Состояние графа

В квантовых вычислениях состояние графа — это особый тип многокубитного состояния , которое может быть представлено графом . Каждый кубит представлен вершиной графа , и между каждой взаимодействующей парой кубитов есть ребро. В частности, они представляют собой удобный способ представления определенных типов запутанных состояний.

Состояния графа полезны в квантовых кодах, исправляющих ошибки , измерении и очистке запутанности, а также для характеристики вычислительных ресурсов в моделях квантовых вычислений, основанных на измерениях. Состояние графа — это частный случай 2-равномерного состояния гиперграфа, обобщение, в котором мощность ребер находится между 1 и N.

Формальное определение

Состояния квантового графа можно определить двумя эквивалентными способами: через понятие квантовых схем и формализм стабилизатора.

Определение квантовой схемы

Учитывая график $G=(V,E)$, с множеством вершин $V$ и набор ребер $E$, соответствующее состояние графа определяется как

${\left|G\right\rangle }=\prod _{(a,b)\in E}U^{\{a,b\}}{\left|+\right\rangle }^{\otimes V}$

где ${\left|+\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\left|0\right\rangle }+{\left|1\right\rangle })$ и оператор $U^{\{a,b\}}$ — контролируемое Z- взаимодействие между двумя вершинами (соответствующее двум кубитам) $a$ и $b$

$U^{\{a,b\}}=\left[{\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\end{array}}\right]$

Определение формализма стабилизатора

Альтернативным и эквивалентным определением является следующее, в котором используется формализм стабилизатора .

Определение оператора $S_{v}$ для каждой вершины $v$ из $G$:

$S_{v}=\sigma _{x}^{(v)}\prod _{u\in N(v)}\sigma _{z}^{(u)}$

где $\sigma _{x,y,z}$ матрицы Паули и $N(v)$ множество вершин, смежных с $v$. $S_{v}$ операторы ездят на работу. Состояние графа ${\left|G\right\rangle }$ определяется как одновременное $+1$-собственное значение собственное состояние $\left|V\right|$ операторы $\left\{S_{v}\right\}_{v\in V}$:

$S_{v}{\left|G\right\rangle }={\left|G\right\rangle }$

Эквивалентность двух определений

Доказательство эквивалентности двух определений можно найти в .

Примеры

• Если $G=P_{3}$ является трехвершинным путем , то $S_{v}$ стабилизаторы

${\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes I,\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\I\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}$

Соответствующее квантовое состояние

${\left|P_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }+{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }+{\left|111\right\rangle })$

• Если $G=K_{3}$ треугольник с тремя вершинами, то $S_{v}$ стабилизаторы

${\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}$

Соответствующее квантовое состояние

${\left|K_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }-{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }-{\left|111\right\rangle })$

Обратите внимание, что ${\left|P_{3}\right\rangle }$ и ${\left|K_{3}\right\rangle }$ локально эквивалентны друг другу, т. е. могут быть отображены друг в друга путем применения однокубитных унитарных преобразований. Действительно, переключение $\sigma _{x}$ и $\sigma _{y}$ на первом и последнем кубитах, при переключении $\sigma _{y}$ и $\sigma _{z}$ на среднем кубите отображает группу стабилизаторов одного в группу стабилизаторов другого.

В более общем смысле, два состояния графа локально эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие графы связаны последовательностью так называемых шагов «локального дополнения», как показано Ван ден Нестом и др. (2005).

Критерии запутанности и неравенства Белла для состояний графа

После того, как в эксперименте было создано состояние графа, важно убедиться, что действительно было создано запутанное квантовое состояние. Верность по отношению к $N$состояние графа -кубита $|G_{N}\rangle$ дается

$F_{GN}={\rm {Tr}}(\rho |G_{N}\rangle \langle G_{N}|),$

Было показано, что если $F_{GN}>1/2$ для нетривиального состояния графа, соответствующего связному графу, то состояние $\rho$ имеет настоящую многочастичную запутанность. Таким образом, можно получить свидетель запутанности, обнаруживающий запутанность вблизи состояний графа как

$W_{GN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identity}}-|G_{N}\rangle \langle G_{N}|.$

где $\langle W_{GN}\rangle <0$ сигнализирует о настоящей многочастичной запутанности.

Такого свидетеля нельзя измерить напрямую. Его необходимо разложить на сумму членов корреляций, которые затем можно измерить. Однако для больших систем этот подход может оказаться затруднительным.

Существуют также свидетели запутанности, которые работают в очень больших системах и они также обнаруживают настоящую многочастную запутанность, близкую к состояниям графа. Здесь само состояние графа должно быть действительно многочастным запутанным, то есть соответствовать связному графу. Свидетелям нужны только две минимальные локальные настройки измерения для состояний графа, соответствующих двухцветным графам. Подобные условия также можно использовать для определения нижней границы точности относительно идеального состояния графа. Эти критерии были впервые использованы в эксперименте по реализации четырехкубитных кластерных состояний с фотонами. Эти подходы также использовались для предложения методов обнаружения запутанности в меньшей части состояния большого кластера или состояния графа, реализованного в оптических решетках.

Неравенства Белла также были разработаны для кластерных состояний. Все эти условия запутанности и неравенства Белла основаны на формализме стабилизатора.

См. также

• Запутывание
• Состояние кластера

Ссылки

• М. Хейн; Дж. Эйсерт; Х. Дж. Бригель (2004). «Многосторонняя запутанность в состояниях графа». Физический обзор А. 69 (6): 062311. arXiv : quant-ph/0307130 . Бибкод : 2004PhRvA..69f2311H . дои : 10.1103/PhysRevA.69.062311 . S2CID   108290803 .
• С. Андерс; Х. Дж. Бригель (2006). «Быстрое моделирование схем стабилизатора с использованием представления графического состояния». Физический обзор А. 73 (2): 022334. arXiv : quant-ph/0504117 . Бибкод : 2006PhRvA..73b2334A . дои : 10.1103/PhysRevA.73.022334 . S2CID   12763101 .
• М. Ван ден Нест; Дж. Деэн; Б. Де Мур (2005). «Локальная унитарная и локальная клиффордовская эквивалентность состояний стабилизатора». Физический обзор А. 71 (6): 062323. arXiv : quant-ph/0411115 . Бибкод : 2005PhRvA..71f2323V . дои : 10.1103/PhysRevA.71.062323 . S2CID   119466090 .

Внешние ссылки

• Состояния квантового графа: два эквивалентных определения