалентности на $\wp (\wp (X)),$ где для всех ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),$ ${\mathcal {B}}$ эквивалентно ​ ​ ${\mathcal {C}}$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.$
2. Закрытие вверх ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}$ равны.

Два закрытых вверх (в $X$) подмножества $\wp (X)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ тогда обязательно $\varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)$ и ${\mathcal {B}}$ эквивалентно ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$ Каждый класс эквивалентности, кроме $\{\varnothing \}$ содержит единственный представитель (т. е. элемент класса эквивалентности), замкнутый вверх в $X.$

Свойства, сохраненные между эквивалентными семьями

Позволять ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))$ быть произвольным и пусть ${\mathcal {F}}$ быть любым семейством множеств. Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ эквивалентны (что означает, что $\ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}$), то для каждого из утверждений/свойств, перечисленных ниже, либо оно верно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ или же это неверно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$:

1. Не пустой
2. Надлежащее (т. $\varnothing$ это не элемент)
   • Более того, любые два вырожденных семейства обязательно эквивалентны.
3. Основание фильтра
4. Предварительный фильтр
   • В этом случае ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сгенерировать тот же фильтр на $X$ (то есть их закрытия вверх в $X$ равны).
5. Бесплатно
6. Главный
7. Ультра
8. Равен тривиальному фильтру $\{X\}$
   • На словах это означает, что единственное подмножество $\wp (X)$ который эквивалентен тривиальному фильтру, является тривиальным фильтром. В общем, этот вывод о равенстве не распространяется на нетривиальные фильтры (единственное исключение — когда оба семейства являются фильтрами).
9. Сетки с ${\mathcal {F}}$
10. Тоньше, чем ${\mathcal {F}}$
11. Является грубее, чем ${\mathcal {F}}$
12. Эквивалентно ${\mathcal {F}}$

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется эквивалентностью. Однако, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ включены ли фильтры $X,$ тогда они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры.

Эквивалентность фильтров предварительной очистки и фильтрующих оснований

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ то следующие семейства всегда эквивалентны друг другу:

1. ${\mathcal {B}}$;
2. π –система , порожденная ${\mathcal {B}}$;
3. фильтр включен $X$ созданный ${\mathcal {B}}$;

и более того, все эти три семейства генерируют один и тот же фильтр на $X$ (то есть закрытия вверх в $X$ этих семей равны).

В частности, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. По транзитивности два префильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. Каждый префильтр эквивалентен ровно одному фильтру на $X,$ который представляет собой фильтр, который он генерирует (то есть закрытие префильтра вверх). Иными словами, каждый класс эквивалентности предфильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как просто выделенные элементы этих классов эквивалентности префильтров.

Подбаза фильтра, которая не является также префильтром, не может быть эквивалентна префильтру (или фильтру), который она генерирует. Напротив, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Вот почему префильтры, по большому счету, могут использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, в то время как подбазы фильтров не могут быть использованы.

Теоретические свойства множеств и конструкции, относящиеся к топологии

См. Также: Фильтр (теория множеств)

Трассировка и создание сетки

Если ${\mathcal {B}}$ является префильтром (соответственно фильтром) на $X{\text{ and }}S\subseteq X$ затем след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S,$ что такое семья ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},$ является предварительным фильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ сетка (т. $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}$), и в этом случае след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ Говорят, что это вызвано $S$. След всегда тоньше исходного семейства; то есть, ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}.$Если ${\mathcal {B}}$ это ультра и если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ сетка, затем след ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}$ это ультра. Если ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $X$ затем след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ это фильтр на $S$ тогда и только тогда, когда $S\in {\mathcal {B}}.$

Например, предположим, что ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X{\text{ and }}S\subseteq X$ таков, что $S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.$ Затем ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ сетка и ${\mathcal {B}}\cup \{S\}$ генерирует фильтр на $X$ это строго лучше, чем ${\mathcal {B}}.$

Когда фильтры предварительной очистки сцепляются

Учитывая непустые семьи ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},$ семья $${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$$удовлетворяет ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.$ Если ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ является правильным (соответственно префильтром или подбазой фильтра), то это также верно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.$ Чтобы сделать какие-либо значимые выводы о ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ от ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ должно быть правильным (т. $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},$ что является мотивацией для определения «сетки». В этом случае, ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра) тогда и только тогда, когда это верно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.$ Говоря иначе, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ являются предфильтрами, то они сцепляются тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ является предфильтром. Обобщение дает известную характеристику «сетки» целиком с точки зрения подчинения (т. е. $\,\leq \,$):

Два предфильтра (соответственно подоснования фильтров) ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтра) ${\mathcal {F}}$ такой, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.$

Если наименьшая верхняя граница двух фильтров ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ существует в $\operatorname {Filters} (X)$ то эта наименьшая верхняя граница равна ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.$

Изображения и прообразы по функциям

См. Также: Список тождеств и отношений множеств и Алгебра множеств.

Через, $f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z$ будут отображениями между непустыми множествами.

Изображения префильтров

Позволять ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).$ Многие из свойств, которые ${\mathcal {B}}$ возможно, сохранились под изображениями карт; К заметным исключениям относятся закрытие вверх, закрытие при конечных пересечениях и фильтр, которые не обязательно сохраняются.

Явно, если одно из следующих свойств истинно для ${\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,$ тогда это обязательно будет верно и для $g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)$ (хотя, возможно, не в кодомене $Z$ пока не $g$ является сюръективным): ультра, ультрафильтр, фильтр, префильтр, фильтрующая подбаза, двойственный идеал, замкнутый вверх, собственный/невырожденный, идеальный, замкнутый относительно конечных объединений, замкнутый вниз, направленный вверх. Более того, если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)$ это предварительный фильтр, то и оба $g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).$ Изображение под картой $f:X\to Y$ из ультра-набора ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ снова ультра, и если ${\mathcal {B}}$ это ультра префильтр, то и так $f({\mathcal {B}}).$

Если ${\mathcal {B}}$ тогда это фильтр $g({\mathcal {B}})$ это фильтр по диапазону $g(Y),$ но это фильтр в кодомене $Z$ тогда и только тогда, когда $g$ является сюръективным. В противном случае это просто предварительный фильтр. $Z$ и его закрытие вверх должно быть принято в $Z$ чтобы получить фильтр. Закрытие вверх $g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z$ является $$g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}$$где если ${\mathcal {B}}$ закрыто вверх $Y$ (то есть фильтр), то это упрощается до: $$g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.$$

Если $X\subseteq Y$ затем принимая $g$ быть картой включения $X\to Y$ показывает, что любой предварительный фильтр (соответственно ультрапрефильтр, подоснова фильтра) на $X$ также является предварительным фильтром (соответственно ультрапрефильтром, фильтрующим основанием) на $Y.$

Прообразы префильтров

Позволять ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).$ В предположении, что $f:X\to Y$ является сюръективным :

     $f^{-1}({\mathcal {B}})$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра, π –системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ${\mathcal {B}}.$

Однако, если ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $Y$ тогда, даже если $f$ является сюръективным (что сделало бы $f^{-1}({\mathcal {B}})$ префильтр), тем не менее, для префильтра все еще возможно $f^{-1}({\mathcal {B}})$ быть ни ультра, ни фильтром $X.$ 

Если $f:X\to Y$ не сюръективен, то обозначим след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)$ к ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},$ где в этом конкретном случае трасса удовлетворяет: $${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)$$и, следовательно, также: $$f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).$$

Это последнее равенство и тот факт, что след ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ это семейство множеств над $f(X)$ означает, что делать выводы о $f^{-1}({\mathcal {B}}),$ след ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ можно использовать вместо ${\mathcal {B}}$ и сюръективность $f:X\to f(X)$ можно использовать вместо $f:X\to Y.$ Например:

     $f^{-1}({\mathcal {B}})$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра, собственно π -системой) тогда и только тогда, когда это верно для ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.$

Таким образом, случай, когда $f$ не является (обязательно) сюръективным, можно свести к случаю сюръективной функции (это случай, описанный в начале этого подраздела).

Даже если ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $Y,$ если $f$ не сюръективен, то, тем не менее, возможно, что $\varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},$ что сделало бы $f^{-1}({\mathcal {B}})$ тоже деградировать. Следующая характеристика показывает, что единственным препятствием является вырождение. Если ${\mathcal {B}}$ является предварительным фильтром, то следующие условия эквивалентны:

1. $f^{-1}({\mathcal {B}})$ является предфильтром;
2. ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ является предфильтром;
3. $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$;
4. ${\mathcal {B}}$ соединяется с $f(X)$

и более того, если $f^{-1}({\mathcal {B}})$ это предфильтр, то и так $f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).$

Если $S\subseteq Y$ и если $\operatorname {In} :S\to Y$ обозначает карту включения, то след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ равно $\operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).$ Это наблюдение позволяет применить результаты данного подраздела к исследованию следа на множестве.

Подчинение сохраняется за образами и прообразами.

Отношение $\,\leq \,$ сохраняется как под изображениями, так и под прообразами семейств множеств. Это означает, что для любой семьи ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},$$${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).$$

всегда выполняются следующие соотношения: Более того, для любого семейства множеств ${\mathcal {C}}$: $${\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)$$ где равенство будет иметь место, если $f$ является сюръективным. Более того, $$f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).$$

Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)$ затем $$f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})$$и $g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}$ где равенство будет иметь место, если $g$ является инъективным.

Продукция префильтров

Предполагать $X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ — семейство одного или нескольких непустых множеств, произведение которого будем обозначать через ${\textstyle \prod _{}}X_{\bullet }:={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},$ и для каждого индекса $i\in I,$ позволять $$\Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}$$обозначим каноническую проекцию. Позволять ${\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}$ быть непустыми семействами, также индексируемыми $I,$ такой, что ${\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)$ для каждого $i\in I.$ Продукт ​ семей ${\mathcal {B}}_{\bullet }$ определяется идентично тому, как базовые открытые подмножества топологии продукта (если бы все эти определяются ${\mathcal {B}}_{i}$ были топологии). То есть оба обозначения $$\prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}$$обозначим семейство всех подмножеств цилиндров ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}S_{i}\subseteq {\textstyle \prod }X_{\bullet }$ такой, что $S_{i}=X_{i}$ для всех, кроме конечного числа $i\in I$ и где $S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$ для любого из этих конечного числа исключений (т. е. для любого $i$ такой, что $S_{i}\neq X_{i},$ обязательно $S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$). Когда каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это подоснова фильтра, то семейство ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)$ представляет собой фильтрующую подставку для фильтра на ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ созданный ${\mathcal {B}}_{\bullet }.$ Если ${\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }$ является основанием фильтра, тогда фильтр на ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ который он генерирует, называется фильтром, сгенерированным ${\mathcal {B}}_{\bullet }$. Если каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это предварительный фильтр на $X_{i}$ затем ${\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }$ будет предварительный фильтр ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ и более того, этот префильтр равен самому грубому префильтру ${\mathcal {F}}{\text{ on }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }$ такой, что $\Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}$ для каждого $i\in I.$ Однако, ${\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }$ может не быть фильтром ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ даже если каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это фильтр на $X_{i}.$

Сходимость, пределы и точки кластеризации

Через, $(X,\tau )$ является топологическим пространством .

Предварительные фильтры против фильтров

Что касается карт и подмножеств, свойство быть предварительным фильтром, как правило, более хорошо себя ведет и лучше сохраняется, чем свойство быть фильтром. Например, изображение префильтра под некоторой картой — это тоже префильтр; но образ фильтра под несюръективным отображением никогда не будет фильтром в кодомене, хотя и будет предфильтром. Такая же ситуация и с прообразами при неинъективных отображениях (даже если отображение сюръективно). Если $S\subseteq X$ является правильным подмножеством, то любой фильтр на $S$ не будет фильтра $X,$ хотя это будет предфильтр.

Одним из преимуществ фильтров является то, что они являются выдающимися представителями своего класса эквивалентности (относительно $\,\leq$), что означает, что любой класс эквивалентности префильтров содержит уникальный фильтр. Это свойство может быть полезно при работе с классами эквивалентности префильтров (например, они полезны при построении пополнений равномерных пространств с помощью фильтров Коши). Многие свойства, характеризующие ультрафильтры, также часто оказываются полезными. Они используются, например, для построения компактификации Стоуна-Чеха . Использование ультрафильтров обычно требует принятия леммы об ультрафильтре. Но во многих областях, где аксиома выбора (или теорема Хана–Банаха предполагается ), лемма об ультрафильтре обязательно выполняется и не требует дополнительного предположения.

Примечание об интуиции

Предположим, что ${\mathcal {F}}$ является неглавным фильтром на бесконечном множестве $X.$ ${\mathcal {F}}$ имеет одно свойство «вверх» (закрытие вверх) и одно свойство «вниз» (направление вниз). Начиная с любого $F_{0}\in {\mathcal {F}},$ всегда существует какой-то $F_{1}\in {\mathcal {F}}$ это правильное подмножество $F_{0}$; это можно продолжать до бесконечности, чтобы получить последовательность $F_{0}\supsetneq F_{1}\supsetneq \cdots$ наборов в ${\mathcal {F}}$ с каждым $F_{i+1}$ являющийся надлежащим подмножеством $F_{i}.$ То же самое нельзя сказать и о движении «вверх», поскольку если $F_{0}=X\in {\mathcal {F}}$ тогда там нет набора ${\mathcal {F}}$ который содержит $X$ как собственное подмножество. Таким образом, когда дело доходит до ограничения поведения (это центральная тема в области топологии), движение «вверх» приводит к тупику , тогда как движение «вниз» обычно бывает плодотворным. Таким образом, чтобы получить понимание и интуицию о том, как фильтры (и префильтр) связаны с концепциями топологии, обычно следует сосредоточиться на свойстве «нисходящий». Именно поэтому так много топологических свойств можно описать, используя только предварительные фильтры, а не фильтры (которые отличаются от префильтров только тем, что они также закрыты вверх). Свойство фильтров «вверх» менее важно для топологической интуиции, но иногда полезно иметь его по техническим причинам. Например, в отношении $\,\subseteq ,$ каждая подбаза фильтра содержится в уникальном наименьшем фильтре, но уникального наименьшего префильтра, содержащего его, может не существовать.

Пределы и конвергенция

Семья ${\mathcal {B}}$ говорят, что сходиться в $(X,\tau )$ в точку $x$ из $X$ если ${\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).$ Явно, ${\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}$ означает, что каждый район $N{\text{ of }}x$ содержит некоторые $B\in {\mathcal {B}}$ как подмножество (т. $B\subseteq N$); таким образом, тогда имеет место следующее: ${\mathcal {N}}\ni N\supseteq B\in {\mathcal {B}}.$ Другими словами, семейство сходится к точке или подмножеству. $x$ тогда и только тогда, когда он тоньше, чем фильтр окрестности в $x.$ Семья ${\mathcal {B}}$ сходящиеся к точке $x$ можно указать, написав ${\mathcal {B}}\to x{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X$ и говоря это $x$ это предел ​ ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X;$ если этот предел $x$ является точкой (а не подмножеством), то $x$ также называется предельная точка . По-прежнему, $\lim {\mathcal {B}}=x$ определяется как означает, что ${\mathcal {B}}\to x$ и $x\in X$ является единственной предельной точкой ${\mathcal {B}};$ то есть, если еще ${\mathcal {B}}\to z{\text{ then }}z=x.$ (Если обозначение " $\lim {\mathcal {B}}=x$" также не требовало, чтобы предельная точка $x$ быть уникальным, то знак равенства = больше не будет гарантированно транзитивным ) . Набор всех предельных точек ${\mathcal {B}}$ обозначается $\lim {}_{X}{\mathcal {B}}{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}.$

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что ${\mathcal {B}}$ тоньше некоторой (или, что то же самое, тоньше любой) базы окрестностей в $(X,\tau )$ точки (например, такой как $\tau (x)=\{U\in \tau :x\in U\}$ или $\tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s)$ когда $S\neq \varnothing$).

Примеры

Если $X:=\mathbb {R} ^{n}$ есть евклидово пространство и $\|x\|$ обозначает евклидову норму (которая представляет собой расстояние от начала координат, определяемое обычно), то все следующие семейства сходятся к началу координат:

1. предварительный фильтр $\{B_{r}(0):0<r\leq 1\}$ всех открытых шаров с центром в начале координат, где $B_{r}(z)=\{x:\|x-z\|<r\}.$
2. предварительный фильтр $\{B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}$ всех замкнутых шаров с центром в начале координат, где $B_{\leq r}(z)=\{x:\|x-z\|\leq r\}.$ Этот предварительный фильтр эквивалентен приведенному выше.
3. предварительный фильтр $\{R\cap B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}$ где $R=S_{1}\cup S_{1/2}\cup S_{1/3}\cup \cdots$ это объединение сфер $S_{r}=\{x:\|x\|=r\}$ с центром в начале координат, имеющим постепенно меньшие радиусы. Это семейство состоит из наборов $S_{1/n}\cup S_{1/(n+1)}\cup S_{1/(n+2)}\cup \cdots$ как $n$ колеблется в пределах положительных целых чисел.
4. любое из перечисленных выше семейств, но с радиусом $r$ начиная с $1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots$ (или по любой другой положительной убывающей последовательности), а не по всем положительным числам.
   • Рисуя или представляя любую из этих последовательностей наборов, когда $X=\mathbb {R} ^{2}$ имеет размерность $n=2$ предполагает, что интуитивно эти множества «должны» сходиться к началу координат (и это действительно так). Это интуиция, которую делает строгим приведенное выше определение «конвергентного префильтра».

Хотя $\|\cdot \|$ предполагалось, что это евклидова норма , приведенный выше пример остается справедливым для любой другой нормы на $\mathbb {R} ^{n}.$

Единственная предельная точка в $X:=\mathbb {R}$ бесплатного префильтра $\{(0,r):r>0\}$ является $0$ поскольку каждый открытый шар вокруг начала координат содержит некоторый открытый интервал этой формы. Фиксированный предварительный фильтр ${\mathcal {B}}:=\{[0,1+r):r>0\}$ не сходится в $\mathbb {R}$ в любую точку и так $\lim {\mathcal {B}}=\varnothing ,$ хотя ${\mathcal {B}}$ сходится к множеству $\ker {\mathcal {B}}=[0,1]$ с ${\mathcal {N}}([0,1])\leq {\mathcal {B}}.$ Однако не каждый фиксированный префильтр сходится к своему ядру. Например, фиксированный префильтр $\{[0,1+r)\cup (1+1/r,\infty ):r>0\}$ также есть ядро $[0,1]$ но не сходится (в $\mathbb {R}$) к этому.

Бесплатный предварительный фильтр $(\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}$ интервалов не сходится (в $\mathbb {R}$) в любую точку. То же самое относится и к предварительному фильтру. $[\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}$ это эквивалентно потому что $(\mathbb {R} ,\infty )$ и эквивалентные семейства имеют одинаковые пределы. Фактически, если ${\mathcal {B}}$ любой префильтр в любом топологическом пространстве $X$ тогда для каждого $S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ ${\mathcal {B}}\to S.$ В более общем плане, поскольку единственный район $X$ является самим собой (т. ${\mathcal {N}}(X)=\{X\}$), каждое непустое семейство (включая каждую подбазу фильтров) сходится к $X.$

Для любой точки $x,$ его фильтр соседства ${\mathcal {N}}(x)\to x$ всегда сходится к $x.$ В более общем смысле, любой базис соседства в $x$ сходится к $x.$ точка $x$ всегда является предельной точкой принципа ультрапрефильтра $\{\{x\}\}$ и ультрафильтра, который он генерирует. Пустая семья ${\mathcal {B}}=\varnothing$ не сходится ни в какой точке.

Основные свойства

Если ${\mathcal {B}}$ сходится к точке, то то же самое верно для любого семейства тоньше, чем ${\mathcal {B}}.$ Это имеет много важных последствий. Одним из последствий является то, что предельные точки семейства ${\mathcal {B}}$ такие же, как и предельные точки его закрытия вверх: $$\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {lim} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).$$ В частности, предельные точки предварительного фильтра такие же, как и предельные точки фильтра, который он генерирует. Другое следствие состоит в том, что если семейство сходится к точке, то то же самое верно и для следа/ограничения семейства на любое заданное подмножество. $X.$Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр и $B\in {\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {B}}$ сходится к точке $X$ тогда и только тогда, когда это верно для следа ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{B}.$Если подбаза фильтра сходится к точке, то действуют фильтр и π -система, которую он порождает, хотя обратное не гарантируется. Например, подоснова фильтра $\{(-\infty ,0],[0,\infty )\}$ не сходится к $0$ в $X:=\mathbb {R}$ хотя фильтр (принцип ультра), который он генерирует, делает это.

Данный $x\in X,$ следующее эквивалентно для предварительного фильтра ${\mathcal {B}}:$

1. ${\mathcal {B}}$ сходится к $x.$
2. ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ сходится к $x.$
3. Существует семейство, эквивалентное ${\mathcal {B}}$ который сходится к $x.$

Поскольку подчинение транзитивно, если ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ then }}\lim {}_{X}{\mathcal {B}}\subseteq \lim {}_{X}{\mathcal {C}}$ и более того, для каждого $x\in X,$ оба $\{x\}$ и максимальный/ультрафильтр $\{x\}^{\uparrow X}$ сходиться к $x.$ Таким образом, каждое топологическое пространство $(X,\tau )$ вызывает каноническую сходимость $\xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)$ определяется $(x,{\mathcal {B}})\in \xi {\text{ if and only if }}x\in \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {B}}.$ Другая крайность — фильтр соседства. ${\mathcal {N}}(x)$ это самый маленький (то есть самый грубый) фильтр на $X$ который сходится к $x;$ то есть любой фильтр, сходящийся к $x$ должен содержать ${\mathcal {N}}(x)$ как подмножество. Иными словами, семейство фильтров, которые сходятся к $x$ состоит именно из тех фильтров на $X$ которые содержат ${\mathcal {N}}(x)$ как подмножество. Следовательно, чем тоньше топология на $X$ то тем меньше существует префильтров, которые имеют какие-либо предельные точки в $X.$

Кластерные точки

Семья ${\mathcal {B}}$ говорят, что они группируются в одной точке $x$ из $X$ если он согласуется с фильтром соседства $x;$ то есть, если ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).$ Явно это означает, что $B\cap N\neq \varnothing {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}$ и каждый район $N$ из $x.$ В частности, точка $x\in X$ это точка кластера или точка накопления семьи ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {B}}$ сетка с фильтром окрестности в $x:\ {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).$ Набор всех точек кластера ${\mathcal {B}}$ обозначается $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},$ где нижний индекс можно опустить, если он не нужен.

В приведенных выше определениях достаточно проверить, что ${\mathcal {B}}$ сетка с некоторой (или, что то же самое, с каждой) базой окрестностей в $X$ из $x{\text{ or }}S.$ Когда ${\mathcal {B}}$ является префильтром, то определение " ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {N}}$ сетку» можно полностью охарактеризовать с точки зрения предпорядка подчинения $\,\leq \,.$

Два эквивалентных семейства множеств имеют одни и те же предельные точки, а также одни и те же точки кластеризации. Независимо от топологии, для каждого $x\in X,$ оба $\{x\}$ и главный ультрафильтр $\{x\}^{\uparrow X}$ кластер в $x.$ Если ${\mathcal {B}}$ сгруппированы в точку, то то же самое верно для любого семейства, более грубого, чем ${\mathcal {B}}.$ Следовательно, точки кластеризации семейства ${\mathcal {B}}$ совпадают с кластерными точками его закрытия вверх: $$\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {cl} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).$$ В частности, точки кластера предварительного фильтра совпадают с точками кластера фильтра, который он генерирует.

Данный $x\in X,$ следующее эквивалентно для предварительного фильтра ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$:

1. ${\mathcal {B}}$ кластеры в $x.$
2. Семья ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ созданный ${\mathcal {B}}$ кластеры в $x.$
3. Существует семейство, эквивалентное ${\mathcal {B}}$ который группируется в $x.$
4. $x\in {\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}F.$
5. $X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ для каждого района $N$ из $x.$
   • Если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ затем $x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}$ для каждого района $N{\text{ of }}x.$
6. Есть префильтр ${\mathcal {F}}$ подчиненный ${\mathcal {B}}$ (то есть, ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {B}}$), который сходится к $x.$
   • Это фильтр, эквивалентный " $x$ является точкой кластеризации последовательности тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность, сходящаяся к $x.$
   • В частности, если $x$ является кластерной точкой префильтра ${\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)$ является префильтром, подчиненным ${\mathcal {B}}$ который сходится к $x.$

Набор $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ всех кластерных точек префильтра ${\mathcal {B}}$ удовлетворяет $$\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} _{X}B.$$Следовательно, набор $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ всех точек кластера любого префильтра ${\mathcal {B}}$ является закрытым подмножеством $X.$ Это также оправдывает обозначение $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ для множества точек кластера. В частности, если $K\subseteq X$ непусто (так что ${\mathcal {B}}:=\{K\}$ это предварительный фильтр), то $\operatorname {cl} _{X}\{K\}=\operatorname {cl} _{X}K$ поскольку обе стороны равны ${\textstyle \bigcap \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}B.$

Свойства и отношения

Как и в случае с последовательностями и сетями, префильтр в топологическом пространстве бесконечной мощности может не иметь точек кластеризации или предельных точек.

Если $x$ является предельной точкой ${\mathcal {B}}$ затем $x$ обязательно является предельной точкой любого семейства ${\mathcal {C}}$ тоньше, чем ${\mathcal {B}}$ (то есть, если ${\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}$ затем ${\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {C}}$). Напротив, если $x$ является точкой кластера ${\mathcal {B}}$ затем $x$ обязательно является точкой кластера любого семейства ${\mathcal {C}}$ грубее , чем ${\mathcal {B}}$ (то есть, если ${\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}$ сетка и ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка).

Эквивалентные семьи и подчинение

Любые два эквивалентных семейства ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ могут использоваться взаимозаменяемо в определениях «предела» и «кластера», поскольку их эквивалентность гарантирует, что ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {C}},$ а также это ${\mathcal {N}}\#{\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}\#{\mathcal {C}}.$ По сути предзаказ $\,\leq \,$ не способен различать эквивалентные семейства. Учитывая два предварительных фильтра, независимо от того, являются ли они взаимосвязанными, можно полностью охарактеризовать с точки зрения подчиненности. Таким образом, две наиболее фундаментальные концепции, относящиеся к (предварительным) фильтрам топологии (то есть предельная точка и точка кластера), могут быть полностью определены в терминах отношения подчинения. Именно поэтому предзаказ $\,\leq \,$ имеет огромное значение при применении (предварительных) фильтров в топологии.

Соотношения предельных и кластерных точек и достаточные условия

Каждая предельная точка невырожденного семейства ${\mathcal {B}}$ также является точкой кластера; в символах: $$\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.$$Это потому, что если $x$ является предельной точкой ${\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}$ сетка, что делает $x$ кластерная точка ${\mathcal {B}}.$ Но в целом точка кластера не обязательно должна быть предельной точкой. Например, каждая точка в любом заданном непустом подмножестве $K\subseteq X$ является точкой кластера основного предварительного фильтра ${\mathcal {B}}:=\{K\}$ (независимо от того, какая топология включена) $X$), но если $X$ это Хаусдорф и $K$ имеет более одной точки, то этот предварительный фильтр не имеет предельных точек; то же самое и с фильтром $\{K\}^{\uparrow X}$ что генерирует этот предварительный фильтр.

Однако каждая точка кластера ультрапрефильтра является предельной точкой. предельные точки ультрапрефильтра Следовательно , ${\mathcal {B}}$ совпадают с его точками кластера: $\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}=\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}};$ то есть данная точка является точкой кластера ультрапрефильтра ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ сходится к этой точке. Хотя точка кластера фильтра не обязательно должна быть предельной точкой, всегда существует более тонкий фильтр, который сходится к ней; в частности, если ${\mathcal {B}}$ кластеры в $x$ затем ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {N}}(x)=\{B\cap N:B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}(x)\}$ подбаза фильтра, сгенерированный фильтр которой сходится к $x.$

Если $\varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}}$ является подбазой фильтра такой, что ${\mathcal {S}}\to x{\text{ in }}X$ затем $x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.$ В частности, любая предельная точка подбазы фильтров, подчиненная ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ обязательно также является точкой кластера ${\mathcal {B}}.$ Если $x$ является кластерной точкой префильтра ${\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)$ является префильтром, подчиненным ${\mathcal {B}}$ который сходится к $x{\text{ in }}X.$

Если $S\subseteq X$ и если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $S$ тогда каждая точка кластера ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X$ принадлежит $\operatorname {cl} _{X}S$ и любая точка в $\operatorname {cl} _{X}S$ является предельной точкой фильтра на $S.$

Примитивные наборы

Подмножество $P\subseteq X$ называется примитивный если это набор предельных точек некоторого ультрафильтра (или, что то же самое, некоторого ультрапрефильтра). То есть, если существует ультрафильтр ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ такой, что $P$ равно $\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}},$ где отзыв обозначает множество предельных точек ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X.$ Поскольку предельные точки совпадают с точками кластера для ультрапрефильтров, подмножество является примитивным тогда и только тогда, когда оно равно множеству $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ точек кластера некоторого ультрапрефильтра ${\mathcal {B}}.$ Например, каждое закрытое одноэлементное подмножество является примитивным. Образ примитивного подмножества $X$ под непрерывной картой $f:X\to Y$ содержится в примитивном подмножестве $Y.$

Предположим, что $P,Q\subseteq X$ представляют собой два примитивных подмножества $X.$ Если $U$ является открытым подмножеством $X$ который пересекает $P$ затем $U\in {\mathcal {B}}$ для любого ультрафильтра ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ такой, что $P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}.$ Кроме того, если $P{\text{ and }}Q$ различны, то существует некоторое $S\subseteq X$ и некоторые ультрафильтры ${\mathcal {B}}_{P}{\text{ and }}{\mathcal {B}}_{Q}{\text{ on }}X$ такой, что $P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{P},Q=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{Q},S\in {\mathcal {B}}_{P},$ и $X\setminus S\in {\mathcal {B}}_{Q}.$

Другие результаты

См. также: Ограничьте верхний и нижний предел § Определение баз фильтров.

Если $X$ является полной решеткой , то:

• Предел ниже ​ $B$ является нижней границей множества всех точек кластера $B.$
• Предел выше ​ $B$ является супремумом множества всех точек кластера $B.$
• $B$ является сходящимся префильтром тогда и только тогда, когда его нижний предел и верхний предел совпадают; в этом случае значение, с которым они согласны, является пределом предварительного фильтра.

Пределы функций, определенные как пределы предварительных фильтров

См. Также: Предел функции и Односторонний предел.

Предполагать $f:X\to Y$ это отображение множества в топологическое пространство $Y,$ ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ и $y\in Y.$ Если $y$ является предельной точкой (соответственно, точкой кластера) $f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y$ затем $y$ называется предельной точкой или пределом , точкой кластера ) ( соответственно $f$ относительно ${\mathcal {B}}.$ Явно, $y$ является пределом $f$ относительно ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}(y)\leq f({\mathcal {B}}),$ который можно записать как $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ or }}\lim f({\mathcal {B}})\to y{\text{ in }}Y$ (по определению этого обозначения ) и выражается как $f$ склонны к $y$ вдоль ${\mathcal {B}}.$ Если предел $y$ уникален, то стрелка $\to$ можно заменить знаком равенства $=.$ Фильтр соседства ${\mathcal {N}}(y)$ может быть заменено любым эквивалентным ему семейством, и то же самое относится и к ${\mathcal {B}}.$

Определение сходящейся сети является частным случаем приведенного выше определения предела функции. В частности, если $x\in X{\text{ and }}\chi :(I,\leq )\to X$ тогда это сеть $$\chi \to x{\text{ in }}X\quad {\text{ if and only if }}\quad \chi (\operatorname {Tails} (I,\leq ))\to x{\text{ in }}X,$$где в левой части указано, что $x$ это предел сети $\chi$ в то время как правая часть утверждает, что $x$ является пределом функции $\chi$ относительно ${\mathcal {B}}:=\operatorname {Tails} (I,\leq )$ (как только что определено выше).

В таблице ниже показано, как различные типы ограничений, встречающиеся в анализе и топологии, могут быть определены с точки зрения сходимости изображений (под $f$) конкретных префильтров в домене $X.$ Это показывает, что предварительные фильтры обеспечивают общую структуру, в которую вписываются многие из различных определений пределов. Пределы в крайнем левом столбце определяются обычным способом с их очевидными определениями.

Всюду пусть $f:X\to Y$ быть картой между топологическими пространствами, $x_{0}\in X,{\text{ and }}y\in Y.$ Если $Y$ это Хаусдорф, то все стрелки " $\to y$" в таблице допускается замена знаком равенства " $=y$" и " $\lim f({\mathcal {B}})\to y$" можно заменить на " $\lim f({\mathcal {B}})=y$".

Тип лимита	тогда и только тогда, когда	Определение с точки зрения предварительных фильтров	Предположения
$\lim _{x\to x_{0}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{N\setminus \left\{x_{0}\right\}:N\in {\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right\}$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\in S}}f(x)\to y$ или $\lim _{x\to x_{0}}f{\big \vert }_{S}(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right){\big \vert }_{S}\,:=\,\left\{N\cap S:N\in {\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right\}$	$S\subseteq X{\text{ and }}x_{0}\in \operatorname {cl} _{X}S$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x_{0}-r,x_{0}\right)\cup \left(x_{0},x_{0}+r\right):0<r\in \mathbb {R} \right\}$	$x_{0}\in X=\mathbb {R}$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x<x_{0}}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x,x_{0}\right):x<x_{0}\right\}$	$x_{0}\in X=\mathbb {R}$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\leq x_{0}}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x,x_{0}\right]:x<x_{0}\right\}$	$x_{0}\in X=\mathbb {R}$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x>x_{0}}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x_{0},x\right):x_{0}<x\right\}$	$x_{0}\in X=\mathbb {R}$
$\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\geq x_{0}}}f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left[x_{0},x\right):x_{0}\leq x\right\}$	$x_{0}\in X=\mathbb {R}$
$\lim _{n\to \infty }f(n)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\{\{n,n+1,\ldots \}~:~n\in \mathbb {N} \}\}$	$X=\mathbb {N} {\text{ so }}f:\mathbb {N} \to Y$ представляет собой последовательность в $Y$
$\lim _{x\to \infty }f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,(\mathbb {R} ,\infty )\,:=\,\{(x,\infty ):x\in \mathbb {R} \}$	$X=\mathbb {R}$
$\lim _{x\to -\infty }f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,(-\infty ,\mathbb {R} )\,:=\,\{(-\infty ,x):x\in \mathbb {R} \}$	$X=\mathbb {R}$
$\lim _{|x|\to \infty }f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\{X\cap [(-\infty ,x)\cup (x,\infty )]:x\in \mathbb {R} \}$	$X=\mathbb {R} {\text{ or }}X=\mathbb {Z}$ для двусторонней последовательности
$\lim _{\|x\|\to \infty }f(x)\to y$	⇔	$f({\mathcal {B}})\to y{\text{ where }}{\mathcal {B}}\,:=\,\{\{x\in X:\|x\|>r\}~:~0<r\in \mathbb {R} \}$	$(X,\|\cdot \|){\text{ is}}$ пространство полунормированное ; например, банахово пространство ${\text{like }}X=\mathbb {C}$

Определив различные предварительные фильтры, можно определить многие другие понятия пределов; например, $\lim _{\stackrel {|x|\to |x_{0}|}{|x|\neq |x_{0}|}}f(x)\to y.$

Дивергенция до бесконечности

Расхождение действительной функции к бесконечности можно определить/охарактеризовать с помощью предварительных фильтров. $$(\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}~~{\text{ and }}~~(-\infty ,\mathbb {R} ):=\{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \},$$где $f\to \infty$ вдоль ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда $(\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})$ и аналогично, $f\to -\infty$ вдоль ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда $(-\infty ,\mathbb {R} )\leq f({\mathcal {B}}).$ Семья $(\mathbb {R} ,\infty )$ может быть заменено любым эквивалентным ему семейством, например $[\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}$ например (в реальном анализе это соответствовало бы замене строгого неравенства " $f(x)>r$" в определении с " $f(x)\geq r$"), и то же самое относится и к ${\mathcal {B}}$ и $(-\infty ,\mathbb {R} ).$

Так, например, если ${\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)$ затем $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\to \infty$ тогда и только тогда, когда $(\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})$ держит. Сходным образом, $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\to -\infty$ тогда и только тогда, когда $(-\infty ,\mathbb {R} )\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right),$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $(-\infty ,\mathbb {R} ]\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right).$

В более общем смысле, если $f$ ценится в $Y=\mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}Y=\mathbb {C} ^{n}$ (или какое-то другое полунормированное векторное пространство ), и если $B_{\geq r}:=\{y\in Y:|y|\geq r\}=Y\setminus B_{<r}$ затем $\lim _{x\to x_{0}}|f(x)|\to \infty$ тогда и только тогда, когда $B_{\geq \mathbb {R} }\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right)$ держится, где $B_{\geq \mathbb {R} }:=\left\{B_{\geq r}:r\in \mathbb {R} \right\}.$

Фильтры и сети

См. Также: Фильтр (теория множеств) § Фильтры и сети.

В этом разделе будут очень подробно описаны взаимоотношения между префильтрами и цепями, поскольку эти детали важны для применения фильтров к топологии, особенно при переключении с использования цепей на использование фильтров и наоборот.

Сети к префильтрам

В приведенных ниже определениях первое утверждение представляет собой стандартное определение предельной точки сети (соответственно, точки кластера сети), и оно постепенно переформулируется до тех пор, пока не будет достигнута соответствующая концепция фильтра.

сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ говорят, что они сходятся в $(X,\tau )$ в точку $x\in X,$ написано $x_{\bullet }\to x{\text{ in }}X,$ и $x$ называется пределом или предельной точкой $x_{\bullet },$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: Для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ существует какой-то $i\in I$ такое, что если $i\leq j\in I{\text{ then }}x_{j}\in N.$
2. Для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ существует какой-то $i\in I$ такой, что хвост $x_{\bullet }$ начиная с $i$ содержится в $N$ (то есть такой, что $x_{\geq i}\subseteq N$).
3. Для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ существует какой-то $B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ такой, что $B\subseteq N.$
4. ${\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).$
5. $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x{\text{ in }}X;$ то есть предфильтр $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ сходится к $x.$

По-прежнему, $\lim x_{\bullet }=x$ определяется как означает, что $x_{\bullet }\to x$ и $x$ является единственной предельной точкой $x_{\bullet };$ то есть, если еще $x_{\bullet }\to z{\text{ then }}z=x.$

точка $x\in X$ называется кластером или точкой накопления сети $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}(X,\tau )$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Определение: Для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ и каждый $i\in I,$ существует какой-то $i\leq j\in I$ такой, что $x_{j}\in N.$
2. Для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ и каждый $i\in I,$ хвост $x_{\bullet }$ начиная с $i$ пересекает $N$ (то есть, $x_{\geq i}\cap N\neq \varnothing$).
3. Для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ и каждый $B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right),B\cap N\neq \varnothing .$
4. ${\mathcal {N}}_{\tau }(x){\text{ and }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ сетка (по определению «сетка» ).
5. $x$ является точкой кластера $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).$

Если $f:X\to Y$ это карта и $x_{\bullet }$ это сеть в $X$ затем $\operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).$

Префильтры к сетям

– Остроконечное множество это пара $(S,s)$ состоящий из непустого множества $S$ и элемент $s\in S.$ Для любой семьи ${\mathcal {B}},$ позволять $$\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\}.$$

Определить канонический предварительный заказ $\,\leq \,$ на указанных множествах, объявив $$(R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.$$

Есть каноническая карта $\operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X$ определяется $(B,b)\mapsto b.$ Если $i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$ затем конец задания $\operatorname {Point} _{\mathcal {B}}$ начиная с $i_{0}$ является $\left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.$

Хотя $(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )$ вообще говоря, не является частично упорядоченным множеством, оно является направленным множеством, если (и только если) ${\mathcal {B}}$ является предфильтром. Итак, самый непосредственный выбор для определения «сети в $X$ вызванный предварительным фильтром ${\mathcal {B}}$" это задание $(B,b)\mapsto b$ от $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$ в $X.$

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ тогда сеть, связанная с ${\mathcal {B}}$ это карта

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}$$

то есть, $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.$

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ это сеть в $X$ и предварительный фильтр, связанный с $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}$; то есть: $$\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.$$Это не обязательно было бы правдой, если бы $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ были определены на правильном подмножестве $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).$

Если $x_{\bullet }$ это сеть в $X$ тогда это не верно вообще $\operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ равно $x_{\bullet }$ потому что, например, область $x_{\bullet }$ может иметь совершенно другую мощность, чем у $\operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ (поскольку в отличие от области $\operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},$ область определения произвольной сети в $X$ может иметь любую мощность).

Предложение — Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ и $x\in X$ затем

1. ${\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.$
2. $x$ является точкой кластера ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда $x$ является точкой кластера $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$

Доказательство

Напомним, что ${\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)$ и это если $x_{\bullet }$ это сеть в $X$ тогда (1) $x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x,$ и (2) $x$ является точкой кластера $x_{\bullet }$ тогда и только тогда, когда $x$ является точкой кластера $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).$ Используя $x_{\bullet }:=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right),$ отсюда следует, что $${\mathcal {B}}\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.$$ Из этого также следует, что $x$ является точкой кластера ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда $x$ является точкой кластера $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)$ тогда и только тогда, когда $x$ является точкой кластера $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$

Частично заказанная сеть

Область канонической сети $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ вообще не является частично упорядоченным. Однако в 1955 году Брунс и Шмидт обнаружили конструкция (подробно описанная здесь: Фильтр (теория множеств)#Частично упорядоченная сеть ), которая позволяет канонической сети иметь область, которая одновременно частично упорядочена и направлена; это было независимо переоткрыто Альбертом Вилански в 1970 году. Поскольку хвосты этой частично упорядоченной сети идентичны хвостам $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ (так как оба равны префильтру ${\mathcal {B}}$), обычно ничего не теряется, если предположить, что область цепи, связанная с предварительным фильтром, одновременно направлена ​​и частично упорядочена. Далее можно предположить, что частично упорядоченная область также является плотным порядком .

Подчиненные фильтры и подсети

Понятие « ${\mathcal {B}}$ находится в подчинении ${\mathcal {C}}$"(написано ${\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}$) для фильтров и предфильтров что " $x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }$ является подпоследовательностью ​ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$" предназначен для последовательностей. Например, если $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ обозначает множество хвостов $x_{\bullet }$ и если $\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}$ обозначает множество хвостов подпоследовательности $x_{n_{\bullet }}$ (где $x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{j}}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in \mathbb {N} \right\}$) затем $\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ (что по определению означает $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)$) верно, но $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)$ вообще неверно. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в топологическом пространстве $X$ и если ${\mathcal {N}}(x)$ фильтр окрестности в точке $x\in X,$ затем $x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {N}}(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).$

Если $f:X\to Y$ является сюръективной открытой картой, $x\in X,$ и ${\mathcal {C}}$ это предварительный фильтр на $Y$ который сходится к $f(x),$ тогда существует предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ на $X$ такой, что ${\mathcal {B}}\to x$ и $f({\mathcal {B}})$ эквивалентно ${\mathcal {C}}$ (то есть, ${\mathcal {C}}\leq f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}$).

Аналоги подчинения результатов, включающие подпоследовательности

Смотрите также: Секвенциальное пространство и пространство Фреше – Урысона.

Следующие результаты являются аналогами префильтров операторов, включающих подпоследовательности. Условие " ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}},$", что также написано ${\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {B}},$ является аналогом " ${\mathcal {C}}$ является подпоследовательностью ${\mathcal {B}}.$Таким образом, «более тоньше чем» и «подчинено» — это префильтр, аналог «подпоследовательности». Некоторые люди предпочитают говорить «подчинять» вместо «более точно», потому что это больше напоминает «подпоследовательность».

Предложение - Позволять ${\mathcal {B}}$ быть предварительным фильтром $X$ и пусть $x\in X.$

1. Предполагать ${\mathcal {C}}$ является предфильтром таким, что ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}.$
   1. Если ${\mathcal {B}}\to x{\text{ then }}{\mathcal {C}}\to x.$
      • Это аналог фразы «если последовательность сходится к $x$ то же самое происходит и с каждой подпоследовательностью».
   2. Если $x$ является точкой кластера ${\mathcal {C}}$ затем $x$ является точкой кластера ${\mathcal {B}}.$
      • Это аналог «если $x$ является точкой кластера некоторой подпоследовательности, то $x$ является точкой кластера исходной последовательности».
2. ${\mathcal {B}}\to x$ тогда и только тогда, когда для любого более тонкого предварительного фильтра ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}$ существует еще более тонкий фильтр предварительной очистки ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$ такой, что ${\mathcal {F}}\to x.$
   • Это аналог фразы «последовательность сходится к $x$ тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к $x.$"
3. $x$ является точкой кластера ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда существует более тонкий предварительный фильтр ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}$ такой, что ${\mathcal {C}}\to x.$
   • Это аналог следующего ложного утверждения: « $x$ является точкой кластера последовательности тогда и только тогда, когда у нее есть подпоследовательность, сходящаяся к $x$(то есть тогда и только тогда, когда $x$ является последовательным пределом ).
   • Аналог для последовательностей неверен, поскольку на ней существует топология Хаусдорфа. $X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}$ и последовательность в этом пространстве (оба определены здесь ), который группируется в $(0,0)$ но это также не имеет никакой подпоследовательности, которая сходится к $(0,0).$

Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров

См. также: Сеть (математика) , Подсеть (математика) и Фильтр (теория множеств) § Подсети и подчиненные фильтры.

Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли — наиболее часто используемые определения « подсети ». Первое определение подсети («подсеть Келли») было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. Стивен Уиллард представил в 1970 году свой собственный вариант («подсеть Уилларда») определения подсети, данного Келли. Подсети AA были независимо представлены Смайли (1957), Аарнесом и Анденаесом (1972) и Мурдешваром (1983); AA-подсети были очень подробно изучены Аарнесом и Анденаесом, но они не часто используются.

Подмножество $R\subseteq I$ места заранее заказанного $(I,\leq )$ является частые или конинальные в $I$ если для каждого $i\in I$ существует какой-то $r\in R$ такой, что $i\leq r.$ Если $R\subseteq I$ содержит хвост $I$ затем $R$ Говорят, что это в конечном итоге в $I$}}; явно это означает, что существует некоторый $i\in I$ такой, что $I_{\geq i}\subseteq R$ (то есть, $j\in R$ для всех $j\in I$ удовлетворяющий $i\leq j$). Подмножество является возможным тогда и только тогда, когда его дополнение не является частым (что называется нечасто ). Карта $h:A\to I$ между двумя предварительно заказанными наборами порядок – сохранение, если когда угодно $a,b\in A$ удовлетворить $a\leq b,$ затем $h(a)\leq h(b).$

Определения : Пусть $S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X$ быть сетями. Затем

1. $S_{\bullet }$ это Уиллард – подсеть $N_{\bullet }$ или подсеть в смысле Уилларда, если существует сохраняющее порядок отображение $h:A\to I$ такой, что $S=N\circ h{\text{ and }}h(A)$ является конфинальным в $I.$
2. $S_{\bullet }$ это Келли – подсеть $N_{\bullet }$ или подсеть в смысле Келли, если существует карта $h~:~A\to I$ такой, что $S=N\circ h$ и всякий раз, когда $E\subseteq I$ возможно ​ в $I$ затем $h^{-1}(E)$ возможно в $A.$
3. $S_{\bullet }$ это AA – подсеть $N_{\bullet }$ или подсеть в смысле Аарнеса и Анденаеса, если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
   1. $\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).$
   2. $\operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).$
   3. Если $J$ возможно ​ в $I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))$ возможно в $A.$
   4. Для любого подмножества $R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}$ сетка, то так и делай $\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.$
   5. Для любого подмножества $R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.$

Келли не потребовалась карта $h$ сохранять порядок, в то время как определение подсети AA полностью устраняет любое сопоставление между доменами двух сетей и вместо этого полностью фокусируется на $X$ − общий кодомен сетей. Каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, и обе являются подсетями AA. В частности, если $y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}$ является подсетью Уилларда или подсетью Келли $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ затем $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).$

Пример: Если $I=\mathbb {N}$ и $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ является постоянной последовательностью, и если $A=\{1\}$ и $s_{1}:=x_{1}$ затем $\left(s_{a}\right)_{a\in A}$ это AA-подсеть $x_{\bullet }$ но это не подсеть Уилларда и не подсеть Келли $x_{\bullet }.$

Подсети AA имеют определяющую характеристику, которая сразу показывает, что они полностью взаимозаменяемы с под(ординатными) фильтрами. Явно имеется в виду, что для AA-подсетей справедливо следующее утверждение:

Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ тогда это предфильтры ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ представляет собой AA-подсеть $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$

Если «AA–подсеть» заменить на «Willard–subnet» или «Kelley–subnet», то приведенное выше утверждение становится ложным . В частности, как показывает этот контрпример , проблема в том, что следующее утверждение в целом неверно:

     Ложное утверждение: Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются предфильтрами такими, что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ является подсетью Келли $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$

Поскольку каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, это утверждение, таким образом, остается ложным, если слово «подсеть Келли» заменить на «подсеть Уилларда».

Если «подсеть» определяется как означающая Уилларда-подсеть или Келли-подсеть, то сети и фильтры не являются полностью взаимозаменяемыми, поскольку существуют отношения фильтр-под(ординатный) фильтр, которые не могут быть выражены через отношения сеть-подсеть между ними. индуцированные сети. В частности, проблема в том, что подсети Келли и подсети Уилларда не полностью взаимозаменяемы с подчиненными фильтрами. Если понятие «подсеть» не используется или если «подсеть» определяется как AA-подсеть, то это перестает быть проблемой, и поэтому становится правильным сказать, что сети и фильтры взаимозаменяемы. Несмотря на то, что подсети AA не имеют таких проблем, как подсети Уилларда и Келли, они широко не используются и о них не известно.

Топологии и предварительные фильтры

Через, $(X,\tau )$ является топологическим пространством .

Примеры связей между фильтрами и топологиями

Базы и префильтры

Позволять ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ быть семейством множеств, охватывающим $X$ и определить ${\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\}$ для каждого $x\in X.$ Определение базы некоторой топологии можно сразу переформулировать так: ${\mathcal {B}}$ является основой для некоторой топологии на $X$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}_{x}$ представляет собой базу фильтров для каждого $x\in X.$ Если $\tau$ это топология на $X$ и ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ тогда определения ${\mathcal {B}}$ является основой (соответственно подбазой ) для $\tau$ можно перефразировать как:

     ${\mathcal {B}}$ является базой (соответственно подбазой) для $\tau$ тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X,{\mathcal {B}}_{x}$ — это база фильтра (соответственно подбаза фильтра), которая генерирует фильтр соседства $(X,\tau )$ в $x.$

Фильтры соседства

Типичным примером фильтра является набор всех окрестностей точки топологического пространства. Любой базис окрестности точки (или подмножества) топологического пространства является предварительным фильтром. Фактически, определение базы соседства можно эквивалентно переформулировать так: «база соседства — это любой предварительный фильтр, который эквивалентен фильтру соседства».

Базы соседства в точках являются примерами предварительных фильтров, которые фиксированы, но могут быть или не быть главными. Если $X=\mathbb {R}$ имеет свою обычную топологию и если $x\in X,$ затем любая база фильтров соседства ${\mathcal {B}}$ из $x$ фиксируется $x$ (на самом деле, это даже правда, что $\ker {\mathcal {B}}=\{x\}$) но ${\mathcal {B}}$ является не главным, поскольку $\{x\}\not \in {\mathcal {B}}.$Напротив, топологическое пространство имеет дискретную топологию тогда и только тогда, когда фильтр окрестности каждой точки является основным фильтром, порожденным ровно одной точкой. Это показывает, что неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно является свободным.

Фильтр соседства каждой точки $x$ в топологическом пространстве $X$ фиксировано, поскольку его ядро ​​содержит $x$ (и, возможно, другие моменты, если, например, $X$ является T1 _{пространством} не ). Это также верно для любого базиса окрестности в $x.$ Для любой точки $x$ в T ₁ пространстве (например, хаусдорфовом пространстве ) ядро ​​фильтра окрестности $x$ равно одноэлементному множеству $\{x\}.$

Однако фильтр окрестности в точке может быть главным, но не дискретным (т. е. не главным в одной точке). Районная основа ${\mathcal {B}}$ точки $x$ в топологическом пространстве является главным тогда и только тогда, когда ядро ${\mathcal {B}}$ представляет собой открытое множество. Если, кроме того, пространство равно T _1, то $\ker {\mathcal {B}}=\{x\}$ так что эта основа ${\mathcal {B}}$ является главным тогда и только тогда, когда $\{x\}$ представляет собой открытое множество.

Генерация топологий из фильтров и предфильтров

Предполагать ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ не пусто (и $X\neq \varnothing$). Если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ затем $\{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}$ это топология на $X$ но обратное, вообще говоря, неверно. Это показывает, что в некотором смысле фильтры представляют собой почти топологии. Топологии формы $\{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}$ где ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $X$ являются еще более специализированным подклассом таких топологий; они обладают тем свойством, что каждое правильное подмножество $\varnothing \neq S\subseteq X$ открыта либо , либо закрыта, но (в отличие от дискретной топологии ) никогда и то, и другое. Эти пространства являются, в частности, примерами дверных пространств .

Если ${\mathcal {B}}$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра, собственно π –системой) на $X$ тогда то же самое верно для обоих $\{X\}\cup {\mathcal {B}}$ и набор ${\mathcal {B}}_{\cup }$ всех возможных объединений одного или нескольких элементов ${\mathcal {B}}.$ Если ${\mathcal {B}}$ замкнуто относительно конечных пересечений, то множество $\tau _{\mathcal {B}}=\{\varnothing ,X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }$ это топология на $X$ с обоими $\{X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}\{X\}\cup {\mathcal {B}}$ являющихся для этого базами . Если π –система ${\mathcal {B}}$ обложки $X$ тогда оба ${\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}{\mathcal {B}}$ также являются базой для $\tau _{\mathcal {B}}.$ Если $\tau$ это топология на $X$ затем $\tau \setminus \{\varnothing \}$ является префильтром (или, что то же самое, π –системой) тогда и только тогда, когда он обладает свойством конечного пересечения (т. е. является подбазой фильтра), и в этом случае подмножество ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ будет основой для $\tau$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}$ эквивалентно $\tau \setminus \{\varnothing \},$ в этом случае ${\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}$ будет предфильтр.

Топологические свойства и предварительные фильтры

Окрестности и топологии

Фильтр окрестности непустого подмножества $S\subseteq X$ в топологическом пространстве $X$ равно пересечению всех фильтров окрестности всех точек в $S.$ Подмножество $S\subseteq X$ открыт в $X$ тогда и только тогда, когда когда-либо ${\mathcal {F}}$ это фильтр на $X$ и $s\in S,$ затем ${\mathcal {F}}\to s{\text{ in }}X{\text{ implies }}S\in {\mathcal {F}}.$

Предполагать $\sigma {\text{ and }}\tau$ топологии на $X.$ Затем $\tau$ тоньше, чем $\sigma$ (то есть, $\sigma \subseteq \tau$) тогда и только тогда, когда $x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}$ это фильтр на $X,$ если ${\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau )$ затем ${\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma ).$ Следовательно, $\sigma =\tau$ тогда и только тогда, когда для каждого фильтра ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ и каждый $x\in X,{\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma )$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau ).$ Однако возможно, что $\sigma \neq \tau$ а также для каждого фильтра ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X,{\mathcal {B}}$ сходится к некоторой точке $X{\text{ in }}(X,\sigma )$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ сходится к некоторой точке $X{\text{ in }}(X,\tau ).$

Закрытие

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на подмножестве $S\subseteq X$ тогда каждая точка кластера ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X$ принадлежит $\operatorname {cl} _{X}S.$

Если $x\in X{\text{ and }}S\subseteq X$ является непустым подмножеством, то следующие условия эквивалентны:

1. $x\in \operatorname {cl} _{X}S$
2. $x$ является предельной точкой предварительного фильтра на $S.$ Явно: существует префильтр ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}S$ такой, что ${\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.$
3. $x$ является предельной точкой фильтра на $S.$
4. Есть префильтр ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ такой, что $S\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.$
5. Предварительный фильтр $\{S\}$ сетка с фильтром соседства ${\mathcal {N}}(x).$ Сказал по-другому, $x$ является точкой кластера префильтра $\{S\}.$
6. Предварительный фильтр $\{S\}$ сетка с некоторой (или, что то же самое, с каждой) базой фильтров для ${\mathcal {N}}(x)$ (то есть, с каждым базисом окрестности в $x$).

Следующие действия эквивалентны:

1. $x$ это предельные точки $S{\text{ in }}X.$
2. Есть префильтр ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}\{S\}\setminus \{x\}$ такой, что ${\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.$

Закрытые наборы

Если $S\subseteq X$ не пусто, то следующие условия эквивалентны:

1. $S$ является закрытым подмножеством $X.$
2. Если $x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)$ это предварительный фильтр на $S$ такой, что ${\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X,$ затем $x\in S.$
3. Если $x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)$ это предварительный фильтр на $S$ такой, что $x$ представляет собой точки накопления ${\mathcal {F}}{\text{ in }}X,$ затем $x\in S.$
4. Если $x\in X$ таков, что фильтр окрестности ${\mathcal {N}}(x)$ соединяется с $\{S\}$ затем $x\in S.$

Хаусдорфность

Следующие действия эквивалентны:

1. $X$ является хаусдорфовым пространством .
2. Каждый предварительный фильтр включен $X$ сходится не более чем к одной точке $X.$
3. Вышеприведенное утверждение, но с заменой слова «предварительный фильтр» на одно из следующих: фильтр, ультрапрефильтр, ультрафильтр.

Компактность

Как обсуждается в этой статье , лемма об ультрафильтре тесно связана со многими важными теоремами, касающимися компактности.

Следующие действия эквивалентны:

1. $(X,\tau )$ представляет собой компактное пространство .
2. Каждый ультрафильтр включен $X$ сходится хотя бы к одной точке $X.$
   • То, что из этого условия следует компактность, можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре. Из компактности следует, что это условие можно доказать без леммы об ультрафильтре (или даже аксиомы выбора).
3. Вышеприведенное утверждение, но слово «ультрафильтр» заменено на «ультрапредварительный фильтр».
4. Для каждого фильтра ${\mathcal {C}}{\text{ on }}X$ существует фильтр ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ такой, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {F}}$ сходится к некоторой точке $X.$
5. Вышеприведенное утверждение, но с заменой каждого слова «фильтр» на: prefilter.
6. Каждый фильтр включен $X$ имеет хотя бы одну точку кластера в $X.$
   • То, что это условие эквивалентно компактности, можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре.
7. Вышеприведенное утверждение, но слово «фильтр» заменено на «предварительный фильтр».
8. Теорема Александера о подбазе : существует подбаза ${\mathcal {S}}{\text{ for }}\tau$ так, что каждое покрытие $X$ по наборам ${\mathcal {S}}$ имеет конечное подпокрытие.
   • То, что это условие эквивалентно компактности, можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре.

Если ${\mathcal {F}}$ - это множество всех дополнений к компактным подмножествам данного топологического пространства. $X,$ затем ${\mathcal {F}}$ это фильтр на $X$ тогда и только тогда, когда $X$ не . компактен

Теорема - Если ${\mathcal {B}}$ является фильтром на компактном пространстве и $C$ представляет собой набор точек кластера ${\mathcal {B}},$ тогда каждое соседство $C$ принадлежит ${\mathcal {B}}.$ Таким образом, фильтр на компактном хаусдорфовом пространстве сходится тогда и только тогда, когда он имеет единственную точку кластера.

Непрерывность

Позволять $f:X\to Y$ быть картой между топологическими пространствами $(X,\tau ){\text{ and }}(Y,\upsilon ).$

Данный $x\in X,$ следующие эквивалентны:

1. $f:X\to Y$ является непрерывным в $x.$
2. Определение: Для каждого района $V$ из $f(x){\text{ in }}Y$ существует какое-то соседство $N$ из $x{\text{ in }}X$ такой, что $f(N)\subseteq V.$
3. $f({\mathcal {N}}(x))\to f(x){\text{ in }}Y.$
4. Если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ такой, что ${\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X$ затем $f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.$
5. Вышеприведенное утверждение, но слово «фильтр» заменено на «предварительный фильтр».

Следующие действия эквивалентны:

1. $f:X\to Y$ является непрерывным.
2. Если $x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ такой, что ${\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X$ затем $f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.$
3. Если $x\in X$ это предельная точка предварительного фильтра ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ затем $f(x)$ является предельной точкой $f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y.$
4. Любое из двух приведенных выше утверждений, но с заменой слова «предварительный фильтр» на «фильтр».

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X,x\in X$ является точкой кластера ${\mathcal {B}},{\text{ and }}f:X\to Y$ является непрерывным, то $f(x)$ является точкой кластера в $Y$ предварительного фильтра $f({\mathcal {B}}).$

Подмножество $D$ топологического пространства $X$ плотный ​ в $X$ тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X,$ след ${\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}$ фильтра соседства ${\mathcal {N}}_{X}(x)$ вдоль $D$ не содержит пустого набора (в этом случае это будет фильтр по $D$).

Предполагать $f:D\to Y$ Хаусдорфово пространство. является непрерывным отображением в регулярное $Y$ и это $D$ является плотным подмножеством топологического пространства $X.$ Затем $f$ имеет непрерывное продолжение $F:X\to Y$ тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X,$ предварительный фильтр $f\left({\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}\right)$ сходится к некоторой точке $Y.$ Более того, это непрерывное расширение будет уникальным всякий раз, когда оно существует.

Продукты

Предполагать $X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ — непустое семейство непустых топологических пространств, семейство префильтров, где каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это предварительный фильтр на $X_{i}.$ Тогда продукт ${\mathcal {B}}_{\bullet }$ из этих предварительных фильтров (определенных выше) является предварительным фильтром в пространстве продукта. ${\textstyle \prod }X_{\bullet },$ который, как обычно, наделен топологией произведения .

Если $x_{\bullet }:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod }X_{\bullet },$ затем ${\mathcal {B}}_{\bullet }\to x_{\bullet }{\text{ in }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}_{i}\to x_{i}{\text{ in }}X_{i}{\text{ for every }}i\in I.$

Предполагать $X{\text{ and }}Y$ являются топологическими пространствами, ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ имея $x\in X$ как точка кластера, и ${\mathcal {C}}$ это предварительный фильтр на $Y$ имея $y\in Y$ как точка кластера. Затем $(x,y)$ является точкой кластера ${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$ в продуктовом пространстве $X\times Y.$ Однако, если $X=Y=\mathbb {Q}$ тогда существуют последовательности $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ and }}\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq Y$ так что обе эти последовательности имеют точку кластера в $\mathbb {Q}$ но последовательность $\left(x_{i},y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\times Y$ не имеет точки кластера $X\times Y.$

Пример применения: из леммы об ультрафильтре вместе с аксиомами ZF следует теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств:

показывать Доказательство

Let $X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ be compact Hausdorff topological spaces. Assume that the ultrafilter lemma holds (because of the Hausdorff assumption, this proof does not need the full strength of the axiom of choice; the ultrafilter lemma suffices). Let $X:={\textstyle \prod }X_{\bullet }$ be given the product topology (which makes $X$ a Hausdorff space) and for every $i,$ let $\Pr {}_{i}:X\to X_{i}$ denote this product's projections. If $X=\varnothing$ then $X$ is compact and the proof is complete so assume $X\neq \varnothing .$ Despite the fact that $X\neq \varnothing ,$ because the axiom of choice is not assumed, the projection maps $\Pr {}_{i}:X\to X_{i}$ are not guaranteed to be surjective. Let ${\mathcal {B}}$ be an ultrafilter on $X$ and for every $i,$ let ${\mathcal {B}}_{i}$ denote the ultrafilter on $X_{i}$ generated by the ultra prefilter $\Pr {}_{i}({\mathcal {B}}).$ Because $X_{i}$ is compact and Hausdorff, the ultrafilter ${\mathcal {B}}_{i}$ converges to a unique limit point $x_{i}\in X_{i}$ (because of $x_{i}$'s uniqueness, this definition does not require the axiom of choice). Let $x:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ where $x$ satisfies $\Pr {}_{i}(x)=x_{i}$ for every $i.$ The characterization of convergence in the product topology that was given above implies that ${\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X.$ Thus every ultrafilter on $X$ converges to some point of $X,$ which implies that $X$ is compact (recall that this implication's proof only required the ultrafilter lemma). $\blacksquare$

Примеры применения префильтров

Однородности и предварительные фильтры Коши

Основные статьи: Единое пространство , Полное однородное пространство и Полное метрическое пространство.

См. Также: Топологическая группа и Полное топологическое векторное пространство.

Единообразное пространство – это множество $X$ оснащен фильтром на $X\times X$ обладающий определенными свойствами. Базовая фундаментальная или система окружения — это предварительный фильтр на $X\times X$ замыкание вверх которого представляет собой однородное пространство. Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ на едином пространстве $X$ с единообразием ${\mathcal {F}}$ называется префильтром Коши, если для любого окружения $N\in {\mathcal {F}},$ существует какой-то $B\in {\mathcal {B}}$ то есть $N$–маленький , что означает, что $B\times B\subseteq N.$ Минимальный фильтр Коши — это минимальный элемент (по отношению к $\,\leq \,$ или, что эквивалентно, $\,\subseteq$) набора всех фильтров Коши на $X.$ Примеры минимальных фильтров Коши включают фильтр соседства. ${\mathcal {N}}_{X}(x)$ любой точки $x\in X.$ Любой сходящийся фильтр в однородном пространстве является фильтром Коши. Более того, каждая точка кластера фильтра Коши является предельной точкой.

Единое пространство $(X,{\mathcal {F}})$ называется полным (соответственно последовательно полным ), если каждый префильтр Коши (соответственно каждый элементарный префильтр Коши) на $X$ сходится хотя бы к одной точке $X$ (замена всех вхождений слова «предварительный фильтр» на «фильтр» приводит к эквивалентному утверждению).Каждое компактное однородное пространство является полным, поскольку любой фильтр Коши имеет точку кластера (в силу компактности), которая обязательно является также предельной точкой (поскольку фильтр является Коши).

Равномерные пространства стали результатом попыток обобщить такие понятия, как «равномерная непрерывность» и «равномерная сходимость», присутствующие в метрических пространствах. Любое топологическое векторное пространство и, в более общем смысле, каждую топологическую группу можно каноническим способом превратить в однородное пространство. Любая однородность также порождает каноническую индуцированную топологию. Фильтры и префильтры играют важную роль в теории равномерных пространств. Например, пополнение равномерного Хаусдорфа пространства (даже если оно не метризуемо ) обычно строится с использованием минимальных фильтров Коши. Сети менее идеальны для этой конструкции, поскольку их области определения чрезвычайно разнообразны (например, класс всех сетей Коши не является множеством); последовательности не могут использоваться в общем случае, поскольку топология может быть не метризуемой, счетной или даже последовательной . Набор всех минимальных фильтров Коши Хаусдорфа в топологическом векторном пространстве (TVS) $X$ можно превратить в векторное пространство и топологизировать таким образом, чтобы оно стало завершением $X$ (с заданием $x\mapsto {\mathcal {N}}_{X}(x)$ становится линейным топологическим вложением , которое идентифицирует $X$ как плотное векторное подпространство этого пополнения).

В более общем смысле, Пространство Коши – это пара $(X,{\mathfrak {C}})$ состоящий из набора $X$ вместе семья ${\mathfrak {C}}\subseteq \wp (\wp (X))$ (собственных) фильтров, члены которых объявлены как « фильтры Коши », имеющие все следующие свойства:

1. Для каждого $x\in X,$ дискретный ультрафильтр на $x$ является элементом ${\mathfrak {C}}.$
2. Если $F\in {\mathfrak {C}}$ является подмножеством правильного фильтра $G,$ затем $G\in {\mathfrak {C}}.$
3. Если $F,G\in {\mathfrak {C}}$ и если каждый член $F$ пересекает каждый член $G,$ затем $F\cap G\in {\mathfrak {C}}.$

Совокупность всех фильтров Коши в однородном пространстве образует пространство Коши. Каждое пространство Коши является также пространством сходимости . Карта $f:X\to Y$ между двумя пространствами Коши называется непрерывным Коши , если образ каждого фильтра Коши в $X$ представляет собой фильтр Коши в $Y.$ В отличие от категории топологических пространств , категория пространств Коши и непрерывных отображений Коши является декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости .

Топологизация набора префильтров

См. также: Каменное пространство.

Начиная с не более чем набора $X,$ можно топологизировать множество $$\mathbb {P} :=\operatorname {Prefilters} (X)$$всех баз фильтров на $X$ с Топология Стоуна , названная в честь Маршалла Харви Стоуна .

Чтобы избежать путаницы, в этой статье будут соблюдаться следующие соглашения об обозначениях:

• Строчные буквы для элементов $x\in X.$
• Прописные буквы для подмножеств $S\subseteq X.$
• Прописные каллиграфические буквы для подмножеств ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ (или, что то же самое, для элементов ${\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X)),$ например, предварительные фильтры).
• Прописные буквы с двойным ударением для подмножеств $\mathbb {P} \subseteq \wp (\wp (X)).$

Для каждого $S\subseteq X,$ позволять $$\mathbb {O} (S):=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}$$где $\mathbb {O} (X)=\mathbb {P} {\text{ and }}\mathbb {O} (\varnothing )=\varnothing .$ Эти множества будут основными открытыми подмножествами топологии Stone. Если $R\subseteq S\subseteq X$ затем $$\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~R\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}~\subseteq ~\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}.$$

Из этого включения можно вывести все включения подмножества, показанные ниже, за исключением $\mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S).$ Для всех $R\subseteq S\subseteq X,$$$\mathbb {O} (R\cap S)~=~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R)\cup \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R\cup S)$$где, в частности, выполнено равенство $\mathbb {O} (R\cap S)=\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)$ показывает, что семья $\{\mathbb {O} (S)~:~S\subseteq X\}$ это $\pi$–система , образующая основу топологии на $\mathbb {P}$ называется топологией Стоуна . Впредь предполагается, что $\mathbb {P}$ несет эту топологию и что любое подмножество $\mathbb {P}$ несет индуцированную топологию подпространства .

В отличие от большинства других общих конструкций топологий (например, топологии произведения , фактора , подпространства и т. д.), эта топология на $\mathbb {P}$ было определено без использования чего-либо, кроме набора $X;$ было не никаких ранее существовавших структур или предположений о $X$ поэтому эта топология полностью независима от всего, кроме $X$ (и его подмножества).

Следующие критерии можно использовать для проверки точек закрытия и окрестностей. Если $\mathbb {B} \subseteq \mathbb {P} {\text{ and }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {P}$ затем:

• Закрытие в $\mathbb {P}$: $\ {\mathcal {F}}$ относится к закрытию $\mathbb {B} {\text{ in }}\mathbb {P}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$
• Окрестности в $\mathbb {P}$: $\ \mathbb {B}$ это район ${\mathcal {F}}{\text{ in }}\mathbb {P}$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $\mathbb {O} (F)=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}\subseteq \mathbb {B}$ (то есть такой, что для всех ${\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ,{\text{ if }}F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\in \mathbb {B}$).

В дальнейшем будет считаться, что $X\neq \varnothing$ потому что иначе $\mathbb {P} =\varnothing$ и топология $\{\varnothing \},$ что неинтересно.

Подпространство ультрафильтров

Комплект ультрафильтров на $X$ (с топологией подпространства) является пространством Стоуна , что означает, что оно компактно, хаусдорфово и полностью несвязно . Если $X$ имеет дискретную топологию, то отображение $\beta :X\to \operatorname {UltraFilters} (X),$ определяется отправкой $x\in X$ к главному ультрафильтру в $x,$ — топологическое вложение, образ которого представляет собой плотное подмножество $\operatorname {UltraFilters} (X)$ см. статью « Компактификация Стоуна – Чеха ( подробнее »).

Отношения между топологиями на $X$ и топология Стоуна на $\mathbb {P}$

Каждый $\tau \in \operatorname {Top} (X)$ индуцирует каноническое отображение ${\mathcal {N}}_{\tau }:X\to \operatorname {Filters} (X)$ определяется $x\mapsto {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ который отправляет $x\in X$ к фильтру соседства $x{\text{ in }}(X,\tau ).$ Если $\tau ,\sigma \in \operatorname {Top} (X)$ затем $\tau =\sigma$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}_{\tau }={\mathcal {N}}_{\sigma }.$ Таким образом, каждая топология $\tau \in \operatorname {Top} (X)$ можно отождествить с каноническим отображением ${\mathcal {N}}_{\tau }\in \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),$ что позволяет $\operatorname {Top} (X)$ канонически идентифицироваться как подмножество $\operatorname {Func} (X;\mathbb {P} )$ (кстати, теперь можно разместить на $\operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),$ и, таким образом, также на $\operatorname {Top} (X),$ топология поточечной сходимости на $X$ так что теперь имеет смысл говорить о таких вещах, как последовательности топологий на $X$ сходящиеся поточечно). Для каждого $\tau \in \operatorname {Top} (X),$ сюръекция ${\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \operatorname {image} {\mathcal {N}}_{\tau }$ всегда непрерывен, замкнут и открыт , но он инъективен тогда и только тогда, когда $\tau {\text{ is }}T_{0}$ (т. е. пространство Колмогорова ). В частности, для каждого $T_{0}$ топология $\tau {\text{ on }}X,$ карта ${\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \mathbb {P}$ является топологическим вложением (иными словами, каждое колмогоровское пространство является топологическим подпространством пространства предфильтров).

Кроме того, если ${\mathfrak {F}}:X\to \operatorname {Filters} (X)$ это карта такая, что $x\in \ker {\mathfrak {F}}(x):={\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathfrak {F}}(x)}}F{\text{ for every }}x\in X$ (что верно для ${\mathfrak {F}}:={\mathcal {N}}_{\tau },$ например), то для каждого $x\in X{\text{ and }}F\in {\mathfrak {F}}(x),$ набор ${\mathfrak {F}}(F)=\{{\mathfrak {F}}(f):f\in F\}$ является окрестностью (в топологии подпространства) ${\mathfrak {F}}(x){\text{ in }}\operatorname {image} {\mathfrak {F}}.$

См. также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Фильтрация (математика)
• Фильтрация (теория вероятностей) - Модель информации, доступной в данной точке случайного процесса.
• Фильтрация (абстрактная алгебра)
• Фильтр Фреше – фильтр Фреше. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Общий фильтр - в теории множеств, учитывая набор плотных открытых подмножеств частичного множества, фильтр, который удовлетворяет всем наборам в этой коллекции. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Идеал (теория множеств) - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Компактификация Стоуна-Чеха # Конструкция с использованием ультрафильтров - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство страниц βX, отображающее описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Фундаментальная теорема ультрапродуктов . Математическая конструкция. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN  978-81-317-2692-1 . OCLC   789880519 .
• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN  978-90-277-1355-1 . OCLC   9944489 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Беррис, Стэнли ; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-9880552-0-9 . Архивировано из оригинала 1 апреля 2022 года.
• Картан, Анри (1937a). «Теория фильтров» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук . 205 : 595–598.
• Картан, Анри (1937b). «Фильтры и ультрафильтры» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук . 205 : 777–779.
• Комфорт, Уильям Вистар; Негрепонтис, Стилианос (1974). Теория ультрафильтров . Том. 211. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-06604-2 . ОСЛК   1205452 .
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN  0-85274-275-4 . ОСЛК   4146011 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN  978-0-471-60848-6 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN  978-0-387-97986-1 . OCLC   31969970 . ОЛ   1272666М .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-44085-7 . OCLC   50422939 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd.  978-0-85226-444-7 . OCLC   9218750 .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1 . ОСЛК   338047 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Макивер Р., Дэвид (1 июля 2004 г.). «Фильтры в анализе и топологии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2007 г. (Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co.  978-0-356-02077-8 . OCLC   463753 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-46903-4 . OCLC   227923899 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . ОСЛК   115240 .