Сверхплотное кодирование

Схематическое видео, демонстрирующее отдельные этапы сверхплотного кодирования. Сообщение, состоящее из двух битов (в видео это (1, 0)) передается от станции А к станции Б с использованием только одной частицы. Эта частица является членом запутанной пары, созданной источником S. Станция A сначала применяет к своей частице правильно выбранную операцию, а затем отправляет ее на станцию ​​B, которая измеряет обе частицы в базисе Белла. В результате измерения извлекаются два бита, отправленные станцией А.

В теории информации квантовой сверхплотное кодирование (также называемое плотным кодированием ) — это протокол квантовой связи, предназначенный для передачи ряда классических битов информации путем передачи только меньшего количества кубитов, при условии, что отправитель и получатель предварительно разделяют запутанную информацию. ресурс. В своей простейшей форме протокол включает в себя две стороны, часто называемые в этом контексте Алисой и Бобом , которые совместно используют пару максимально запутанных кубитов и позволяют Алисе передавать два бита (т. е. один из 00, 01, 10 или 11). ) Бобу, отправив только один кубит . Этот протокол был впервые предложен Чарльзом Х. Беннеттом и Стивеном Визнером в 1970 году. (хотя и не опубликовано ими до 1992 года) и экспериментально реализовано в 1996 году Клаусом Мэттлом, Харальдом Вайнфуртером, Полом Г. Квиатом и Антоном Цайлингером с использованием запутанных пар фотонов. Сверхплотное кодирование можно рассматривать как противоположность квантовой телепортации , при которой один кубит передается от Алисы к Бобу путем передачи двух классических битов, при условии, что у Алисы и Боба есть заранее общая пара Беллов.

Передача двух битов через один кубит становится возможной благодаря тому, что Алиса может выбирать между четырьмя операциями с квантовыми вентилями , которые следует выполнить на своей доле запутанного состояния. Алиса определяет, какую операцию выполнить в зависимости от пары бит, которую она хочет передать. Затем она отправляет Бобу состояние кубита, полученное через выбранные ворота . Таким образом, указанный кубит кодирует информацию о двух битах, которые Алиса использовала для выбора операции, и эта информация может быть получена Бобом благодаря заранее разделенной запутанности между ними. Получив кубит Алисы, обработав пару и измерив оба, Боб получает два классических бита информации. Стоит подчеркнуть, что если Алиса и Боб заранее не разделят запутанность, то сверхплотный протокол невозможен, так как это нарушило бы теорему Холево .

Сверхплотное кодирование — это основополагающий принцип безопасного квантового секретного кодирования. Необходимость наличия обоих кубитов для декодирования отправляемой информации исключает риск перехвата сообщений злоумышленниками.

Обзор

Когда отправитель и получатель разделяют состояние Белла, два классических бита могут быть упакованы в один кубит. На диаграмме линии несут кубиты , а удвоенные линии — классические биты . Переменные b ₁ и b ₂ являются классическими логическими значениями, а нули в левой части представляют чистое квантовое состояние. $|0\rangle$. см. в разделе « Протокол » ниже. Более подробную информацию об этом изображении

Предположим, Алиса хочет отправить Бобу два классических бита информации (00, 01, 10 или 11), используя кубиты (вместо классических битов ). Для этого Чарли, третий человек, подготавливает запутанное состояние (например, состояние Белла) с использованием схемы Белла или вентиля. Затем Чарли отправляет один из этих кубитов (в состоянии Белла) Алисе, а другой — Бобу. Как только Алиса получает свой кубит в запутанном состоянии, она применяет к своему кубиту определенный квантовый вентиль в зависимости от того, какое двухбитовое сообщение (00, 01, 10 или 11) она хочет отправить Бобу. Затем ее запутанный кубит отправляется Бобу, который после применения соответствующего квантового вентиля и выполнения измерения может получить классическое двухбитовое сообщение. Заметьте, что Алисе не нужно сообщать Бобу, какой вентиль применить, чтобы получить правильные классические биты в результате его проективного измерения.

Протокол

Протокол можно разделить на пять различных этапов: подготовка, совместное использование, кодирование, отправка и декодирование.

Подготовка

Протокол начинается с подготовки запутанного состояния, которое позже разделяется между Алисой и Бобом. Например, следующее состояние Белла

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})$

готовится, где $\otimes$ обозначает тензорное произведение . Обычно используется символ тензорного произведения $\otimes$ можно опустить:

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle +|1_{A}1_{B}\rangle )$.

Делюсь

После подготовки состояния Белла $|\Phi ^{+}\rangle$, кубит, обозначенный индексом A , отправляется Алисе, а кубит, обозначенный индексом B, отправляется Бобу. Алиса и Боб могут находиться в разных локациях, на неограниченном расстоянии друг от друга.

Между подготовкой и разделением запутанного состояния может пройти произвольный период. $|\Phi ^{+}\rangle$ и остальные этапы процедуры.

Кодировка

Применяя квантовый вентиль к своему кубиту локально, Алиса может преобразовать запутанное состояние. $|\Phi ^{+}\rangle$ в любое из четырех состояний Белла (включая, конечно, $|\Phi ^{+}\rangle$). Обратите внимание, что этот процесс не может «разорвать» запутанность между двумя кубитами.

Давайте теперь опишем, какие операции Алисе необходимо выполнить над своим запутанным кубитом, в зависимости от того, какое классическое двухбитное сообщение она хочет отправить Бобу. Позже мы увидим, почему выполняются эти конкретные операции. Есть четыре случая, которые соответствуют четырем возможным двухбитовым строкам, которые Алиса может захотеть отправить.

1. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 00, она применяет тождественный квантовый вентиль: $\mathbb {I} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$, к ее кубиту, так что он остается неизменным. Результирующее запутанное состояние тогда

$|B_{00}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle +|1_{A}1_{B}\rangle )$

Другими словами, запутанное состояние, разделяемое Алисой и Бобом, не изменилось, т.е. $|\Phi ^{+}\rangle$. Обозначения $|B_{00}\rangle$ указывает, что Алиса хочет отправить двухбитовую строку 00.

2. Если Алиса хочет отправить Бобу классическую двухбитовую строку 01, то она применяет квантовый вентиль НЕ (или переворот битов ) , $X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$, к ее кубиту, так что результирующее запутанное квантовое состояние становится

$|B_{01}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}0_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )$

3. Если Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 10, она применяет квантовый переворота фазы . вентиль $Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$ к ее кубиту, поэтому результирующее запутанное состояние становится

$|B_{10}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle -|1_{A}1_{B}\rangle )$

4. Если вместо этого Алиса хочет послать Бобу классическую двухбитовую строку 11, то она применяет квантовый вентиль $Z*X=iY={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$ к своему кубиту, так что результирующее запутанное состояние становится

$|B_{11}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}1_{B}\rangle -|1_{A}0_{B}\rangle )$

Матрицы $X$, $Z$, и $Y$ известны как матрицы Паули .

Отправка

Выполнив одну из описанных выше операций, Алиса может отправить свой запутанный кубит Бобу с помощью квантовой сети через некую традиционную физическую среду.

Расшифровка

Чтобы Боб узнал, какие классические биты отправила Алиса, он выполнит унитарную операцию CNOT с A в качестве управляющего кубита и B в качестве целевого кубита. Затем он выступит $H\otimes I$ унитарная операция над запутанным кубитом A. Другими словами, квантовый вентиль Адамара H применяется только к A (см. рисунок выше).

• Если результирующее запутанное состояние было $B_{00}$ то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет $|00\rangle$
• Если результирующее запутанное состояние было $B_{01}$ то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет $|01\rangle$
• Если результирующее запутанное состояние было $B_{10}$ то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет $|10\rangle$
• Если результирующее запутанное состояние было $B_{11}$ то после применения вышеуказанных унитарных операций запутанное состояние станет $|11\rangle$

Эти операции, выполняемые Бобом, можно рассматривать как измерение, которое проецирует запутанное состояние на один из четырех двухкубитных базисных векторов. $|00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle$ или $|11\rangle$ (как вы можете видеть из результатов и примера ниже).

Пример

Например, если результирующее запутанное состояние (после операций, выполненных Алисой) было $B_{01}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}0_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )$, то CNOT с A в качестве управляющего бита и B в качестве целевого бита изменится. $B_{01}$ стать $B_{01}'={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}1_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )$. Теперь ворота Адамара применяются только к A, чтобы получить

$B_{01}''={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )\right)}_{A}\otimes |1_{B}\rangle +{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\right)}_{A}\otimes |1_{B}\rangle \right].$

Для простоты индексы можно убрать:

${\begin{aligned}B_{01}''&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )\otimes |1\rangle +{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes |1\rangle \right)\\&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|11\rangle )+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|11\rangle )\right)={\tfrac {1}{2}}|01\rangle -{\tfrac {1}{2}}|11\rangle +{\tfrac {1}{2}}|01\rangle +{\tfrac {1}{2}}|11\rangle =|01\rangle .\end{aligned}}$

Теперь у Боба есть базовое состояние $|01\rangle$, поэтому он знает, что Алиса хотела отправить двухбитовую строку 01.

Безопасность

Сверхплотное кодирование — это форма безопасной квантовой связи. Если перехватчик, обычно называемый Евой, перехватит кубит Алисы на пути к Бобу, все, что получит Ева, будет частью запутанного состояния. Без доступа к кубиту Боба Ева не может получить никакой информации от кубита Алисы. Третья сторона не может подслушать информацию, передаваемую посредством сверхплотного кодирования, и попытка измерить любой кубит приведет к разрушению состояния этого кубита и предупредит Боба и Алису.

Общая схема плотного кодирования

Общие схемы плотного кодирования могут быть сформулированы на языке, используемом для описания квантовых каналов . Алиса и Боб находятся в максимально запутанном состоянии ω . Пусть подсистемы, изначально принадлежавшие Алисе и Бобу, обозначаются номерами 1 и 2 соответственно. Чтобы передать сообщение x , Алиса применяет соответствующий канал.

$\;\Phi _{x}$

на подсистеме 1. В комбинированной системе на это влияет

$\omega \rightarrow (\Phi _{x}\otimes I)(\omega )$

где I обозначает карту идентичности подсистемы 2. Затем Алиса отправляет свою подсистему Бобу, который выполняет измерение объединенной системы для восстановления сообщения. Пусть измерения Боба моделируются с помощью POVM. $\{F_{y}\}_{y}$, с $F_{y}$ положительные полуопределенные операторы такие, что ${\textstyle \sum _{y}F_{y}=I}$. Вероятность того, что измерительный прибор Боба зарегистрирует сообщение $y$ таким образом

$$p(y|x)=\langle F_{y},(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )\rangle \equiv \operatorname {Tr} [F_{y}(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )].$$

Поэтому для достижения желаемой передачи нам необходимо, чтобы

$$p(y|x)=\operatorname {Tr} [F_{y}(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )]=\delta _{xy},$$

где $\delta _{xy}$ это дельта Кронекера .

Экспериментальный

Протокол сверхплотного кодирования был реализован в нескольких экспериментах с использованием различных систем с разными уровнями пропускной способности канала и точности воспроизведения. В 2004 году захваченные ионы бериллия-9 были использованы в максимально запутанном состоянии для достижения емкости канала 1,16 с точностью 0,85. В 2017 году по оптоволокну была достигнута пропускная способность канала 1,665 при точности воспроизведения 0,87. Высокоразмерные кварты (состояния, образующиеся в парах фотонов путем невырожденного спонтанного параметрического преобразования с понижением частоты ) использовались для достижения пропускной способности канала 2,09 (с пределом 2,32) с точностью 0,98. Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) также использовался для обмена данными между тремя сторонами.

Ссылки

• Уайльд, Марк М., 2017, Квантовая теория информации, издательство Кембриджского университета , также доступно по адресу eprint arXiv:1106.1145.

Внешние ссылки

• Конспекты курса «Кубиты, квантовая механика и компьютеры»
• Сверхплотное кодирование: как отправить два бита с помощью одного кубита на YouTube Майкла Нильсена