ZX-исчисление

ZX -исчисление — это строгий графический язык для рассуждений о линейных отображениях между кубитами , которые представлены в виде строковых диаграмм , называемых ZX-диаграммами . ZX-диаграмма состоит из набора генераторов, называемых пауками , которые представляют определенные тензоры . Они соединены вместе, образуя тензорную сеть , похожую на графическую нотацию Пенроуза . Из-за симметрии пауков и свойств базовой категории топологическое деформирование ZX-диаграммы (т.е. перемещение образующих без изменения их связей) не влияет на представляемую ею линейную карту. Помимо равенств между ZX-диаграммами, порожденных топологическими деформациями, в исчислении также имеется набор графических правил перезаписи для преобразования диаграмм друг в друга. ZX-исчисление универсально в том смысле, что любое линейное отображение между кубитами можно представить в виде диаграммы, а полны для разных семейств линейных отображений разные наборы правил графической перезаписи. ZX-диаграммы можно рассматривать как обобщение сколько это происходит ?

История

ZX-исчисление было впервые представлено Бобом Коке и Россом Дунканом в 2008 году как продолжение категориальной квантовой механики школы рассуждений . Они представили фундаментальные концепции пауков, сильную взаимодополняемость и большинство стандартных правил переписывания.

В 2009 году Дункан и Пердрикс нашли дополнительное правило разложения Эйлера для ворот Адамара : который был использован Бакенсом в 2013 году для получения первого результата о полноте ZX-исчисления. А именно, что существует набор правил перезаписи, достаточных для доказательства всех равенств между ZX-диаграммами стабилизатора , где фазы кратны $\pi /2$, с точностью до глобальных скаляров. Позже этот результат был уточнен до полноты, включая скалярные коэффициенты.

Следуя результату неполноты, в 2017 году завершено ZX-исчисление для примерно универсального $\pi /4$ фрагмент найден, в дополнение к двум различным результатам полноты универсального ZX-исчисления (где фазам разрешено принимать любое действительное значение).

Также в 2017 году вышла книга «Изображение квантовых процессов» , в которой с нуля строится квантовая теория с использованием ZX-исчисления. См. также книгу «Категории квантовой теории» 2019 года .

Неофициальное знакомство

Пример ZX-диаграммы. У этого есть два входа (провода, идущие слева) и три выхода (провода, выходящие справа), и, следовательно, он представляет собой линейную карту из $\mathbb {C} ^{2^{2}}$к $\mathbb {C} ^{2^{3}}$.

ZX-диаграммы состоят из зеленых и красных узлов, называемых пауками , которые соединены проводами . Провода могут изгибаться и пересекаться, к одному и тому же крестовину может подключаться произвольное количество проводов, а между одной и той же парой узлов может проходить несколько проводов. Существуют также узлы Адамара, обычно обозначаемые желтым прямоугольником, которые всегда подключаются ровно к двум проводам.

ZX-диаграммы представляют собой линейные карты между кубитами , подобно тому, как квантовые схемы представляют унитарные карты между кубитами. ZX-диаграммы отличаются от квантовых схем по двум основным причинам. Во-первых, ZX-диаграммы не обязаны соответствовать жесткой топологической структуре схем и, следовательно, могут деформироваться произвольно. Во-вторых, ZX-диаграммы оснащены набором правил перезаписи, которые в совокупности называются ZX-исчислением . Используя эти правила, расчеты можно производить на самом графическом языке.

Генераторы

Строительными блоками или генераторами ZX-исчисления являются графические представления конкретных состояний , унитарных операторов, линейных изометрий и проекций в вычислительной основе. $|0\rangle ,|1\rangle$ и преобразованный Адамаром базис $|+\rangle ={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}$ и $|-\rangle ={\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}$. Зеленый цвет (или иногда белый) используется для обозначения вычислительной основы, а красный цвет (или иногда серый) используется для обозначения основы, преобразованной Адамаром. Кроме того, каждый из этих генераторов может быть помечен фазой, которая представляет собой действительное число из интервала $[0,2\pi )$. Если фаза равна нулю, то это обычно не пишется.

Генераторы бывают:

Генераторы ZX-исчисления, неофициально

Тип	Генератор	Соответствующая линейная карта	Примечания
состояние		$|0\rangle +e^{i\alpha }|1\rangle$	Для $\alpha =0$ и $\alpha =\pi$, это отображение соответствует ненормализованным версиям базисных состояний, преобразованных Адамаром. $\mid +\rangle$ и $\mid -\rangle$, соответственно. Для $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$, это ненормализованная версия магического состояния Т. ${\frac {|0\rangle +e^{i\pi /4}|1\rangle }{\sqrt {2}}}$.
состояние		$|+\rangle +e^{i\alpha }|-\rangle$	Для $\alpha =0$ и $\alpha =\pi$, эта карта соответствует ненормализованным версиям состояний вычислительного базиса $\mid 0\rangle$ и $\mid 1\rangle$, соответственно.
унитарная карта		$|0\rangle \langle 0|+e^{i\alpha }|1\rangle \langle 1|$	Эта карта представляет собой вращение сферы Блоха вокруг оси Z на угол $\alpha$. Для $\alpha =\pi$, это матрица З Паули .
унитарная карта		$|+\rangle \langle +|+e^{i\alpha }|-\rangle \langle -|$	Эта карта представляет собой вращение сферы Блоха вокруг оси X на угол $\alpha$. Для $\alpha =\pi$, это матрица X Паули .
унитарная карта		$|+\rangle \langle 0|+|-\rangle \langle 1|$	Эта карта представляет собой ворота Адамара, часто используемые в квантовых схемах.
изометрия		$|00\rangle \langle 0|+e^{i\alpha }|11\rangle \langle 1|$	Для $\alpha =0$, эта карта представляет собой операцию копирования в вычислительной основе. За ту же стоимость $\alpha$, это также соответствует гладкого расщепления операции решеточной хирургии .
изометрия		$|++\rangle \langle +|+e^{i\alpha }|--\rangle \langle -|$	Для $\alpha =0$, эта карта представляет собой операцию копирования в преобразованном Адамаром базисе. За ту же стоимость $\alpha$это также соответствует разделения грубой операции решетчатой ​​хирургии .
частичная изометрия		$|0\rangle \langle 00|+e^{i\alpha }|1\rangle \langle 11|$	Для $\alpha =0$, эта карта представляет собой операцию «контролируемое НЕ», за которой следует разрушительное измерение Z на целевом кубите, выбранном после перехода в состояние $|0\rangle$. За ту же стоимость $\alpha$, это также соответствует плавному слиянию (без побочных операторов) решеточной хирургии.
частичная изометрия		$|+\rangle \langle ++|+e^{i\alpha }|-\rangle \langle --|$	Для $\alpha =0$, эта карта представляет собой операцию «контролируемое НЕ», за которой следует разрушительное измерение X на контрольном кубите, после перехода в состояние $|+\rangle$. За ту же стоимость $\alpha$, это также соответствует грубому слиянию (без побочных операторов) решеточной хирургии.
проекция		$\langle 0|+e^{i\alpha }\langle 1|$	Для $\alpha =0$ или $\alpha =\pi$, эта карта соответствует разрушительному измерению X, выбранному после состояния $\mid +\rangle$ или $\mid -\rangle$, соответственно.
проекция		$\langle +|+e^{i\alpha }\langle -|$	Для $\alpha =0$ или $\alpha =\pi$, эта карта соответствует деструктивному измерению Z, выбранному после состояния $\mid 0\rangle$ или $\mid 1\rangle$, соответственно.

Состав

Генераторы могут быть составлены двумя способами:

• последовательно, подключив выходные провода одного генератора к входным проводам другого;
• параллельно, устанавливая два генератора вертикально.

Эти законы соответствуют композиции и тензорному произведению линейных карт.

Любая диаграмма, написанная путем составления генераторов таким способом, называется ZX-диаграммой. ZX-диаграммы замкнуты по обоим законам композиции: соединение выхода одной ZX-диаграммы со входом другой создает действительную ZX-диаграмму, а вертикальное расположение двух ZX-диаграмм создает действительную ZX-диаграмму.

только

Две диаграммы представляют собой один и тот же линейный оператор, если они состоят из одинаковых образующих, соединенных одинаковым образом. Другими словами, всякий раз, когда две ZX-диаграммы могут быть преобразованы друг в друга посредством топологической деформации, они представляют собой одну и ту же линейную карту. Таким образом, вентиль «управляемое-НЕ» можно представить следующим образом:

Переписывание диаграммы

Следующий пример квантовой схемы создает GHZ-состояние . Переведя ее в ZX-диаграмму, используя правила «слияние соседних пауков одного цвета», «Адамар меняет цвет пауков» и «пауки с четностью 2 являются тождествами», ее можно графически свести к GHZ. -состояние:

Любую линейную карту между кубитами можно представить в виде ZX-диаграммы, т.е. ZX-диаграммы универсальны . Данная ZX-диаграмма может быть преобразована в другую ZX-диаграмму с использованием правил перезаписи ZX-исчисления тогда и только тогда, когда две диаграммы представляют одну и ту же линейную карту, т.е. ZX-исчисление является корректным и полным .

Формальное определение

Категория , ZX-диаграмм представляет собой компактную категорию кинжала что означает, что она имеет симметричную моноидальную структуру (тензорное произведение), является компактно-замкнутой (имеет чашечки и шапочки ) и оснащена кинжалом , так что все эти структуры соответствующим образом взаимодействуют. . Объектами категории являются натуральные числа с тензорным произведением, заданным сложением (категория — PROP ). Морфизмы этой категории являются ZX-диаграммами. Две ZX-диаграммы составляются путем их сопоставления по горизонтали и соединения выходов левой диаграммы со входами правой диаграммы. Моноидальное произведение двух диаграмм представляется размещением одной диаграммы над другой.

строятся Действительно, все ZX-диаграммы свободно из набора образующих посредством композиции и моноидального произведения по модулю равенств, индуцированных компактной структурой и правилами ZX-исчисления, приведенными ниже. Например, идентичность объекта $n$ изображается как $n$ параллельные провода слева направо, в особом случае $n=0$ пустая диаграмма.

В следующей таблице представлены генераторы вместе с их стандартными интерпретациями в виде линейных карт, выраженных в нотации Дирака . Состояния вычислительного базиса обозначаются $\mid 0\rangle ,\vert 1\rangle$ а Адамаром , базисные состояния, преобразованные $\mid \pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\vert 0\rangle \pm \vert 1\rangle )$. $n$-кратное тензорное произведение вектора $\mid \psi \rangle$ обозначается $\mid \psi \rangle ^{\otimes n}$.

Генераторы ZX-диаграмм

Имя	Диаграмма	Тип	Линейная карта, которую он представляет
пустая диаграмма	This is the common representation for an empty diagram in categorical quantum mechanics	$0\rightarrow 0$	1
провод/личность	$-$	$1\rightarrow 1$	$\mid 0\rangle \langle 0\!\mid +\mid \!1\rangle \langle 1\mid$
Штат Белл	This is the common representation for a cup diagram in categorical quantum mechanics	$0\rightarrow 2$	$\mid 00\rangle +\vert 11\rangle$
Эффект колокола	This is the common representation for a cap in categorical quantum mechanics	$2\rightarrow 0$	$\langle 00\mid +\langle 11\mid$
менять	This is the common representation of the swap morphism in the graphical language of symmetric monoidal categories	$2\rightarrow 2$	$\mid 00\rangle \langle 00\vert +\vert 01\rangle \langle 10\vert +\vert 10\rangle \langle 01\vert +\vert 11\rangle \langle 11\vert$
Z-паук	This is the green Z-spider from the ZX-calculus, with a phase alpha and n inputs and m outputs	$n\rightarrow m$	$\mid 0\rangle ^{\otimes m}\langle 0\vert ^{\otimes n}+e^{i\alpha }\vert 1\rangle ^{\otimes m}\langle 1\vert ^{\otimes n}$
Х-паук	This is the red X-spider from the ZX-calculus, with a phase alpha and n inputs and m outputs	$n\rightarrow m$	$\mid +\rangle ^{\otimes m}\langle +\vert ^{\otimes n}+e^{i\alpha }\vert -\rangle ^{\otimes m}\langle -\vert ^{\otimes n}$
Адамар	This is the standard yellow representation of a Hadamard gate in the ZX-calculus	$1\rightarrow 1$	$\mid +\rangle \langle 0\vert +\vert -\rangle \langle 1\mid$

Существует множество различных версий ZX-исчисления, использующих в качестве аксиом разные системы правил перезаписи. Все они разделяют метаправило «только топология имеет значение», которое означает, что две диаграммы равны, если они состоят из одинаковых генераторов, соединенных одинаково, независимо от того, как эти генераторы расположены на диаграмме.Ниже приведены некоторые основные правила перезаписи, которые здесь даны «с точностью до скалярного коэффициента»: т.е. две диаграммы считаются равными, если их интерпретации как линейных карт отличаются на ненулевой комплексный коэффициент.

Правила ZX-исчисления

Название правила	Правило	Описание
Слияние Z-паука		Всякий раз, когда два Z-паука соприкасаются, они могут слиться вместе, и их фазы складываются. Это правило соответствует тому факту, что Z-паук представляет собой ортонормированный базис — вычислительный базис.
Слияние X-паука		См. Слияние Z-пауков.
Правило идентификации		Бесфазный Z- или X-паук арности 2 равен единице. Это правило гласит, что состояние Белла одинаково, независимо от того, выражено ли оно в вычислительном базисе или в базисе, преобразованном Адамаром. В терминах теории категорий это говорит о том, что компактная структура, индуцированная Z- и X-пауком, совпадает.
Изменение цвета		Ворота Адамара меняют цвет пауков. Это выражает свойство, которое ворота Адамара отображают между вычислительным базисом и базисом, преобразованным Адамаром.
Копировать правило		Z-паук копирует X-пауков арности-1. Это выражает тот факт, что X-паук с арностью 1 пропорционален состоянию вычислительного базиса (в данном случае $\vert 0\rangle$).
Правило биалгебры		2-цикл Z- и X-пауков упрощается. Это выражает то свойство, что вычислительный базис и преобразованный Адамаром базис сильно дополняют друг друга .
$\pi$-копировать правило		НЕ-гейт (Х-паук арности-2 с $\pi$ фаза) копирует через Z-паука и переворачивает фазу этого паука. Это правило устанавливает сразу два свойства. Во-первых, НЕ является функциональной картой вычислительного базиса (оно отображает состояния базиса в состояния базиса), а во-вторых, когда НЕ коммутируется через вентиль Z-вращения, это вращение переворачивается.
разложение Эйлера		Ворота Адамара можно разложить на три вращения вокруг сферы Блоха (что соответствует ее углам Эйлера ). Иногда это правило принимают за определение генератора Адамара, и в этом случае единственными генераторами ZX-диаграмм являются Z- и X-паук.

Приложения

ZX-исчисление использовалось в различных квантовых информационных и вычислительных задачах.

• Он использовался для описания квантовых вычислений на основе измерений и состояний графа .
• ZX-исчисление — это язык решетчатых операций над поверхностными кодами .
• Он использовался для поиска и проверки правильности квантовых кодов исправления ошибок .
• Его использовали для оптимизации квантовых схем.

Инструменты

Правила перезаписи ZX-исчисления могут быть формально реализованы как пример переписывания с двойным выталкиванием . Это использовалось в программном обеспечении Quantomatic для автоматического переписывания ZX-диаграмм (или более общих строковых диаграмм ). Чтобы формализовать использование «точек» для обозначения любого количества проводов, например, используемых в правиле слияния пауков, в этом программном обеспечении используется «бэнг-бокс» . нотация реализовать правила перезаписи, при которых пауки могут иметь любое количество входов и выходов.

Более поздний проект по обработке ZX-диаграмм — PyZX, который в первую очередь ориентирован на оптимизацию схем.

Пакет LaTeX zx-calculus можно использовать для набора ZX-диаграмм. Многие авторы также используют программное обеспечение TikZiT в качестве графического интерфейса для набора диаграмм.

Родственные графические языки

ZX-исчисление — лишь один из нескольких графических языков описания линейных отображений между кубитами. ZW -исчисление было разработано параллельно с ZX-исчислением и естественным образом может описывать W-состояние и фермионные квантовые вычисления. Это был первый графический язык, который имел полный набор правил для примерно универсального набора линейных отображений между кубитами. а ранние результаты полноты ZX-исчисления используют редукцию к ZW-исчислению.

Более поздний язык — ZH-исчисление . Это добавляет H-блок в качестве генератора, который обобщает вентиль Адамара из ZX-исчисления. Он может естественным образом описывать квантовые схемы, включающие вентили Тоффоли.

концепции

С точностью до скаляров бесфазное ZX-исчисление, порожденное $0$-меченные пауки эквивалентны компактной замкнутой категории кинжала линейных отношений над конечным полем $\mathbb {F} _{2}$. Другими словами, дана диаграмма с $n$ входы и $m$ выходы в бесфазном ZX-исчислении, его стабилизаторы X образуют линейное подпространство $\mathbb {F} _{2}^{n}\oplus \mathbb {F} _{2}^{m}$, а композиция бесфазных диаграмм ZX соответствует реляционной композиции этих подпространств. Z В частности, комоноид (представляемый пауком Z с одним входом и двумя выходами и пауком Z с одним входом и без выходов) и моноид X (представляемый пауком X с одним выходом и двумя входами и пауком X без входов) генерируют симметричную моноидальную категорию матриц с одним выходом и над $\mathbb {F} _{2}$ относительно прямой суммы как моноидального произведения.

См. также

• Категорическая квантовая механика
• Прикладная теория категорий
• Струнная диаграмма

Внешние ссылки

• zxcalculus.com
• Квантоватический