Категорическая квантовая механика
Категориальная квантовая механика – это изучение квантовых основ и квантовой информации с использованием парадигм математики и информатики , особенно теории моноидальных категорий . Примитивными объектами изучения являются физические процессы и различные способы их составления. Его пионерами в 2004 году стали Самсон Абрамски и Боб Коке . Категориальная квантовая механика — это запись 18M40 в MSC2020 .
Математическая установка [ править ]
Математически базовая установка отражается кинжально-симметричной моноидальной категорией : композиция морфизмов моделирует последовательную композицию процессов, а тензорное произведение описывает параллельную композицию процессов. Роль кинжала – назначить каждому штату соответствующее испытание. Затем их можно украсить дополнительной структурой для изучения различных аспектов. Например:
- Категория компактного кинжала позволяет различать «вход» и «выход» процесса. В схематическом исчислении это позволяет сгибать провода, обеспечивая менее ограниченную передачу информации. В частности, он допускает запутанные состояния и измерения и дает элегантные описания таких протоколов, как квантовая телепортация . [1] В квантовой теории его компактная замкнутость связана с изоморфизмом Чоя-Ямиолковского (также известным как двойственность процесса-состояния ), в то время как структура кинжала обеспечивает способность брать сопряженные линейные отображения.
- Рассматривая только морфизмы, которые являются полностью положительными отображениями , можно также обрабатывать смешанные состояния , что позволяет категорически изучать квантовые каналы . [2]
- Провода всегда двусторонние (и никогда не могут быть разделены на букву Y), что отражает о запрете клонирования и удаления . теоремы квантовой механики
- Специальные коммутативные кинжаловые алгебры Фробениуса моделируют тот факт, что определенные процессы дают классическую информацию, которую можно клонировать или удалять, таким образом фиксируя классическую коммуникацию . [3]
- В ранних работах побочные продукты кинжала использовались для изучения как классической коммуникации , так и принципа суперпозиции . Позже эти две функции были разделены. [4]
- Дополнительные алгебры Фробениуса воплощают принцип дополнительности , который с большим успехом используется в квантовых вычислениях, например, в ZX-исчислении . [5]
Значительная часть математической основы этого подхода взята из «австралийской теории категорий», особенно из работ Макса Келли и М.Л. Лаплаза. [6] Андре Джоял и Росс Стрит , [7] А. Карбони и РФК Уолтерс, [8] и Стив Лэк. [9] Современные учебники включают категории C по квантовой теории. [10] и Изображение квантовых процессов . [11]
Диаграммное исчисление [ править ]
Одной из наиболее примечательных особенностей категориальной квантовой механики является то, что композиционную структуру можно точно отразить с помощью струнных диаграмм . [12]
Эти диаграммные языки можно проследить до графической нотации Пенроуза , разработанной в начале 1970-х годов. [13] Диаграмматическое рассуждение раньше использовалось в квантовой информатике в модели квантовой схемы , однако в категориальной квантовой механике примитивные элементы, такие как CNOT-вентиль, возникают как составные части более базовых алгебр, что приводит к гораздо более компактному исчислению. [14] В частности, ZX-исчисление возникло из категориальной квантовой механики как диаграмматический аналог традиционных линейно-алгебраических рассуждений о квантовых вентилях . ZX-исчисление состоит из набора генераторов, представляющих собой обычные квантовые вентили Паули и вентиль Адамара, оснащенный набором графических правил перезаписи, управляющих их взаимодействием. Хотя стандартный набор правил перезаписи еще не установлен, некоторые версии оказались полными , а это означает, что любое уравнение, справедливое между двумя квантовыми схемами, представленными в виде диаграмм, может быть доказано с использованием правил перезаписи. [15] ZX-исчисление использовалось, например, для изучения квантовых вычислений, основанных на измерениях .
Отрасли деятельности [ править ]
Аксиоматизация и новые модели [ править ]
Одним из главных успехов программы исследований категориальной квантовой механики является то, что из, казалось бы, слабых абстрактных ограничений на композиционную структуру оказалось возможным вывести многие квантовомеханические явления. В отличие от более ранних аксиоматических подходов, которые стремились реконструировать квантовую теорию гильбертова пространства на основе разумных предположений, такое отношение к не стремлению к полной аксиоматизации может привести к появлению новых интересных моделей, описывающих квантовые явления, которые могут быть полезны при разработке будущих теорий. [16]
и представление результатов Полнота
Существует несколько теорем, связывающих абстрактную постановку категориальной квантовой механики с традиционной постановкой квантовой механики.
- Полнота диаграммного исчисления: равенство морфизмов можно доказать в категории конечномерных гильбертовых пространств тогда и только тогда, когда оно может быть доказано на графическом языке кинжально-компактных замкнутых категорий. [17]
- Кинжально-коммутативные алгебры Фробениуса в категории конечномерных гильбертовых пространств соответствуют ортогональным базисам . [18] Версия этого соответствия справедлива и в произвольной размерности. [19]
- Определенные дополнительные аксиомы гарантируют, что скаляры встраиваются в поле комплексных чисел , а именно существование конечных двойных произведений кинжала и эквалайзеров кинжала, четкость и ограничение мощности скаляров. [20]
- Некоторые дополнительные аксиомы в дополнение к предыдущим гарантируют, что кинжально-симметричная моноидальная категория вкладывается в категорию гильбертовых пространств, а именно, если каждая кинжальная моника является кинжаловым ядром. В этом случае скаляры образуют инволютивное поле, а не просто встраиваются в него. Если категория компактна, вложение происходит в конечномерных гильбертовых пространствах. [21]
- Шесть аксиом полностью характеризуют категорию гильбертовых пространств, выполняя программу реконструкции. [22] Две из этих аксиом касаются кинжала и тензорного произведения, третья — бипроизведения.
- специальные крестообразные коммутативные алгебры Фробениуса в категории множеств и отношений соответствуют Дискретным абелевым группоидам . [23]
- Нахождение дополнительных базисных структур в категории множеств и отношений соответствует решению комбинаторных задач, связанных с латинскими квадратами . [24]
- коммутативные алгебры Фробениуса на кубитах должны быть либо специальными, либо антиспециальными, что связано с тем фактом, что максимально запутанные трехчастные состояния SLOCC -эквивалентны либо состоянию GHZ , либо состоянию W. Кинжально - [25]
Категориальная квантовая механика как логика [ править ]
Категориальную квантовую механику также можно рассматривать как теоретико-типовую форму квантовой логики , которая, в отличие от традиционной квантовой логики, поддерживает формальные дедуктивные рассуждения. [26] Существует программное обеспечение , которое поддерживает и автоматизирует эти рассуждения.
Существует еще одна связь между категориальной квантовой механикой и квантовой логикой, поскольку подобъекты в категориях ядра кинжала и категориях дополняемых кинжалом побочных произведений образуют ортомодулярные решетки . [27] [28] Фактически, первый вариант допускает логические кванторы , существование которых никогда не рассматривалось удовлетворительно в традиционной квантовой логике.
квантовая механика как основа квантовой механики Категориальная
Категориальная квантовая механика позволяет описывать более общие теории, чем квантовая теория. Это позволяет изучить, какие особенности отличают квантовую теорию от других нефизических теорий, что, как мы надеемся, даст некоторое представление о природе квантовой теории. Например, эта концепция позволяет дать краткое композиционное описание игрушечной теории Спеккенса , что позволяет точно определить, какой структурный ингредиент отличает ее от квантовой теории. [29]
квантовая механика Категориальная DisCoCat и
Платформа DisCoCat применяет категориальную квантовую механику к обработке естественного языка . [30] Типы предгрупповой грамматики интерпретируются как квантовые системы, т.е. как объекты кинжально-компактной категории . Грамматические производные интерпретируются как квантовые процессы, например, переходный глагол принимает субъект и объект в качестве входных данных и создает предложение в качестве выходных данных. Функциональные слова, такие как определители, предлоги, относительные местоимения, координаторы и т. д., можно моделировать с использованием тех же алгебр Фробениуса , которые моделируют классическое общение. [31] [32] Это можно понимать как моноидальный функтор от грамматики к квантовым процессам, формальная аналогия, которая привела к развитию квантовой обработки естественного языка . [33]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Абрамский, Самсон ; Куке, Боб (2004). «Категорическая семантика квантовых протоколов». Материалы 19-й конференции IEEE по логике в информатике (LiCS'04) . IEEE. arXiv : Quant-ph/0402130 .
- ^ Селинджер, П. (2005). «Кинжал компактных закрытых категорий и полностью позитивных карт» . Материалы 3-го международного семинара по квантовым языкам программирования, Чикаго, 30 июня – 1 июля .
- ^ Коке, Б.; Павлович, Д. (2007). «16. Квантовые измерения без сумм §16.2 Категориальная семантика» . Математика квантовых вычислений и технологий . Тейлор и Фрэнсис. стр. 567–604. arXiv : Quant-ph/0608035 . ISBN 9781584889007 .
- ^ Коке, Б.; Пердрикс, С. (2012). «Окружающая среда и классические каналы в категориальной квантовой механике». Материалы 19-й ежегодной конференции EACSL по логике компьютерных наук (CSL) . Конспекты лекций по информатике. Том. 6247. Спрингер. arXiv : 1004.1598 . дои : 10.2168/LMCS-8(4:14)2012 . S2CID 16833406 .
- ^ Коке, Б.; Дункан, Р. (2011). «Взаимодействующие квантовые наблюдаемые». Материалы 35-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP) . Конспекты лекций по информатике. Том. 5126. стр. 298–310. arXiv : 0906.4725 . дои : 10.1088/1367-2630/13/4/043016 . S2CID 14259278 .
- ^ Келли, генеральный директор; Лаплаза, МЛ (1980). «Связность компактных замкнутых категорий» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 19 : 193–213. дои : 10.1016/0022-4049(80)90101-2 .
- ^ Джоял, А .; Стрит, Р. (1991). «Геометрия тензорного исчисления I» . Достижения в математике . 88 (1): 55–112. дои : 10.1016/0001-8708(91)90003-П .
- ^ Карбони, А.; Уолтерс, RFC (1987). «Декартовы бикатегории I» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 49 (1–2): 11–32. дои : 10.1016/0022-4049(87)90121-6 .
- ^ Лак, С. (2004). «Составление реквизита». Теория и приложения категорий . 13 : 147–163.
- ^ Хойнен, К.; Викари, Дж. (2019). Категории квантовой теории . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-873961-6 .
- ^ Коке, Б.; Киссинджер, А. (2017). Изображение квантовых процессов . Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2017pqp..book.....C . ISBN 978-1-107-10422-8 .
- ^ Коке, Б. (2010). «Квантовый пиктурализм». Современная физика . 51 (1): 59–83. arXiv : 0908.1787 . Бибкод : 2010ConPh..51...59C . дои : 10.1080/00107510903257624 . S2CID 752173 .
- ^ Пенроуз, Р. (1971). «Применение тензоров отрицательной размерности». На валлийском языке Д. (ред.). Комбинаторная математика и ее приложения. Материалы конференции, состоявшейся в Математическом институте Оксфорда 7–10 июля 1969 г. Академическая пресса. стр. 221–244. OCLC 257806578 .
- ^ Бакенс, Мириам (2014). «ZX-исчисление завершено для стабилизатора квантовой механики» . Новый журнал физики . 16 (9): 093021. arXiv : 1307.7025 . Бибкод : 2014NJPh...16i3021B . дои : 10.1088/1367-2630/16/9/093021 . ISSN 1367-2630 . S2CID 27558474 .
- ^ Жандель, Эммануэль; Пердрикс, Саймон; Вилмарт, Рено (31 мая 2017 г.). «Полная аксиоматизация ZX-исчисления для квантовой механики Клиффорда + Т». arXiv : 1705.11151 [ квант-ph ].
- ^ Баэз, Джей Си (2004). «Квантовые загадки: теоретико-категорный взгляд» . В Риклсе, Д.; Френч, С. (ред.). Структурные основы квантовой гравитации . Издательство Оксфордского университета. стр. 240–266. arXiv : Quant-ph/0404040 . ISBN 978-0-19-926969-3 .
- ^ Селинджер, П. (2011). «Конечномерные гильбертовы пространства полны для кинжало-компактных замкнутых категорий» . Электронные заметки по теоретической информатике . 270 (1): 113–9. CiteSeerX 10.1.1.749.4436 . дои : 10.1016/j.entcs.2011.01.010 .
- ^ Коке, Б.; Павлович, Д.; Викари, Дж. (2013). «Новое описание ортогональных базисов». Математические структуры в информатике . 23 (3): 555–567. arXiv : 0810.0812 . CiteSeerX 10.1.1.244.6490 . дои : 10.1017/S0960129512000047 . S2CID 12608889 .
- ^ Абрамский С.; Хойнен, К. (2010). «H*-алгебры и неединичные алгебры Фробениуса: первые шаги в бесконечномерной категориальной квантовой механике». Лекции Клиффорда, Материалы симпозиумов AMS по прикладной математике . arXiv : 1011.6123 . появиться (2010).
- ^ Викари, Дж. (2011). «Полнота кинжалов-категорий и комплексных чисел». Журнал математической физики . 52 (8): 082104. arXiv : 0807.2927 . Бибкод : 2011JMP....52х2104В . дои : 10.1063/1.3549117 . S2CID 115154127 .
- ^ Хойнен, К. (2008). «Теорема вложения для категорий Гильберта». Теория и приложения категорий . 22 : 321–344. arXiv : 0811.1448 .
- ^ Хойнен, К.; Корнелл, А. (2022). «Аксиомы категории гильбертовых пространств» . Труды Национальной академии наук . 119 (9): e2117024119. arXiv : 2109.07418 . Бибкод : 2022PNAS..11917024H . дои : 10.1073/pnas.2117024119 . ПМЦ 8892366 . ПМИД 35217613 .
- ^ Павлович, Д. (2009). «Квантовые и классические структуры в недетерминированных вычислениях». Квантовое взаимодействие. I квартал 2009 года . Конспекты лекций по информатике. Том. 5494. Спрингер. стр. 143–157. arXiv : 0812.2266 . дои : 10.1007/978-3-642-00834-4_13 . ISBN 978-3-642-00834-4 . S2CID 11615031 . (2009).
- ^ Эванс, Дж.; Дункан, Р.; Ланг, А.; Панангаден, П. (2009). «Классификация всех взаимно несмещенных оснований в Rel». arXiv : 0909.4453 [ квант-ph ].
- ^ Коке, Б.; Киссинджер, А. (2010). «Композиционная структура многочастной квантовой запутанности». Материалы 37-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP) . Конспекты лекций по информатике. Том. 6199. Спрингер. стр. 297–308. arXiv : 1002.2540 .
- ^ Дункан, Р. (2006). Типы для квантовых вычислений (PDF) (доктор философии). Оксфордский университет. CiteSeerX 10.1.1.122.134 . uk.bl.ethos.483690.
- ^ Хойнен, К.; Джейкобс, Б. (2009). «Квантовая логика в категориях ядра кинжала». Заказ . 27 (2): 177–212. arXiv : 0902.2355 . дои : 10.1007/s11083-010-9145-5 . S2CID 2760251 .
- ^ Хардинг, Дж. (2009). «Связь между квантовой логикой и категориальной квантовой механикой». Международный журнал теоретической физики . 48 (3): 769–802. Бибкод : 2009IJTP...48..769H . CiteSeerX 10.1.1.605.9683 . дои : 10.1007/s10773-008-9853-4 . S2CID 13394885 .
- ^ Коке, Б.; Эдвардс, Б.; Спеккенс, Р.В. (2011). «Фазовые группы и происхождение нелокальности кубитов». Электронные заметки по теоретической информатике . 270 (2): 15–36. arXiv : 1003.5005 . дои : 10.1016/j.entcs.2011.01.021 . S2CID 27998267 . , появиться (2010).
- ^ Кук, Боб; Садрзаде, Мехрнуш; Кларк, Стивен (23 марта 2010 г.). «Математические основы композиционно-распределительной модели значения». arXiv : 1003.4394 [ cs.CL ].
- ^ Садрзаде, Мехрнуш; Кларк, Стивен; Кук, Боб (1 декабря 2013 г.). «Анатомия Фробениуса значений слов I: относительные местоимения субъекта и объекта». Журнал логики и вычислений . 23 (6): 1293–1317. arXiv : 1404.5278 . дои : 10.1093/logcom/ext044 . ISSN 0955-792X .
- ^ Садрзаде, Мехрнуш; Кларк, Стивен; Куке, Боб (2016). «Анатомия значений слов Фробениуса II: притяжательные относительные местоимения». Журнал логики и вычислений . 26 (2): 785–815. arXiv : 1406.4690 . дои : 10.1093/logcom/exu027 .
- ^ Кук, Боб; де Феличе, Джованни; Мейханецидис, Константинос; Тоуми, Алексис (07.12.2020). «Основы краткосрочной квантовой обработки естественного языка». arXiv : 2012.03755 [ квант-ph ].