Квантовый сверточный код

Квантовые блочные коды полезны в квантовых вычислениях и квантовых коммуникациях . Схема кодирования для большого блочного кода обычно имеет высокую сложность, хотя схемы для современных кодов имеют меньшую сложность.

Теория квантового сверточного кодирования предлагает другую парадигму кодирования квантовой информации. Сверточная структура полезна для сценария квантовой связи , где отправитель обладает потоком кубитов для отправки получателю. Схема кодирования квантового сверточного кода имеет гораздо меньшую сложность, чем схема кодирования, необходимая для большого блочного кода. Он также имеет повторяющийся шаблон, поэтому одни и те же физические устройства или одни и те же процедуры могут манипулировать потоком квантовой информации.

Коды квантовых сверточных стабилизаторов во многом заимствованы из структуры своих классических аналогов . Квантовые сверточные коды похожи, потому что некоторые кубиты возвращаются в повторяющееся унитарное кодирование и придают коду структуру памяти, подобную структуре классического сверточного кода. Квантовые коды обеспечивают онлайн-кодирование и декодирование кубитов. Эта особенность придает квантовым сверточным кодам низкую сложность кодирования и декодирования, а также способность исправлять больший набор ошибок, чем блочный код с аналогичными параметрами.

Определение [ править ]

Код квантового сверточного стабилизатора действует в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}},$ которое представляет собой счетно-бесконечное тензорное произведение двумерных кубитовых гильбертовых пространств, индексированных по целым числам ≥ 0. $\left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ :

{\mathcal {H}}={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ {\mathcal {H}}_{i}.

Последовательность $\mathbf {A}$ Паули матриц $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}$ , где

\mathbf {A} ={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ A_{i},

может действовать на состояния в ${\mathcal {H}}$ . Позволять $\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}$ обозначаем множество всех последовательностей Паули. Поддержка $\left(\mathbf {A} \right)$ последовательности Паули $\mathbf {A}$ — это набор индексов записей в $\mathbf {A}$ которые не равны тождеству. Вес последовательности $\mathbf {A}$ это размер $\left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert$ своей поддержки. Задержка дель $\left(\mathbf {A} \right)$ последовательности $\mathbf {A}$ — наименьший индекс для записи, не равныйличность. Градус град $\left(\mathbf {A} \right)$ последовательности $\mathbf {A}$ — это наибольший индекс для записи, не равной идентификатору. Например, следующая последовательность Паули

{\begin{array}{cccccccc}I&X&I&Y&Z&I&I&\cdots \end{array}},

имеет поддержку $\left\{1,3,4\right\}$ , вес три, задержка один и степень четыре. Последовательность имеет конечный носитель, если ее вес конечен. Позволять $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ обозначаем множество последовательностей Паули с конечным носителем. Следующее определение квантового сверточного кода использует набор $F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})$ в его описании.

ставка $k/n$ -код сверточного стабилизатора с $0\leq k\leq n$ это коммутирующий набор ${\mathcal {G}}$ из всех $n$ -кубитные сдвиги базовой генераторной установки ${\mathcal {G}}_{0}$ . Базовая генераторная установка ${\mathcal {G}}_{0}$ имеет $n-k$ Последовательности Паули конечной поддержки:

{\mathcal {G}}_{0}=\left\{\mathbf {G} _{i}\in F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}):1\leq i\leq n-k\right\}.

Длина ограничения $\nu$ кода является максимальной степеньюгенераторы в ${\mathcal {G}}_{0}$ . Фрейм кода состоит из $n$ кубиты.

Квантовый сверточный код допускает эквивалентное определение в терминах преобразования задержки или $D$ -трансформировать. $D$ -transform фиксирует изменения базовой генераторной установки ${\mathcal {G}}_{0}$ . Давайте определим $n$ -кубитный оператор задержки $D$ действуя на любую последовательность Паули $\mathbf {A} \in \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}$ следующее:

D\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes n}\otimes \mathbf {A.}

Мы можем написать $j$ неоднократное применение $D$ как сила $D$ :

D^{j}\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes jn}\otimes \mathbf {A.}

Позволять $D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right)$ быть набором сдвигов элементовиз ${\mathcal {G}}_{0}$ к $j$ . Тогда полный стабилизатор ${\mathcal {G}}$ длякод сверточного стабилизатора

{\mathcal {G}}={\textstyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} ^{+}}}D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right).

Операция [ править ]

Код сверточного стабилизатора работает следующим образом. Протокол начинается с того, что отправитель кодирует поток кубитов с помощью схемы онлайн-кодирования, такой как приведенная в (Grassl and Roetteler 2006). Схема кодирования находится в режиме онлайн , если она одновременно обрабатывает несколько блоков кубитов. Отправитель передает набор кубитов, как только первый унитар завершает их обработку. Приемник измеряет все генераторы в ${\mathcal {G}}$ и исправляет ошибки при получении онлайн-закодированных кубитов. Наконец он декодирует закодированные кубиты с помощью схемы декодирования. Кубиты, декодированные с помощью этой сверточной процедуры, должны быть безошибочными и готовыми к квантовым вычислениям на принимающей стороне.

Схема конечной глубины отображает последовательность Паули с конечным весом в последовательность с конечным весом (Оливье и Тиллих, 2004). Он не отображает последовательность Паули с конечным весом в последовательность с бесконечным весом. Это свойство важно, поскольку мы не хотим, чтобы схема декодирования распространяла неисправленные ошибки в информационный поток кубитов (Йоханнессон и Зигангиров, 1999). Схема декодирования конечной глубины, соответствующая стабилизатору ${\mathcal {G}}$ существует по алгоритму, приведенному в (Grassl and Roetteler 2006).

Пример [ править ]

Форни и др. предоставил пример квантового сверточного кода со скоростью 1/3, импортировав особый классический четверичный сверточный код (Форни и Гуха, 2005). Грассл и Реттелер определили схему некатастрофического кодирования для квантового сверточного кода Форни и др. со скоростью 1/3 (Grassl and Roetteler 2006). Базовый стабилизатор и его первая передача выглядят следующим образом:

\cdots {\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I\\\end{array}}\cdots

Код состоит из всех трехкубитных сдвигов вышеуказанных генераторов. Вертикальные полосы служат наглядным пособием для иллюстрации трехкубитных сдвигов основных генераторов. Код может исправить произвольную ошибку одного кубита в каждом втором кадре.

Расширения [ править ]

Уайльд и Брун объединили теорию кодов-стабилизаторов с использованием спутывания и квантовых сверточных кодов в серии статей (Wilde and Brun 2007a, 2007b, 2008, 2009), чтобы сформировать теорию квантового сверточного кодирования с использованием спутывания. Эта теория предполагает, что отправитель и получатель имеют бесшумную двустороннюю запутанность , которую они могут использовать для защиты потока квантовой информации.

(Wilde 2009), основываясь на работах (Ollivier and Tillich 2004) и (Grassl and Roetteler 2006), также показал, как кодировать эти коды с помощью схем квантовых сдвиговых регистров, что является естественным расширением теорииКлассические сдвигового регистра схемы .

Ссылки [ править ]

Оливье, Гарольд; Тиллих, Жан-Пьер (2003). «Описание квантового сверточного кода». Письма о физических отзывах . 91 (17): 177902. arXiv : quant-ph/0304189 . Бибкод : 2003PhRvL..91q7902O . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.177902 . ПМИД 14611378 . S2CID 17261900 .
Оливье, Х.; Тиллих, Ж.-П. (2004). «Квантовые сверточные коды: основы». arXiv : Quant-ph/0401134 . Бибкод : 2004quant.ph..1134O . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Форни, Дж. Дэвид (2005). «Простые сверточные и квантовые коды с исправлением ошибок со скоростью 1/3». Слушания. Международный симпозиум по теории информации, 2005 г. ISIT 2005 г. стр. 1028–1032. arXiv : Quant-ph/0501099 . дои : 10.1109/ISIT.2005.1523495 . ISBN 0-7803-9151-9 . S2CID 14484674 .
Дэвид Форни, Дж. Дэвид; Грассль, Маркус; Гуха, Сайкат (2007). «Сверточные и квантовые коды с укусом хвоста, исправляющие ошибки». Транзакции IEEE по теории информации . 53 (3): 865–880. arXiv : Quant-ph/0511016 . дои : 10.1109/TIT.2006.890698 . S2CID 546490 .
М. Грассл и М. Реттелер, «Квантовые сверточные коды: кодеры и структурные свойства», на сорок четвертой ежегодной конференции Allerton, 2006 г. Доступно по адресу http://www.csl.illinois.edu/allerton/archives/allerton06/PDFs. /papers/0285.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Грассль, Маркус; Роттелер, Мартин (2006). «Некатастрофические кодировщики и инверсии кодировщиков для квантовых сверточных кодов». 2006 Международный симпозиум IEEE по теории информации . стр. 1109–1113. arXiv : Quant-ph/0602129 . дои : 10.1109/ISIT.2006.261956 . ISBN 1-4244-0505-Х . S2CID 1442 .
Р. Йоханнессон, К.С. Зигангиров, Основы сверточного кодирования . Wiley-IEEE Press, 1999.
Уайльд, Марк М.; Сериал, Хари; Брун, Тодд А. (2010). «Сверточная дистилляция запутанности». 2010 Международный симпозиум IEEE по теории информации . стр. 2657–2661. arXiv : 0708.3699 . дои : 10.1109/ISIT.2010.5513666 . ISBN 978-1-4244-7892-7 . S2CID 2409176 .
Уайльд, Марк М.; Брун, Тодд А. (2010). «Квантовое сверточное кодирование с помощью запутанности». Физический обзор А. 81 (4): 042333. arXiv : 0712.2223 . Бибкод : 2010PhRvA..81d2333W . дои : 10.1103/PhysRevA.81.042333 . S2CID 8410654 .
Уайльд, Марк М.; Брун, Тодд А. (2010). «Квантовое сверточное кодирование с общей запутанностью: общая структура». Квантовая обработка информации . 9 (5): 509–540. arXiv : 0807.3803 . дои : 10.1007/s11128-010-0179-9 . S2CID 18185704 .
Уайльд, Марк М. (2008). «Квантовое кодирование с запутанностью». arXiv : 0806.4214 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Уайльд, Марк М.; Брун, Тодд А. (2009). «Дополнительная общая запутанность снижает потребность в памяти при квантовом сверточном кодировании». Физический обзор А. 79 (3): 032313. arXiv : 0812.4449 . Бибкод : 2009PhRvA..79c2313W . дои : 10.1103/PhysRevA.79.032313 . S2CID 67826844 .
Уайльд, Марк М. (2009). «Схемы с квантовыми регистрами сдвига». Физический обзор А. 79 (6): 062325. arXiv : 0903.3894 . Бибкод : 2009PhRvA..79f2325W . дои : 10.1103/PhysRevA.79.062325 . S2CID 56351003 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Публикации [ править ]

Хаушманд, Монира; Уайльд, Марк М. (2013). «Рекурсивные квантовые сверточные кодеры катастрофичны: простое доказательство». Транзакции IEEE по теории информации . 59 (10): 6724–6731. arXiv : 1209.0082 . дои : 10.1109/TIT.2013.2272932 . S2CID 15309497 .
Лай, Чинг-И; Се, Мин-Сю; Лу, Сяо-Фэн (2016). «О тождестве Мака Уильямса для классических и квантовых сверточных кодов». Транзакции IEEE по коммуникациям . 64 (8): 3148–3159. arXiv : 1404.5012 . дои : 10.1109/TCOMM.2016.2585641 . S2CID 7123143 .
Пулен, Дэвид; Тиллих, Жан-Пьер; Оливье, Гарольд (2007). «Квантовые последовательные турбокоды». arXiv : 0712.2888 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Джорджевич, Иван (2012). Квантовая обработка информации и квантовая коррекция ошибок: инженерный подход . Академическая пресса. ISBN 9780123854919 .
Брун, Тодд А. (2013). Лидар, Дэниел А.; Брун, Тодд А. (ред.). Квантовая коррекция ошибок . Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1910.03672 . ISBN 9780521897877 .