Аксиоматические основы топологических пространств.

В математической области топологии топологическое пространство обычно определяется путем объявления его открытых множеств . Однако в этом нет необходимости, поскольку существует множество эквивалентных аксиоматических оснований, каждое из которых ведет к одной и той же концепции. Например, топологическое пространство определяет класс замкнутых множеств , операторов замыкания и внутренних операторов, а также сходимости различных типов объектов. Вместо этого каждый из них можно рассматривать как основной класс объектов, а все остальные (включая класс открытых множеств) определяются непосредственно из этой новой отправной точки. Например, в Казимира Куратовского известном учебнике по топологии точечных множеств топологическое пространство определяется как множество вместе с определенным типом «оператора замыкания», и все остальные понятия выводятся из него. Аналогично, аксиомы, основанные на соседстве (в контексте пространств Хаусдорфа ), можно проследить до Феликса Хаусдорфа исходного определения топологического пространства в Grundzüge der Mengenlehre .

Во многих разных учебниках для разработки топологии множества точек используется множество различных взаимозависимостей понятий. Результатом всегда является одна и та же коллекция объектов: открытые множества, закрытые множества и т. д. Для многих практических целей вопрос о том, какой фундамент выбран, не имеет значения, пока понятен смысл и взаимосвязь между объектами (многие из которых приведены в этой статье), одинаковыми независимо от выбора развития. Однако бывают случаи, когда гибкость может оказаться полезной. Например, существуют различные естественные понятия сходимости мер , и не сразу ясно, возникают ли они из топологической структуры или нет. Такие вопросы в значительной степени проясняются топологическими аксиомами, основанными на конвергенции.

Стандартные определения через открытые множества

Топологическое пространство – это множество $X$ вместе с коллекцией $S$ подмножеств ​ ​ $X$ удовлетворительно:

• Пустой набор и $X$ находятся в $S.$
• Объединение любого набора множеств в $S$ также находится в $S.$
• Пересечение в любой пары множеств $S$ также находится в $S.$ Эквивалентно, пересечение любого конечного набора множеств в $S$ также находится в $S.$

Учитывая топологическое пространство $(X,S),$ один относится к элементам $S$ как открытые множества $X,$ и обычно ссылаются только на $S$ таким образом или по метке топологии . Затем можно дать следующие второстепенные определения:

• Учитывая второе топологическое пространство $Y,$ функция $f:X\to Y$ называется непрерывным тогда и только тогда, когда для любого открытого подмножества $U$ из $Y,$ у одного есть это $f^{-1}(U)$ является открытым подмножеством $X.$
• Подмножество $C$ из $X$ замкнуто тогда и только тогда , когда его дополнение $X\setminus C$ открыт.
• Учитывая подмножество $A$ из $X,$ замыкание пересекаться - это множество всех точек, такое что любое открытое множество, содержащее такую ​​​​точку, должно $A.$
• Учитывая подмножество $A$ из $X,$ внутренняя часть — это объединение всех открытых множеств, содержащихся в $A.$
• Учитывая элемент $x$ из $X,$ говорят, что подмножество $A$ это район ​ $x$ тогда и только тогда, когда $x$ содержится в открытом подмножестве $X$ который также является подмножеством $A.$ В некоторых учебниках используется «окрестность $x$" вместо этого ссылаться на открытый набор, содержащий $x.$
• Говорят, что сеть сходится к точке $x$ из $X$ если для любого открытого множества $U$ содержащий $x,$ сеть в конечном итоге содержится в $U.$
• Учитывая набор $X,$ фильтр — это совокупность непустых подмножеств $X$ замкнутое относительно конечного пересечения и надмножеств. В некоторых учебниках допускается, чтобы фильтр содержал пустой набор, и зарезервировано название «правильный фильтр» для случая, когда он исключен. Топология на $X$ определяет понятие фильтра , сходящегося к точке $x$ из $X,$ требуя, чтобы любое открытое множество $U$ содержащий $x$ является элементом фильтра.
• Учитывая набор $X,$ база фильтров — это набор непустых подмножеств, в котором каждые два подмножества нетривиально пересекаются и содержат третье подмножество на пересечении. Учитывая топологию на $X,$ говорят, что база фильтров сходится к точке $x$ если каждая окрестность $x$ содержит некоторый элемент базы фильтров.

Определение через закрытые множества

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Согласно законам Де Моргана , коллекция $T$ замкнутых множеств удовлетворяет следующим свойствам:

• Пустой набор и $X$ являются элементами $T$
• Пересечение в любого набора множеств $T$ также находится в $T.$
• Объединение любой пары множеств в $T$ также находится в $T.$

Теперь предположим, что $X$ это всего лишь набор. Учитывая любую коллекцию $T$ подмножеств $X$ удовлетворяющие указанным выше аксиомам, соответствующее множество $\{U:X\setminus U\in T\}$ это топология на $X,$ и это единственная топология на $X$ для чего $T$ — соответствующий набор замкнутых множеств. Это означает, что топологию можно определить путем объявления замкнутых множеств. Таким образом, можно перефразировать все определения в терминах закрытых множеств:

• Учитывая второе топологическое пространство $Y,$ функция $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества $U$ из $Y,$ набор $f^{-1}(U)$ замкнуто как подмножество $X.$
• подмножество $C$ из $X$ открыт тогда и только тогда, когда его дополнение $X\setminus C$ закрыт.
• учитывая подмножество $A$ из $X,$ замыкание — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $A.$
• учитывая подмножество $A$ из $X,$ внутренняя часть является дополнением пересечения всех замкнутых множеств, содержащих $X\setminus A.$

Определение через операторы замыкания

Учитывая топологическое пространство $X,$ замыкание можно рассматривать как карту $\wp (X)\to \wp (X),$ где $\wp (X)$ обозначает мощности набор $X.$ Имеются следующие аксиомы замыкания Куратовского :

• $A\subseteq \operatorname {cl} (A)$
• $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)$
• $\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)$
• $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing$

Если $X$ является множеством, снабженным отображением, удовлетворяющим вышеуказанным свойствам, то набор всех возможных выходов cl удовлетворяет предыдущим аксиомам для замкнутых множеств и, следовательно, определяет топологию; это единственная топология, ассоциированный оператор замыкания которой совпадает с данным cl. Как и раньше, отсюда следует, что в топологическом пространстве $X,$ все определения могут быть сформулированы в терминах оператора замыкания:

• Учитывая второе топологическое пространство $Y,$ функция $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A$ из $X,$ у одного есть этот набор $f(\operatorname {cl} (A))$ является подмножеством $\operatorname {cl} (f(A)).$
• Подмножество $A$ из $X$ открыт тогда и только тогда, когда $\operatorname {cl} (X\setminus A)=X\setminus A.$
• Подмножество $C$ из $X$ закрыто тогда и только тогда, когда $\operatorname {cl} (C)=C.$
• Учитывая подмножество $A$ из $X,$ интерьер является дополнением $\operatorname {cl} (X\setminus A).$

Определение через внутренние операторы

См. Также: Интерьер (топология)

Учитывая топологическое пространство $X,$ интерьер можно рассматривать как карту $\wp (X)\to \wp (X),$ где $\wp (X)$ обозначает мощности набор $X.$ Он удовлетворяет следующим условиям:

• $\operatorname {int} (A)\subseteq A$
• $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$
• $\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)$
• $\operatorname {int} (X)=X$

Если $X$ является набором, снабженным отображением, удовлетворяющим вышеуказанным свойствам, то набор всех возможных выходных данных int удовлетворяет предыдущим аксиомам для открытых множеств и, следовательно, определяет топологию; это единственная топология, связанный с ней внутренний оператор совпадает с заданным int. Отсюда следует, что в топологическом пространстве $X,$ все определения можно сформулировать в терминах внутреннего оператора, например:

• Учитывая топологические пространства $X$ и $Y,$ функция $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $B$ из $Y,$ у одного есть этот набор $f^{-1}(\operatorname {int} (B))$ является подмножеством $\operatorname {int} (f^{-1}(B)).$
• Множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью.
• Замыкание множества — это дополнение внутренней части его дополнения.

Определение через внешние операторы

См. Также: Интерьер (топология) § Внешний вид множества.

Учитывая топологическое пространство $X,$ границу можно рассматривать как карту $\wp (X)\to \wp (X),$ где $\wp (X)$ обозначает мощности набор $X.$ Он удовлетворяет следующим условиям:

• $\operatorname {ext} (\varnothing )=X$
• $A\cap \operatorname {ext} (A)=\varnothing$
• $\operatorname {ext} (X\setminus \operatorname {ext} (A))=\operatorname {ext} (A)$
• $\operatorname {ext} (A\cup B)=\operatorname {ext} (A)\cap \operatorname {ext} (B)$

Если $X$ является множеством, снабженным отображением, удовлетворяющим указанным выше свойствам, то мы можем определить внутренний оператор и наоборот. Точнее, если мы определим $\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }=\operatorname {ext} (X\setminus A)$, $\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }$ удовлетворяет аксиомам внутреннего оператора и, следовательно, определяет топологию. И наоборот, если мы определим $\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }=\operatorname {int} (X\setminus A)$, $\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }$ удовлетворяет указанным выше аксиомам. Причем это соответствие 1-1. Отсюда следует, что в топологическом пространстве $X,$ все определения могут быть сформулированы в терминах внешнего оператора, например:

• Замыкание множества есть дополнение его внешнего вида. $\operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }(A)=X\setminus \operatorname {ext} (A)$.

• Учитывая второе топологическое пространство $Y,$ функция $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A$ из $X,$ у одного есть этот набор $f(X\setminus \operatorname {ext} (A))$ является подмножеством $X\setminus \operatorname {ext} (f(A)).$ Эквивалентно, $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $B$ из $Y,$ у одного есть этот набор $f^{-1}(\operatorname {ext} (X\setminus B))$ является подмножеством $\operatorname {ext} (X\setminus f^{-1}(B)).$
• Множество открыто тогда и только тогда, когда оно равно внешности своего дополнения.
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно равно дополнению своей внешности.

Определение через граничные операторы

См. также: Граница (топология).

Учитывая топологическое пространство $X,$ границу можно рассматривать как карту $\wp (X)\to \wp (X),$ где $\wp (X)$ обозначает мощности набор $X.$ Он удовлетворяет следующим условиям:

• $\partial A=\partial (X\setminus A)$
• $\partial (\partial (A))\subseteq \partial (A)$
• $\partial (A\cup B)\subseteq \partial (A)\cup \partial (B)$
• $A\subseteq B\Rightarrow \partial A\subseteq B\cup \partial B$
• $\partial (\varnothing )=\varnothing$

Если $X$ является множеством, снабженным отображением, удовлетворяющим вышеуказанным свойствам, то мы можем определить оператор замыкания и наоборот. Точнее, если мы определим $\operatorname {cl} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\partial }(A)=A\cup \partial (A)$, $\operatorname {cl} _{\partial }$ удовлетворяет аксиомам замыкания и, следовательно, граничная операция определяет топологию. И наоборот, если мы определим $\partial _{\operatorname {cl} }:\wp (X)\to \wp (X),\partial _{\operatorname {cl} }=\operatorname {cl} (A)\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)$, $\partial _{\operatorname {cl} }$ удовлетворяет вышеуказанным аксиомам. Причем это соответствие 1-1. Отсюда следует, что в топологическом пространстве $X,$ все определения могут быть сформулированы в терминах граничного оператора, например:

• $\operatorname {int} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\partial }(A)=A\setminus \partial (A)$
• Множество открыто тогда и только тогда, когда $\partial (A)\cap A=\varnothing$.
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда $\partial (A)\subseteq A$.

Определение через производные множества

См. также: Производный набор (математика)

Производное множество подмножества ​ $S$ пространства топологического $X$ это совокупность всех точек $x\in X$ это предельные точки $S,$ то есть баллы $x$ каждая окрестность такие, что $x$ содержит точку $S$ кроме $x$ сам. Производный набор $S\subseteq X$, обозначенный $S^{*}$, удовлетворяет следующим условиям:

• $\varnothing ^{*}=\varnothing$
• Для всех $x\in X,x\not \in \{x\}^{*}$
• $A^{**}\subseteq A\cup A^{*}$
• $(A\cup B)^{*}=A^{*}\cup B^{*}$

Поскольку набор $S$ закрыто тогда и только тогда, когда $S\subseteq S^{*}$, производный набор однозначно определяет топологию. Отсюда следует, что в топологическом пространстве $X,$ все определения могут быть сформулированы в терминах производных множеств, например:

• $\operatorname {cl} (A)=A\cup A^{*}$.

• Учитывая топологические пространства $X$ и $Y,$ функция $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества $B$ из $Y,$ у одного есть этот набор $f(\operatorname {der} (B))$ является подмножеством $\operatorname {der} (f(B))\cup f(B)$.

Определение через окрестности

См. Также: Система соседства и Соседство (математика).

Напомним, что эта статья следует соглашению о том, что окрестности не обязательно являются открытыми. В топологическом пространстве имеют место следующие факты:

• Если $U$ это район $x$ затем $x$ является элементом $U.$
• Пересечение двух кварталов г. $x$ это район $x.$ Эквивалентно, пересечение конечного числа окрестностей $x$ это район $x.$
• Если $V$ содержит окрестность $x,$ затем $V$ это район $x.$
• Если $U$ это район $x,$ тогда существует окрестность $V$ из $x$ такой, что $U$ является окрестностью каждой точки $V$.

Если $X$ является множеством, и для каждой точки множества объявляется непустой набор окрестностей. $X,$ удовлетворяя вышеуказанным условиям, то топология определяется путем объявления множества открытым тогда и только тогда, когда оно является окрестностью каждой из его точек; это уникальная топология, связанная с которой система окрестностей задана. Отсюда следует, что в топологическом пространстве $X,$ все определения можно сформулировать в терминах окрестностей:

• Учитывая другое топологическое пространство $Y,$ карта $f:X\to Y$ непрерывен тогда и только тогда, когда для каждого элемента $x$ из $X$ и каждый район $B$ из $f(x),$ прообраз $f^{-1}(B)$ это район $x.$
• Подмножество $X$ открыта тогда и только тогда, когда она является окрестностью каждой из своих точек.
• Учитывая подмножество $A$ из $X,$ интерьер – это совокупность всех элементов $x$ из $X$ такой, что $A$ это район $x$.
• Учитывая подмножество $A$ из $X,$ замыкание — это сбор всех элементов $x$ из $X$ такие, что каждая окрестность $x$ пересекает $A.$

Определение через сходимость сетей

См. Также: Сеть (математика) и пространство Фреше – Урысона.

Сходимость сетей удовлетворяет следующим свойствам:

1. Любая постоянная сеть сходится сама к себе.
2. Каждая подсеть сходящейся сети сходится к одним и тем же пределам.
3. Если сеть не сходится в точку $x$ тогда существует подсеть, к которой никакая дальнейшая подсеть не сходится $x.$ Эквивалентно, если $x_{\bullet }$ — это сеть такая, что каждая из ее подсетей имеет подсеть, сходящуюся к точке $x,$ затем $x_{\bullet }$ сходится к $x.$
4. Диагональный принцип / Сходимость повторных пределов . Если $\left(x_{a}\right)_{a\in A}\to x$ в $X$ и для каждого индекса $a\in A,$ $\left(x_{a}^{i}\right)_{i\in I_{a}}$ представляет собой сеть, которая сходится к $x_{a}$ в $X,$ тогда существует диагональная (под)сеть $\left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}$ который сходится к $x.$
   • А диагональная сеть относится к подсети любой $\left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}.$
   • Обозначения $\left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}$ обозначает сеть, определяемую формулой $(a,i)\mapsto x_{a}^{i}$ чьим доменом является множество ${\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a}$ упорядочено лексикографически по сначала $A$ а затем $I_{a};$ явно, учитывая любые две пары $(a_{1},i_{1}),\left(a_{2},i_{2}\right)\in {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a},$ заявить, что $(a_{1},i_{1})\leq \left(a_{2},i_{2}\right)$ выполняется тогда и только тогда, когда оба (1) $a_{1}\leq a_{2},$ а также (2) если $a_{1}=a_{2}$ затем $i_{1}\leq i_{2}.$

Если $X$ представляет собой множество, затем дается понятие сетевой сходимости (говорящее, какие сети сходятся к каким точкам ), удовлетворяющий четырем вышеперечисленным аксиомам, оператор замыкания на $X$ определяется отправкой любого заданного набора $A$ множеству всех пределов всех сетей, оцененных в $A;$ соответствующая топология является единственной топологией, вызывающей заданные сходимости сетей к точкам.

Учитывая подмножество $A\subseteq X$ топологического пространства $X:$

• $A$ открыт в $X$ тогда и только тогда, когда каждая сеть, сходящаяся к элементу $A$ в конечном итоге содержится в $A.$
• закрытие $A$ в $X$ представляет собой набор всех пределов всех сходящихся сетей, оцененных в $A.$
• $A$ закрыт в $X$ тогда и только тогда, когда не существует сети в $A$ который сходится к элементу дополнения $X\setminus A.$ Подмножество $A\subseteq X$ закрыт в $X$ тогда и только тогда, когда каждая предельная точка каждой сходящейся сети в $A$ обязательно принадлежит $A.$

Функция $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда для любого $x\in X$ и каждая сеть $x_{\bullet }$ в $X$ который сходится к $x$ в $X,$ сеть $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится к $f(x)$ в $Y.$

Определение через сходимость фильтров

См. также: Фильтры в топологии.

Топологию также можно определить на множестве, объявив, какие фильтры сходятся к каким точкам. Существуют следующие характеристики стандартных объектов с точки зрения фильтров и предфильтров (также известных как базы фильтров):

• Учитывая второе топологическое пространство $Y,$ функция $f:X\to Y$ является непрерывным тогда и только тогда, когда он сохраняет сходимость предфильтров .
• Подмножество $A$ из $X$ открыт тогда и только тогда, когда каждый фильтр, сходящийся к элементу $A$ содержит $A.$
• Подмножество $A$ из $X$ закрыт тогда и только тогда, когда не существует префильтра на $A$ которая сходится к точке в дополнении $X\setminus A.$
• Учитывая подмножество $A$ из $X,$ замыкание состоит из всех точек $x$ для чего есть префильтр $A$ сходящиеся к $x.$
• Подмножество $A$ из $X$ это район $x$ тогда и только тогда, когда он является элементом каждого фильтра, сходящегося к $x.$

См. также

• Пространство Коши - Концепция общей топологии и анализа
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Секвенциальное пространство - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.
• Топология (структура) - совокупность открытых подмножеств топологического пространства.

Цитаты

Примечания

Ссылки

• Дугунджи, Джеймс (1978). Топология . Серия Аллина и Бэкона по высшей математике (переиздание оригинального издания 1966 года). Бостон, Массачусетс – Лондон – Сидней: Allyn and Bacon, Inc.
• Энгелькинг, Ричард (1977). Общая топология . Математические монографии. Том 60 (Перевод автора с польского изд.). Варшава: PWN — Польское научное издательство.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике. Том. 27 (Перепечатка изд. 1955 г.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag.
• Куратовский, К. (1966). Топология. Том. I. (Перевод с французского Я. Яворовского. Переработанная и дополненная ред.). Нью-Йорк-Лондон/Варшава: Academic Press/Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .