LOCC

Парадигма LOCC: сторонам не разрешается когерентно обмениваться частицами. Разрешены только локальные операции и классическая связь.

LOCC , или локальные операции и классическая коммуникация , — это метод в квантовой теории информации , при котором локальная (продуктовая) операция выполняется над частью системы, и где результат этой операции классически «передается» в другую часть, где обычно находится другая локальная операция. операция выполняется в зависимости от полученной информации.

Математические свойства

Формальное определение множества операций LOCC затруднено из-за того, что последующие локальные операции зависят в общем случае от всей предыдущей классической связи, а также из-за неограниченного числа раундов связи. Для любого конечного числа $r\geq 1$ можно определить $\operatorname {LOCC} _{r}$, набор операций LOCC, которые могут быть выполнены с помощью $r$ раунды классического общения. Множество становится строго больше всякий раз, когда $r$ увеличивается, и необходимо позаботиться о том, чтобы определить предел бесконечного числа раундов. В частности, множество LOCC не топологически замкнуто, то есть существуют квантовые операции, которые могут быть сколь угодно близко аппроксимированы LOCC, но сами по себе не являются LOCC.

в один раунд LOCC $\operatorname {LOCC} _{1}$ это квантовый прибор $\left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}$, для которых трассировочно-невозрастающие полностью положительные карты (CPM) ${\mathcal {E}}_{x}$ являются локальными для всех результатов измерений $x$, то есть, ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})$ и есть один сайт $j=K$ такой, что только в $K$ карта ${\mathcal {E}}_{x}^{K}$ ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}$ не сохраняет следы. Это означает, что инструмент может быть реализован стороной на месте. $K$ применение (местного) инструмента $\left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}$ и сообщаем классический результат $x$ всем остальным сторонам, каждая из которых затем выполняет (при условии $x$) сохраняющие след (детерминированные) локальные квантовые операции ${\cal {T}}_{x}^{j}$.

Затем $\operatorname {LOCC} _{r}$ определяются рекурсивно как те операции, которые могут быть реализованы путем выполнения операции $\operatorname {LOCC} _{r-1}$ с $\operatorname {LOCC} _{1}$-операция. Здесь допускается, что сторона, выполняющая последующие операции, зависит от результата предыдущих раундов. Более того, мы также допускаем «грубое измельчение», т.е. отбрасывание части классической информации, закодированной в результатах измерений (всех раундов).

Союз всех $\operatorname {LOCC} _{r}$ операции обозначается $\operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }$ и содержит инструменты, которые можно лучше и лучше аппроксимировать с помощью большего количества раундов LOCC. Его топологическое замыкание ${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$ содержит все такие операции.

Можно показать, что все эти множества различны:

$\operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$

Набор всех операций LOCC содержится в множестве $\operatorname {SEP}$ всех разделимых операций . $\operatorname {SEP}$ содержит все операции, которые можно записать с использованием операторов Крауса , имеющих всю форму произведения, т. е.

${\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },$

с $\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1$. Не все операции в $\operatorname {SEP}$ являются LOCC,

${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,$

т.е. существуют примеры, которые невозможно реализовать локально даже при бесконечных раундах связи.

LOCC — это «свободные операции» в ресурсных теориях запутанности : запутанность не может быть произведена из разделимых состояний с помощью LOCC, и если локальные стороны в дополнение к возможности выполнять все операции LOCC также снабжены некоторыми запутанными состояниями, они могут реализовать больше операций, чем при использовании только LOCC.

Примеры

Операции LOCC полезны для подготовки состояний , дискриминации состояний и преобразований запутанности .

Государственная подготовка

Алисе и Бобу дана квантовая система в состоянии произведения. $|00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$. Их задача — создать сепарабельное состояние $\rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|$. С помощью одних только локальных операций этого достичь невозможно, поскольку они не могут создать (классические) корреляции, присутствующие в $\rho$. Однако с LOCC (с одним раундом связи) $\rho$ можно подготовить: Алиса бросает непредвзятую монету (на которой с вероятностью 50% выпадает орел или решка) и переворачивает свой кубит (чтобы $|1\rangle _{A}$), если на монете изображена «решка», в противном случае ее оставляют без изменений. Затем она отправляет результат подбрасывания монеты (классическая информация) Бобу, который также переворачивает свой кубит, если получает сообщение «решка». Результирующее состояние $\rho$. В общем, все отделимые состояния (и только они) могут быть получены из состояний-продуктов только с помощью операций LOCC.

Государственная

Учитывая два квантовых состояния $\psi$ в дву- или многочастном гильбертовом пространстве ${\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}$, задача состоит в том, чтобы определить, какое из двух (или более) возможных состояний $\psi _{1},\psi _{2}$ это. В качестве простого примера рассмотрим два состояния Белла .

$|\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)$

$|\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)$

Допустим, разделена двухкубитная система, где первый кубит отдан Алисе, а второй — Бобу. Без связи Алиса и Боб не могут различить два состояния, поскольку для всех локальных измерений все статистики измерений абсолютно одинаковы (оба состояния имеют одинаковую приведенную матрицу плотности). Например, предположим, что Алиса измеряет первый кубит и получает результат 0. Поскольку этот результат имеет одинаковую вероятность (с вероятностью 50%) в каждом из двух случаев, она не получает никакой информации о том, какая пара Беллов ей была дана. и то же самое справедливо и для Боба, если он выполняет какое-либо измерение. Но теперь позвольте Алисе отправить свой результат Бобу по классическому каналу. Теперь Боб может сравнить свой результат с ее и, если они совпадают, он может заключить, что данная пара была $|\psi _{1}\rangle$, поскольку только это позволяет получить совместный результат измерения $|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$. Таким образом, с помощью LOCC и двух измерений эти два состояния можно прекрасно различить. Обратите внимание, что при глобальных ( нелокальных или запутанных ) измерениях одного измерения (в совместном гильбертовом пространстве ) достаточно, чтобы различить эти два (взаимно ортогональных ) состояния.

Существуют квантовые состояния, которые невозможно различить с помощью операций LOCC.

Преобразования запутанности

Хотя LOCC не может генерировать запутанные состояния из состояний продукта, их можно использовать для преобразования запутанных состояний в другие запутанные состояния. Ограничение LOCC серьезно ограничивает возможные преобразования.

Преобразование запутанности

Нильсен вывел общее условие, позволяющее определить, может ли одно чистое состояние двудольной квантовой системы быть преобразовано в другое, используя только LOCC. Полную информацию можно найти в статье, на которую ссылались ранее, результаты представлены здесь.

Рассмотрим две частицы в гильбертовом пространстве размерности $d$ с состояниями частиц $|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle$ с разложениями Шмидта

$|\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle$

$|\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle$

The ${\sqrt {\omega _{i}}}$известны как коэффициенты Шмидта . Если они упорядочены от большего к меньшему (т. е. с $\omega _{1}>\omega _{d}$) затем $|\psi \rangle$ можно превратить только в $|\phi \rangle$ используя только локальные операции тогда и только тогда, когда для всех $k$ в диапазоне $1\leq k\leq d$

$\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'$

В более кратких обозначениях:

$|\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '$

Это более ограничительное условие, чем то, что локальные операции не могут увеличивать степень запутанности . Вполне возможно, что $|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle$ имеют одинаковую степень запутанности, но преобразование одного в другое невозможно, и даже это преобразование в любом направлении невозможно, потому что ни один набор коэффициентов Шмидта не мажорирует другой. Для больших $d$ если все коэффициенты Шмидта отличны от нуля, то вероятность того, что один набор коэффициентов мажорирует другой, становится незначительной. Поэтому для больших $d$ вероятность того, что любое произвольное состояние будет преобразовано в другое посредством LOCC, становится незначительной.

Описанные до сих пор операции являются детерминированными, т. е. они успешны с вероятностью 100%. Если вас удовлетворяют вероятностные преобразования, с использованием LOCC возможно гораздо больше преобразований. Эти операции называются стохастическими LOCC (SLOCC). В частности, для многочастных состояний изучается конвертируемость в рамках SLOCC, чтобы получить качественное представление о свойствах запутанности задействованных состояний.

LOCC:

Если запутанные состояния доступны в качестве ресурса, они вместе с LOCC позволяют выполнять гораздо более широкий класс преобразований. Это так, даже если эти ресурсные состояния не потребляются в процессе (как это происходит, например, при квантовой телепортации ). Таким образом, превращения называются катализом перепутывания . В этой процедуре преобразование начального состояния в конечное состояние, невозможное при LOCC, становится возможным за счет взятия тензорного произведения начального состояния на «каталитическое состояние». $|c\rangle$ и требование, чтобы это состояние все еще было доступно в конце процесса преобразования. Т.е. состояние катализатора при конверсии остается неизменным и затем может быть удалено, оставляя только желаемое конечное состояние. Рассмотрим государства,

$|\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle$

$|\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle$

$|c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle$

Эти состояния записываются в виде разложения Шмидта и в порядке убывания. Сравниваем сумму коэффициентов $|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle$

$k$	$|\psi \rangle$	$|\phi \rangle$
0	0.4	0.5
1	0.8	0.75
2	0.9	1.0
3	1.0	1.0

В таблице красный цвет ставится, если $\sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}$, ставится зеленый цвет, если $\sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}$, и белый цвет сохраняется, если $\sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}$. После построения таблицы можно легко узнать, $|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle$ являются конвертируемыми, если посмотреть на цвет $k$ направление. $|\psi \rangle$ может быть преобразован в $|\phi \rangle$ по LOCC, если все цвета зеленые или белые, и $|\phi \rangle$ может быть преобразован в $|\psi \rangle$ по LOCC, если все цвета красные или белые. Если в таблице представлены как красный, так и зеленый цвета, состояния не являются конвертируемыми.

Теперь рассмотрим состояния продукта $|\psi \rangle |c\rangle$ и $|\phi \rangle |c\rangle$：

${\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}$

${\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}$

Аналогично составляем таблицу:

$k$	$|\psi \rangle |c\rangle$	$|\phi \rangle |c\rangle$
0	0.24	0.30
1	0.48	0.50
2	0.64	0.65
3	0.80	0.80
4	0.86	0.90
5	0.92	1.00
6	0.96	1.00
7	1.00	1.00

Цвет в $k$ направления все зеленые или белые, поэтому, согласно теореме Нильсена, $|\psi \rangle |c\rangle$ можно преобразовать в $|\phi \rangle |c\rangle$ по LOCC. катализатора ​ Состояние $|c\rangle$ удаляется после преобразования. Наконец мы находим $|\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle$ по LOCC.

Если допускаются корреляции между системой и катализатором, каталитические превращения между двучастными чистыми состояниями характеризуются через энтропию перепутывания . Более подробно, чистое состояние $|\psi \rangle$ можно перевести в другое чистое состояние $|\phi \rangle$ через каталитический LOCC тогда и только тогда, когда

$S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})$,

где $S$ – энтропия фон Неймана , а $\psi ^{A}$ и $\phi ^{A}$ представляют собой приведенные состояния $|\psi \rangle$ и $|\phi \rangle$, соответственно. В общем случае преобразование не является точным, но может быть выполнено с произвольной точностью. Количество корреляций между системой и катализатором также можно сделать сколь угодно малым.

См. также

• Квантовая телепортация

Дальнейшее чтение

• https://quantiki.org/wiki/locc-operations
• Нильсен М.А. (1999). «Условия класса преобразований запутанности». Физ. Преподобный Летт . 83 (2): 436–439. arXiv : Quant-ph/9811053 . Бибкод : 1999PhRvL..83..436N . дои : 10.1103/physrevlett.83.436 . S2CID   17928003 .