Фильтр Фреше

В математике фильтр Фреше , также называемый коконечным фильтром , на множестве $X$ представляет собой некую совокупность подмножеств $X$ (то есть это определенное подмножество набора степеней $X$). Подмножество $F$ из $X$ принадлежит фильтру Фреше тогда и только тогда дополнение , когда $F$ в $X$ конечно. Любой такой набор $F$ называется коконечным в $X$, поэтому его альтернативно называют коконитным фильтром на $X$.

Фильтр Фреше представляет интерес в топологии , где возникли фильтры, и относится к порядка и теории решетки, поскольку степенное множество множества является частично упорядоченным множеством при включении множества (точнее, оно образует решетку). Фильтр Фреше назван в честь французского математика Мориса Фреше (1878–1973), работавшего в области топологии.

Определение

Подмножество $A$ из набора $X$ называется коконечным в $X$ если его дополнение в $X$ (то есть набор $X\setminus A$) конечно . Если пустому множеству разрешено находиться в фильтре, фильтр Фреше на $X$, обозначенный $F$ представляет собой множество всех коконечных подмножеств $X$. То есть: $$F=\{A\subseteq X:X\setminus A\;{\text{ is finite }}\}.$$

Если $X$ является не конечным множеством, то каждое коконечное подмножество $X$ не обязательно не пусто, так что в этом случае нет необходимости делать сделанное ранее предположение о пустом множестве.

Это делает $F$ фильтр решетке на $(\wp (X),\subseteq ),$ набор мощности $\wp (X)$ из $X$ с включением множества, учитывая, что $S^{\operatorname {C} }$ обозначает дополнение множества $S$ в $X.$ Выполняются следующие два условия:

Состояние пересечения

Если два множества конечно дополняемы в $X$, то и их пересечение, так как $(A\cap B)^{\operatorname {C} }=A^{\operatorname {C} }\cup B^{\operatorname {C} },$ и

Верхнее установленное состояние

Если множество конечно дополнимо в $X$, то и его надмножества в $X$.

Характеристики

Если базовый набор $X$ конечно, то $F=\wp (X)$ поскольку каждое подмножество $X$и, в частности, каждое дополнение, тогда конечно. Этот случай иногда исключается по определению или еще называется неправильным фильтром на $X.$ Разрешение $X$ фильтра Фреше, быть конечным, создает единственное исключение из правила свободного и неглавного поскольку фильтр на конечном множестве не может быть свободным, а неглавный фильтр не может содержать какие-либо одиночные элементы в качестве членов.

Если $X$ бесконечно, то каждый член $F$ бесконечно, поскольку это просто $X$ минус конечное число его членов. Кроме того, $F$ бесконечно, поскольку одно из его подмножеств является множеством всех $\{x\}^{\operatorname {C} },$ где $x\in X.$

Фильтр Фреше является одновременно свободным и неглавным, за исключением упомянутого выше конечного случая, и включен в каждый свободный фильтр. Это также двойной фильтр идеала всех конечных подмножеств (бесконечных) $X$.

Фильтр Фреше не обязательно является ультрафильтром (или максимальным собственным фильтром). Рассмотрим набор мощности $\wp (\mathbb {N} ),$ где $\mathbb {N}$ это натуральные числа . Множество четных чисел является дополнением множества нечетных чисел. Поскольку ни одно из этих множеств не является конечным, ни одно из них не входит в фильтр Фреше на $\mathbb {N} .$ Однако ультрафильтр (и любой другой невырожденный фильтр) свободен тогда и только тогда, когда он включает в себя фильтр Фреше. Лемма об ультрафильтре утверждает, что каждый невырожденный фильтр содержится в некотором ультрафильтре. Существование свободных ультрафильтров было установлено Тарским в 1930 году на основе теоремы, эквивалентной аксиоме выбора, и используется при построении гиперреалов в нестандартном анализе .

Примеры

Если $X$ — конечное множество , если предположить, что пустое множество может находиться в фильтре, то фильтр Фреше на $X$ состоит из всех подмножеств $X$.

На съемочной площадке $\mathbb {N}$ натуральных чисел , множество бесконечных интервалов $B=\{(n,\infty ):n\in \mathbb {N} \}$ Фреше — это база фильтра , то есть фильтр Фреше на $\mathbb {N}$ состоит из всех надмножеств элементов $B$.

См. также

• Булева теорема о простых идеалах . Идеалы в булевой алгебре можно расширить до простых идеалов.
• Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Ультрафильтр – Максимально правильный фильтр

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Коконечный фильтр» . Математический мир .
• JB Nation, Заметки по теории решеток , конспекты курса, переработанные в 2017 г.