Теорема о запрете удаления

В физике теорема о запрете удаления квантовой теории информации — это запретная теорема, которая утверждает, что, как правило, при наличии двух копий некоторого произвольного квантового состояния невозможно удалить одну из копий. Это обращенная во времени двойственная теорема о запрете клонирования : который гласит, что произвольные состояния не могут быть скопированы. Это доказали Арун К. Пати и Сэмюэл Л. Браунштейн . Интуитивно это происходит потому, что информация сохраняется в условиях унитарной эволюции.

Эта теорема кажется примечательной, поскольку во многих смыслах квантовые состояния хрупки; теорема утверждает, что в частном случае они также робастны.

Теорема о запрете удаления вместе с теоремой о запрете клонирования лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теории категорий и, в частности, как кинжало-симметричной моноидальной категории . Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика , в свою очередь позволяет связать квантовую механику с линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в точной аналогии с классической логикой, основанной на декартовых замкнутых категориях ).

Обзор

Предположим, что существуют две копии неизвестного квантового состояния. В этом контексте уместен вопрос: возможно ли, имея две идентичные копии, удалить одну из них с помощью квантово-механических операций? Оказывается, нельзя. Теорема о запрете удаления является следствием линейности квантовой механики . Как и теорема о запрете клонирования, это имеет важные последствия для квантовых вычислений , квантовой теории информации и квантовой механики в целом.

Процесс квантового удаления требует двух копий произвольного неизвестного объекта. квантовое состояние на входном порту и выводит пустое состояние вместе с оригиналом. Математически, это можно описать так:

$U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}$

где $U$ является унитарным оператором, $|\psi \rangle _{A}$ это неизвестный квант состояние, $|0\rangle _{B}$ пустое состояние, $|A\rangle _{C}$ это начальное состояние удаляющая машина и $|A'\rangle _{C}$ это конечное состояние машины.

Можно отметить, что классические биты можно копировать и удалять, как и кубиты в ортогональных состояниях. Например, если у нас есть два одинаковых кубита $|00\rangle$ и $|11\rangle$ тогда мы можем преобразоваться в $|00\rangle$ и $|10\rangle$. В данном случае мы удалили вторую копию. Однако из линейности квантовой теории следует, что не существует $U$ который может выполнить операцию удаления для любого произвольного состояния $|\psi \rangle$.

Официальное заявление

Даны три гильбертовых пространства для систем $A,B,C$, такие, что гильбертово пространство для систем $A,B$ идентичны.

Если $U$ представляет собой унитарное преобразование, а $|A\rangle _{C}$ является вспомогательным состоянием, таким, что

$$U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C},\quad \forall |\psi \rangle$$

где конечное состояние вспомогательной $|A_{\psi }\rangle _{C}$ может зависеть от $|\psi \rangle$, затем $U$ является операцией замены в том смысле, что отображение $|\psi \rangle _{A}\mapsto |A_{\psi }\rangle _{C}$ является изометрическим вложением.

Доказательство

Теорема справедлива для квантовых состояний в гильбертовом пространстве любой размерности. Для простоты, рассмотрим удаляющее преобразование для двух одинаковых кубитов. Если два кубита находятся в ортогональных состояниях, то для удаления необходимо, чтобы

$|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}$,

$|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}$.

Позволять $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ быть состоянием неизвестного кубита. Если у нас есть две копии неизвестного кубита, то по линейности удаляющего преобразования имеем

$|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}$

$\qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}.$

В приведенном выше выражении было использовано следующее преобразование:

$1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.$

Однако если мы можем удалить копию, то на выходном порту удаляющей машины комбинированное состояние должно быть

$|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}$.

В общем, эти состояния не идентичны, и поэтому мы можем сказать, что машине не удается удалить копию. Если мы потребуем, чтобы конечные выходные состояния были одинаковыми, мы увидим, что есть только один вариант:

$|\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}),$

и

$|A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.$

Начиная с окончательного состояния $|A'\rangle$ вспомогательной функции нормируется для всех значений $\alpha ,\beta$ должно быть это правда, что $|A_{0}\rangle _{C}$ и $|A_{1}\rangle _{C}$ ортогональны. Это означает, что квантовая информация просто находится в конечном состоянии вспомогательной системы. Всегда можно получить неизвестное состояние из конечного состояния вспомогательной функции, используя локальную операцию в гильбертовом пространстве вспомогательной функции. Таким образом, линейность квантовой теории не позволяет полностью исключить неизвестное квантовое состояние.

Последствие

• Если бы можно было удалить неизвестное квантовое состояние, то, используя две пары состояний ЭПР , мы могли бы посылать сигналы со скоростью, превышающей скорость света. Таким образом, нарушение теоремы о запрете удаления несовместимо с условием отсутствия сигнализации .
• Теоремы о запрете клонирования и запрете удаления указывают на сохранение квантовой информации.
• Более сильные версии теоремы о запрете клонирования и теоремы о запрете удаления обеспечивают постоянство квантовой информации. Чтобы создать копию, необходимо импортировать информацию из какой-то части вселенной, а для удаления состояния необходимо экспортировать ее в другую часть вселенной, где она продолжит существовать.

См. также

• Теорема о запрете трансляции
• Теорема о запрете клонирования
• Теорема об отсутствии связи
• Теорема о несокрытии
• Квантовое клонирование
• Квантовая запутанность
• Квантовая информация
• Квантовая телепортация
• Принцип неопределенности
• Принцип Ландауэра