Верность квантовых состояний

В квантовой механике , особенно в квантовой теории информации , точность количественно определяет «близость» между двумя матрицами плотности . Он выражает вероятность того, что одно государство пройдет тест на идентификацию с другим. Это не метрика в пространстве матриц плотности, но ее можно использовать для определения метрики Буреса в этом пространстве.

Определение

Точность между двумя квантовыми состояниями $\rho$ и $\sigma$, выраженный как матрицы плотности , обычно определяется как:

$F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.$

Квадратные корни в этом выражении четко определены, поскольку оба $\rho$ и ${\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}$ являются положительно полуопределенными матрицами, а квадратный корень положительной полуопределенной матрицы определяется с помощью спектральной теоремы . Евклидов внутренний продукт из классического определения заменяется Гильберта – Шмидта внутренним продуктом .

Как будет обсуждаться в следующих разделах, это выражение можно упростить в различных представляющих интерес случаях. В частности, для чистых состояний $\rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|$ и $\sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|$, оно равно: $$F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.$$Это говорит нам о том, что точность между чистыми состояниями имеет прямую интерпретацию с точки зрения вероятности нахождения состояния. $|\psi _{\rho }\rangle$ при измерении $|\psi _{\sigma }\rangle$ в основе, содержащей $|\psi _{\rho }\rangle$.

Некоторые авторы используют альтернативное определение $F':={\sqrt {F}}$ и назовем эту величину верностью. Определение $F$ однако встречается чаще. Чтобы избежать путаницы, $F'$ можно было бы назвать «точностью квадратного корня». В любом случае целесообразно уточнять принятое определение всякий раз, когда используется понятие верности.

Мотивация от классического аналога

Даны две случайные величины $X,Y$ с ценностями $(1,...,n)$ ( категориальные случайные величины ) и вероятности $p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$ и $q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$, верность $X$ и $Y$ определяется как количество

$F(X,Y)=\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)^{2}$.

Точность связана с маргинальным распределением случайных величин. Здесь ничего не говорится о совместном распределении этих переменных. Другими словами, верность $F(X,Y)$ квадрат произведения внутреннего $({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})$ и $({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})$ рассматриваться как векторы в евклидовом пространстве . Обратите внимание, что $F(X,Y)=1$ тогда и только тогда, когда $p=q$. В общем, $0\leq F(X,Y)\leq 1$. Мера ​ $\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}$ известен как коэффициент Бхаттачарьи .

Учитывая классическую меру различимости двух распределений вероятностей , можно мотивировать меру различимости двух квантовых состояний следующим образом: если экспериментатор пытается определить, является ли квантовое состояние одной из двух возможностей $\rho$ или $\sigma$, наиболее общее возможное измерение состояния, которое они могут сделать, - это POVM , которое описывается набором эрмитовых положительно-полуопределенных операторов. $\{F_{i}\}$. При измерении состояния $\rho$ с этим ПОВМ, $i$-й исход находится с вероятностью $p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})$, и аналогично с вероятностью $q_{i}=\operatorname {tr} (\sigma F_{i})$ для $\sigma$. Умение различать $\rho$ и $\sigma$ тогда эквивалентно их способности различать классические распределения вероятностей $p$ и $q$. Тогда возникает естественный вопрос: что такое POVM, что делает два распределения максимально различимыми, что в данном контексте означает минимизацию коэффициента Бхаттачарьи по сравнению с возможными вариантами POVM. Таким образом, формально мы вынуждены определить точность между квантовыми состояниями как:

$F(\rho ,\sigma )=\min _{\{F_{i}\}}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}}\left(\sum _{i}{\sqrt {\operatorname {tr} (\rho F_{i})\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}}\right)^{2}.$

Это показали Фукс и Кейвс. что минимизация в этом выражении может быть вычислена явно, с решением проективной POVM, соответствующей измерению в собственном базисе $\sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}$и приводит к общему явному выражению точности как $$F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.$$

Эквивалентные выражения

Эквивалентное выражение через норму трассировки

Эквивалентное выражение точности между произвольными состояниями через норму трассы :

$F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},$

где абсолютное значение оператора здесь определяется как $|A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}$.

Эквивалентное выражение через характеристические полиномы

Поскольку след матрицы равен сумме ее собственных значений

$F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},$

где $\lambda _{j}$ являются собственными значениями ${\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}$, который по построению является положительно полуопределенным, поэтому квадратные корни собственных значений четко определены. Поскольку характеристический полином произведения двух матриц не зависит от порядка, спектр произведения матрицы инвариантен относительно циклической перестановки, и поэтому вместо этого эти собственные значения можно вычислить по формуле $\rho \sigma$. Изменение свойства трассировки приводит к

$F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}$.

Выражения для чистых состояний

Если (хотя бы) одно из двух состояний чистое, например $\rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|$, точность упрощается до $$F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .$$Отсюда следует наблюдение, что если $\rho$ тогда чистый ${\sqrt {\rho }}=\rho$, и таким образом $$F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .$$

Если оба состояния чисты, $\rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|$ и $\sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|$, то получим еще более простое выражение: $$F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.$$

Характеристики

Некоторые из важных свойств точности квантового состояния:

• Симметрия . $F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )$.
• Ограниченные значения . Для любого $\rho$ и $\sigma$, $0\leq F(\rho ,\sigma )\leq 1$, и $F(\rho ,\rho )=1$.
• Согласованность и точность распределения вероятностей . Если $\rho$ и $\sigma$ добираться , определение упрощается до $$F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$$где $p_{k},q_{k}$ являются собственными значениями $\rho ,\sigma$, соответственно. Чтобы увидеть это, помните, что если $[\rho ,\sigma ]=0$ то их можно диагонализовать по одному и тому же базису : $$\rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|{\text{ and }}\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|,$$так что $\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}|k\rangle \!\langle k|\right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.$
• Явное выражение для кубитов .

Если $\rho$ и $\sigma$ оба являются состояниями кубита , точность можно вычислить как

$F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )+2{\sqrt {\det(\rho )\det(\sigma )}}.$

Состояние кубита означает, что $\rho$ и $\sigma$ представлены двумерными матрицами. Этот результат следует из того, что $M={\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}$ является положительно-полуопределенным оператором , следовательно, $\operatorname {tr} {\sqrt {M}}={\sqrt {\lambda _{1}}}+{\sqrt {\lambda _{2}}}$, где $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ являются (неотрицательными) собственными значениями $M$. Если $\rho$ (или $\sigma$) является чистым, этот результат дополнительно упрощается до $F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )$ с $\mathrm {Det} (\rho )=0$ для чистых состояний.

Унитарная инвариантность

Прямой расчет показывает, что точность сохраняется за счет унитарной эволюции , т.е.

$\;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})$

для любого унитарного оператора $U$.

Связь с точностью между соответствующими распределениями вероятностей

Позволять $\{E_{k}\}_{k}$ — произвольная положительная операторно-значная мера (ПОВМ); то есть набор положительных полуопределенных операторов $E_{k}$ удовлетворяющий $\sum _{k}E_{k}=I$. Тогда для любой пары состояний $\rho$ и $\sigma$, у нас есть $${\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},$$где на последнем шаге мы обозначили $p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )$ и $q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )$ распределения вероятностей, полученные путем измерения $\rho ,\ \sigma$ с ПОВМ $\{E_{k}\}_{k}$.

Это показывает, что квадратный корень точности между двумя квантовыми состояниями ограничен сверху коэффициентом Бхаттачарьи между соответствующими распределениями вероятностей в любых возможных POVM. Действительно, в более общем плане верно, что $$F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$$ где $F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}$, а минимум берется для всех возможных POVM. Более конкретно, можно доказать, что минимум достигается с помощью проективной ПОВМ, соответствующей измерению в собственном базисе оператора $\sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}$.

Доказательство неравенства

Как было показано ранее, квадратный корень из точности можно записать как ${\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|,$что эквивалентно существованию унитарного оператора $U$ такой, что

$${\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U).$$Вспоминая это $\sum _{k}E_{k}=I$ справедливо для любого POVM, тогда мы можем написать $${\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}E_{k}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {\sigma }}U)\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}},$$где на последнем этапе мы использовали неравенство Коши-Шварца, как в $|\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)|^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)$.

Поведение при квантовых операциях

Можно показать, что точность между двумя состояниями никогда не уменьшается, когда выполняется неселективная квантовая операция. ${\mathcal {E}}$ применяется к состояниям: $$F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),$$ для любого полностью положительного отображения , сохраняющего след ${\mathcal {E}}$.

Связь с расстоянием отслеживания

Мы можем определить расстояние следа между двумя матрицами A и B через норму следа следующим образом:

$D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.$

Когда A и B оба являются операторами плотности, это квантовое обобщение статистического расстояния . Это актуально, поскольку расстояние между следами обеспечивает верхнюю и нижнюю границы точности, количественно выраженную неравенствами Фукса – Ван де Граафа :

$1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.$

Часто расстояние трассировки легче вычислить или определить, чем точность, поэтому эти зависимости весьма полезны. В случае, если хотя бы одно из состояний является чистым состоянием Ψ, нижнюю границу можно ужесточить.

$1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.$

Теорема Ульмана

Мы видели, что для двух чистых состояний их точность совпадает с перекрытием. Теорема Ульмана обобщает это утверждение на смешанные состояния с точки зрения их очищения:

Теорема. Пусть ρ и σ — матрицы плотности, действующие на C ^н . Пусть ρ ^{1 ⁄ 2} — единственный положительный квадратный корень из ρ и

$$|\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}(\rho ^{{1}/{2}}|e_{i}\rangle )\otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}$$

— очистка ρ (поэтому $\textstyle \{|e_{i}\rangle \}$ является ортонормированным базисом), то имеет место равенство

$F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}$

где $|\psi _{\sigma }\rangle$ представляет собой очистку σ. Поэтому в целом верность — это максимальное перекрытие между очистками.

Эскиз доказательства

Простое доказательство можно представить следующим образом. Позволять $\textstyle |\Omega \rangle$ обозначим вектор

$|\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle$

и σ ^{1 ⁄ 2} — единственный положительный квадратный корень из σ. Мы видим, что благодаря унитарной свободе в корневых факторизациях и выборе ортонормированных базисов произвольная очистка σ имеет вид

$|\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle$

где Vi _{операторы} – унитарные . Теперь мы непосредственно вычисляем

$|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.$

Но в общем случае для любой квадратной матрицы A и унитарной U верно, что |tr( AU )| ≤ tr(( А ^* А ) ^{1 ⁄ 2} ). При этом равенство достигается, если U ^* унитарный оператор полярного разложения A . — Отсюда непосредственно следует теорема Ульмана.

Доказательство с явными разложениями.

Здесь мы предложим альтернативный, явный способ доказательства теоремы Ульмана.

Позволять $|\psi _{\rho }\rangle$ и $|\psi _{\sigma }\rangle$ быть очищением $\rho$ и $\sigma$, соответственно. Для начала покажем, что $|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|$.

Общая форма очищений состояний такова: $${\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}$$были $|\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle$ являются собственными векторами $\rho ,\ \sigma$, и $\{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}$ являются произвольными ортонормированными базисами. Перекрытие между очистками $$\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),$$где унитарная матрица $U$ определяется как $$U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).$$К такому выводу теперь можно прийти, используя неравенство $|\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|$: $$|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.$$Обратите внимание, что это неравенство представляет собой неравенство треугольника, применяемое к сингулярным значениям матрицы. Действительно, для общей матрицы $A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|$и унитарный $U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|$, у нас есть $${\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}$$где $s_{j}(A)\geq 0$ являются (всегда действительными и неотрицательными) сингулярными значениями $A$, как и при разложении по сингулярным значениям . Неравенство является насыщенным и становится равенством, когда $\langle w_{j}|a_{j}\rangle =1$, то есть когда $U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,$ и таким образом $AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|$. Вышеизложенное показывает, что $|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|$ когда очищения $|\psi _{\rho }\rangle$ и $|\psi _{\sigma }\rangle$ таковы, что ${\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|$. Поскольку этот выбор возможен независимо от состояний, мы можем окончательно заключить, что $$\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.$$

Последствия

Некоторые непосредственные следствия теоремы Ульмана:

• Верность симметрична по своим аргументам, т.е. F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Обратите внимание, что это не очевидно из исходного определения.
• F (ρ,σ) лежит в [0,1] по неравенству Коши–Шварца .
• F (ρ,σ) = 1 тогда и только тогда, когда ρ = σ, поскольку из Ψ _ρ = Ψ _σ следует ρ = σ.

Итак, мы видим, что точность ведет себя почти как метрика. Это можно формализовать и сделать полезным, определив

$\cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,$

Поскольку угол между состояниями $\rho$ и $\sigma$. Из приведенных выше свойств следует, что $\theta _{\rho \sigma }$ неотрицательен, симметричен по своим входным параметрам и равен нулю тогда и только тогда, когда $\rho =\sigma$. Кроме того, можно доказать, что он подчиняется неравенству треугольника: поэтому этот угол является метрикой пространства состояний: метрикой Фубини–Студи .

Ссылки

• Квантики: Верность