Вариационный квантовый собственный решатель

В квантовых вычислениях вариационный квантовый собственный решатель ( VQE ) представляет собой квантовый алгоритм для квантовой химии , квантового моделирования и задач оптимизации . Это гибридный алгоритм, который использует как классические, так и квантовые компьютеры для определения основного состояния данной физической системы. Учитывая предположение или анзац , квантовый процессор вычисляет математическое ожидание системы относительно наблюдаемой величины , часто гамильтониана, а классический оптимизатор для улучшения предположения используется . Алгоритм основан на вариационном методе квантовой механики.

Первоначально он был предложен в 2014 году совместно с авторами-корреспондентами Альберто Перуццо, Аланом Аспуру-Гузиком и Джереми О'Брайеном . Алгоритм также нашел применение в квантовом машинном обучении и был дополнительно подтвержден общими гибридными алгоритмами квантовых и классических компьютеров. Это пример шумного квантового алгоритма промежуточного масштаба (NISQ).

Описание

Кодировка Паули

Цель VQE — найти набор квантовых операций, которые подготавливают состояние (или минимумы) с наименьшей энергией, близкое к некоторой целевой величине или наблюдаемой. Хотя единственным строгим требованием к представлению наблюдаемой величины является эффективность оценки ее математических ожиданий, зачастую проще всего, если этот оператор имеет компактное или простое выражение в терминах операторов Паули или тензорных произведений операторов Паули.

Для фермионной системы часто удобнее всего провести кубитизацию: то есть записать многочастичный гамильтониан системы с использованием второго квантования , а затем использовать отображение для записи операторов рождения-уничтожения в терминах операторов Паули. Общие схемы для фермионов включают преобразование Жордана-Вигнера , преобразование Бравого-Китаева и преобразование четности.

Однажды гамильтониан ${\hat {H}}$ записывается в терминах операторов Паули и ненужные состояния отбрасываются (конечномерное пространство), оно будет состоять из линейной комбинации строк Паули ${\hat {P}}_{i}$ состоящее из тензорных произведений операторов Паули (например, $X\otimes I\otimes Z\otimes X$), такой, что

${\hat {H}}=\sum _{i}\alpha _{i}{\hat {P}}_{i}$,

где $\alpha _{i}$ являются числовыми коэффициентами. На основе коэффициентов количество строк Паули можно уменьшить, чтобы оптимизировать расчет.

VQE можно адаптировать к другим задачам оптимизации, превратив гамильтониан в функцию стоимости.

Подход и функция первоначального испытания

Выбор анзац-государства зависит от интересующей системы. В квантовых вычислениях на основе вентилей анзац задается параметризованной квантовой схемой , параметры которой могут обновляться после каждого запуска. Анзац должен быть достаточно адаптируемым, чтобы не пропустить желаемое состояние. Распространенным методом получения действительного анзаца является структура унитарного связанного кластера (UCC) и ее расширения.

Если анзац выбран неправильно, процедура может остановиться при неоптимальных параметрах, не соответствующих минимуму. Говорят, что в этой ситуации алгоритм достиг «бесплодного плато».

Пример аппаратного эффективного анзаца.

Анзац может быть установлен в качестве начальной пробной функции для запуска алгоритма. Например, для молекулярной системы можно использовать метод Хартри-Фока, чтобы обеспечить начальное состояние, близкое к реальному основному состоянию.

Другой вариант схемы анзаца - это аппаратный эффективный анзац, который состоит из последовательности из 1 кубитных вращающихся вентилей и 2 кубитных запутывающих вентилей. Количество повторений 1-кубитных вращательных вентилей и 2-кубитных запутывающих вентилей называется глубиной схемы.

Измерение

Ожидаемое значение данного состояния $|\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle$ с параметрами $\{\theta _{i}\}_{i=1}^{N}$, имеет математическое ожидание функции энергии или стоимости, определяемой выражением

$E(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})=\langle {\hat {H}}\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\langle \psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})|{\hat {P}}_{i}|\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle$

поэтому, чтобы получить математическое ожидание энергии, можно измерить математическое ожидание каждой строки Паули (количество отсчетов для данного значения по отношению к общему числу отсчетов). Этот шаг соответствует измерению каждого кубита на оси, обеспечиваемой струной Паули. Например, для строки $X\otimes Y\otimes Y$, первый кубит должен быть измерен по оси x , а два последних — по оси y сферы Блоха . Если измерение z возможно только по оси ворота Клиффорда , то для преобразования между осями можно использовать . Если две струны Паули коммутируют, то их можно измерить одновременно, используя одну и ту же схему и интерпретируя результат в соответствии с алгеброй Паули.

и

Имея параметризованный анзац для собственного состояния основного состояния с параметрами, которые можно изменять, можно обязательно найти параметризованное состояние, наиболее близкое к основному состоянию, на основе вариационного метода квантовой механики . Используя классические алгоритмы в цифровом компьютере, можно оптимизировать параметры анзаца. Для такой минимизации необходимо найти минимумы функции многих переменных. классические оптимизаторы, использующие градиентный спуск . Для этой цели можно использовать

Формулировка

Для данного гамильтониана (H) и вектора состояния $|\psi \rangle$ если мы можем варьироваться $|\psi \rangle$ тогда произвольно $\min _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle$ будет энергия основного состояния и $\operatorname {argmin} _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle$ будет основным состоянием (при условии отсутствия вырождения). Но описанная выше проблема минимизации для всех возможных состояний $|\psi \rangle$, где состояние $|\psi \rangle$ является $2^{n}$ мерный, непрактичен. Таким образом, чтобы ограничить пространство поиска более практичным размером (например, поли(n)), нам нужно ограничить $|\psi \rangle$ только подмножеству возможных состояний n-кубитов, которое основано на знаниях традиционной физики, химии и квантовой механики.

Иллюстрация высокого уровня вариационного квантового алгоритма

Алгоритм

На рисунке ниже показаны этапы высокого уровня алгоритма VQE.

Схема $U({\vec {\theta }})$ управляет подмножеством возможных состояний, которые могут быть созданы, а параметр ${\vec {\theta }}$ содержит вариационные параметры, ${\vec {\theta }}={\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{p}\end{pmatrix}}$ где количество выбранных параметров достаточно, чтобы придать алгоритму выразительную силу для вычисления основного состояния системы, но не слишком велико, чтобы увеличить вычислительные затраты на этапе оптимизации.

Запуская схему много раз и постоянно обновляя параметры, чтобы найти глобальные минимумы среднего значения желаемой наблюдаемой, можно приблизиться к основному состоянию данной системы и сохранить его в квантовом процессоре в виде серии инструкций квантового вентиля .

В случае градиентного спуска необходимо минимизировать функцию стоимости. $f({\vec {\theta }})$ где для случая VQE $f({\vec {\theta }})=\langle \psi ({\vec {\theta }})|H|\psi ({\vec {\theta }})\rangle$. Правило обновления:

${\vec {\theta }}^{({\text{new}})}={\vec {\theta }}^{({\text{old}})}-r\nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})$

где r — скорость обучения (размер шага) и

$\Delta f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})=\left({\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{1}}},{\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{2}}},\ldots \right)^{\top }$

Для расчета градиентов используется правило сдвига параметров.

Пример

Рассмотрим один пример ворот Паули:

$U(\theta )=e^{-i{\frac {\theta }{2}}P},$

где P = X,Y или Z , тогда

$\nabla _{\theta }U={\frac {\partial U}{\partial \theta }}=-{\frac {i}{2}}Pe^{-i{\frac {\theta }{2}}P}=-{\frac {i}{2}}PU=-{\frac {i}{2}}UP$

Как, $f(\theta )=\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle$. Таким образом,

$\nabla _{\theta }f(\theta )={\frac {\partial }{\partial \theta }}\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle =\langle \phi |\left({\frac {i}{2}}P\right)U^{\dagger }AU|\phi \rangle +\langle \phi |U^{\dagger }A\left(-{\frac {i}{2}}P\right)U|\phi \rangle$

$={\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta +{\frac {\pi }{2}})AU(\theta +{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta -{\frac {\pi }{2}})AU(\theta -{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle$

$={\frac {1}{2}}\left(f(\theta +{\frac {\pi }{2}})-f(\theta -{\frac {\pi }{2}})\right)$

Приведенный выше результат имеет интересные свойства:

1. Эту же схему можно использовать для оценки $f(\theta )$ и $\nabla _{\theta }f(\theta )$
2. $f(\cdot )$ необходимо оценить 2 раза, чтобы получить значение градиента
3. Поскольку точность угла $\pm {\frac {\pi }{2}}$ велик, точность строба можно поддерживать на низком уровне

Преимущества и недостатки

1. Схема VQE не требует большого количества вентилей по сравнению с алгоритмом квантовой оценки фазы (QPE), она более устойчива к ошибкам и хорошо подходит для стратегий уменьшения ошибок.
2. Это эвристический метод, поэтому он не гарантирует сходимости к значению основного состояния. На метод большое влияние оказывают выбор анзац-схемы и методы оптимизации.
3. Количество измерений, необходимых для вывода о значении основного состояния, выше по сравнению с QPE и примерно зависит от количества членов в гамильтониане.
4. VQE может работать на оборудовании NISQ.
5. VQE очень универсален, поскольку проблемы (кроме химии) можно выразить в виде гамильтонианов.

Используйте

По химии

По состоянию на 2022 год вариационный квантовый собственный решатель может моделировать только небольшие молекулы, такие как ион гидрида гелия. или молекула гидрида бериллия . Более крупные молекулы можно моделировать, принимая во внимание соображения симметрии. 12-кубитное моделирование водородной цепочки (H ₁₂ было продемонстрировано компании Google В 2020 году с помощью квантового процессора Sycamore ) .

См. также

• Алгоритмы квантовой оптимизации