Метрика Буреса

В математике , в области квантовой информационной геометрии , используется метрика Буреса (названа в честь Дональда Буреса). ^[1] или метрика Хелстрома (названа в честь Карла В. Хелстрома ) ^[2] определяет бесконечно малое расстояние между операторами матрицы плотности, определяющими квантовые состояния . Это квантовое обобщение информационной метрики Фишера и идентично метрике Фубини – Стьюди. ^[3] если ограничиться только чистыми состояниями.

Определение

Буреса Метрику можно определить как

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),

где $G$ — эрмитов оператор 1-формы, неявно заданный формулой

\rho G+G\rho =d\rho ,

что является частным случаем непрерывного уравнения Ляпунова .

Некоторые из применений метрики Буреса включают то, что с учетом целевой ошибки она позволяет вычислить минимальное количество измерений, чтобы различить два разных состояния. ^[4] и использование элемента объема в качестве кандидата на априорную плотность вероятности Джеффриса. ^[5] для смешанных квантовых состояний.

Расстояние Буреса

Расстояние Буреса представляет собой конечную версию бесконечно малого квадратного расстояния, описанного выше, и определяетсяк

D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),

где функция точности определена как ^[6]

F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.

Другой связанной функцией является дуга Буреса, также известная как угол Буреса, длина Буреса или квантовый угол , определяемый как

D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},

что является мерой статистического расстояния ^[7]между квантовыми состояниями.

Расстояние Вуттерса

Когда оба оператора плотности диагональны (так что они представляют собой просто классические распределения вероятностей), тогда пусть $\rho _{1}=diag(p_{1},...)$ и аналогично $\rho _{2}=diag(q_{1},...)$ , то верность ${\sqrt {F}}=\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}$ при этом длина Буреса становится расстоянием Вуттерса $\arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)$ . Расстояние Вуттерса — это геодезическое расстояние между распределениями вероятностей. $p,q$ по хи-квадрат метрике $ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}$ . ^[8]

Выполните замену переменных с помощью $x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}$ , то метрика хи-квадрат становится $ds^{2}=\sum _{i}dx_{i}^{2}$ . С $\sum _{i}x_{i}^{2}=\sum _{i}p_{i}=1$ , точки $x$ ограничены в перемещении в положительном квадранте единичной гиперсферы. Итак, геодезические — это просто большие круги на гиперсфере, и мы также получаем формулу расстояния Вуттерса.

Если оба оператора плотности являются чистыми состояниями, $\psi ,\phi$ , то верность ${\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |$ , и мы получаем квантовую версию расстояния Вуттерса

$\arccos(|\langle \psi |\phi \rangle |)$ . ^[9]

В частности, прямое расстояние Буреса между любыми двумя ортогональными состояниями равно ${\sqrt {2}}$ , а расстояние Буреса, суммированное по соединяющему их геодезическому пути, равно $\pi /2$ .

Информация о квантовом Фишере

Метрику Буреса можно рассматривать как квантовый эквивалент информационной метрики Фишера, и ее можно переписать в терминах изменения параметров координат как

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },

который действует до тех пор, пока $\rho$ и $\rho +d\rho$ иметь одинаковый ранг. В тех случаях, когда они не имеют одинакового ранга, справа имеется дополнительный термин. ^[10]^[11] $L_{\mu }$ — оператор симметричной логарифмической производной (SLD), определенный как ^[12]

{\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu }}}.

Таким образом, человек имеет

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },

где квантовая метрика Фишера (компоненты тензора) определяется как

J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right].

Определение SLD подразумевает, что квантовая метрика Фишера в 4 раза превышает метрику Буреса. Другими словами, учитывая, что $g_{\mu \nu }$ являются компонентами метрического тензора Буреса, имеем

J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.

Как и в случае с классической информационной метрикой Фишера, квантовую метрику Фишера можно использовать для нахождения границы Крамера- ковариации Рао .

Явные формулы

Фактическое вычисление метрики Буреса не очевидно из определения, поэтому для этой цели были разработаны некоторые формулы. Для систем 2x2 и 3x3 соответственно квадратичная форма метрики Буреса вычисляется как ^[13]

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].

Для общих систем метрику Буреса можно записать через собственные векторы и собственные значения матрицы плотности $\rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|$ как ^[14]^[15]

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},

как интеграл, ^[16]

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,

или в терминах произведения Кронекера и векторизации , ^[17]

[D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],

где $^{*}$ обозначает комплексно-сопряженное , а $^{\dagger }$ обозначает сопряженное транспонирование . Эта формула справедлива для обратимых матриц плотности. Для необратимых матриц плотности инверсия, указанная выше, заменяется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза . В качестве альтернативы выражение также можно вычислить, ограничив определенное смешанное и, следовательно, обратимое состояние.

Двухуровневая система

Состояние двухуровневой системы можно параметризовать тремя переменными как

\rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),

где ${\boldsymbol {\sigma }}$ – вектор матриц Паули и ${\boldsymbol {r}}$ - это (трехмерный) вектор Блоха, удовлетворяющий $r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1$ . Компоненты метрики Буреса в этой параметризации можно вычислить как

{\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}

.

Меру Буреса можно вычислить, взяв квадратный корень из определителя, чтобы найти

dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},

который можно использовать для расчета объема Буреса как

V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

Трехуровневая система

Состояние трехуровневой системы можно параметризовать восемью переменными как

\rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),

где $\lambda _{\nu }$ восемь матриц Гелл-Манна и ${\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}$ 8-мерный вектор Блоха, удовлетворяющий определенным ограничениям.

См. также

Ссылки

^ Бурес, Дональд (1969). «Распространение теоремы Какутани о мерах бесконечного произведения на тензорное произведение полуконечных $\omega$ *-алгебры» (PDF) . Труды Американского математического общества . 135. Американское математическое общество (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN 0002-9947 .
^ Хелстром, CW (1967). «Минимальная среднеквадратическая ошибка оценок в квантовой статистике». Буквы по физике А. 25 (2). Эльзевир Б.В.: 101–102. Бибкод : 1967PhLA...25..101H . дои : 10.1016/0375-9601(67)90366-0 . ISSN 0375-9601 .
^ Факки, Паоло; Кулкарни, Рави; Манько, В.И.; Мармо, Джузеппе; Сударшан, ЭКГ; Вентриглия, Франко (2010). «Классическая и квантовая информация Фишера в геометрической формулировке квантовой механики». Буквы по физике А. 374 (48): 4801–4803. arXiv : 1009.5219 . Бибкод : 2010PhLA..374.4801F . дои : 10.1016/j.physleta.2010.10.005 . ISSN 0375-9601 . S2CID 55558124 .
^ Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Письма о физических отзывах . 72 (22). Американское физическое общество (APS): 3439–3443. Бибкод : 1994PhRvL..72.3439B . дои : 10.1103/physrevlett.72.3439 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 10056200 .
^ Слейтер, Пол Б. (1996). «Применение квантовой и классической информации Фишера к двухуровневым сложным, кватернионным и трехуровневым сложным системам». Журнал математической физики . 37 (6). Издательство АИП: 2682–2693. Бибкод : 1996JMP....37.2682S . дои : 10.1063/1.531528 . ISSN 0022-2488 .
^ К сожалению, некоторые авторы используют другое определение: $F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})$
^ Вуттерс, ВК (15 января 1981 г.). «Статистическое расстояние и гильбертово пространство». Физический обзор D . 23 (2). Американское физическое общество (APS): 357–362. Бибкод : 1981PhRvD..23..357W . дои : 10.1103/physrevd.23.357 . ISSN 0556-2821 .
^ Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний» . Письма о физических отзывах . 72 (22): 3439–3443. Бибкод : 1994PhRvL..72.3439B . дои : 10.1103/PhysRevLett.72.3439 . ПМИД 10056200 .
^ Деффнер, Себастьян; Кэмпбелл, Стив (10 ноября 2017 г.). «Квантовые ограничения скорости: от принципа неопределенности Гейзенберга к оптимальному квантовому управлению» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Бибкод : 2017JPhA...50S3001D . дои : 10.1088/1751-8121/aa86c6 . hdl : 11603/19391 . ISSN 1751-8113 . S2CID 3477317 .
^ Шафранек, Доминик (11 мая 2017 г.). «Разрывы квантовой информации Фишера и метрики Буреса». Физический обзор А. 95 (5): 052320. arXiv : 1612.04581 . Бибкод : 2017PhRvA..95e2320S . дои : 10.1103/physreva.95.052320 . ISSN 2469-9926 .
^ Резахани, АТ; Хасани, М.; Алипур, С. (12 сентября 2019 г.). «Непрерывность квантовой информации Фишера» . Физический обзор А. 100 (3): 032317. arXiv : 1507.01736 . Бибкод : 2019PhRvA.100c2317R . дои : 10.1103/PhysRevA.100.032317 . S2CID 51680508 .
^ Париж, Маттео Джорджия (2009). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/s0219749909004839 . ISSN 0219-7499 . S2CID 2365312 .
^ Диттманн, Дж (1 января 1999 г.). «Явные формулы для метрики Буреса». Журнал физики A: Математический и общий . 32 (14): 2663–2670. arXiv : Quant-ph/9808044 . Бибкод : 1999JPhA...32.2663D . дои : 10.1088/0305-4470/32/14/007 . ISSN 0305-4470 . S2CID 18298901 .
^ Хюбнер, Матиас (1992). «Явное вычисление расстояния Буреса для матриц плотности». Буквы по физике А. 163 (4). Эльзевир Б.В.: 239–242. Бибкод : 1992PhLA..163..239H . дои : 10.1016/0375-9601(92)91004-б . ISSN 0375-9601 .
^ Хюбнер, Матиас (1993). «Вычисление параллельного переноса Ульмана для матриц плотности и метрики Буреса в трехмерном гильбертовом пространстве». Буквы по физике А. 179 (4–5). Эльзевир Б.В.: 226–230. Бибкод : 1993PhLA..179..226H . дои : 10.1016/0375-9601(93)90668-п . ISSN 0375-9601 .
^ ПАРИЖ, МАТТЕО ГА (2009). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/s0219749909004839 . ISSN 0219-7499 . S2CID 2365312 .
^ Шафранек, Доминик (12 апреля 2018 г.). «Простое выражение квантовой информационной матрицы Фишера». Физический обзор А. 97 (4): 042322. arXiv : 1801.00945 . Бибкод : 2018PhRvA..97d2322S . дои : 10.1103/physreva.97.042322 . ISSN 2469-9926 .

Дальнейшее чтение

Ульманн, А. (1992). «Метрика Буреса и геометрическая фаза». В Гилераке, Р.; Лукьерский, Дж.; Попович, З. (ред.). Группы и связанные темы . Материалы первого симпозиума Макса Борна. стр. 267–274. дои : 10.1007/978-94-011-2801-8_23 . ISBN 94-010-5244-1 .
Соммерс, HJ; Зичковски, К. (2003). «Объем Бюреса множества смешанных квантовых состояний». Журнал физики А. 36 (39): 10083–10100. arXiv : Quant-ph/0304041 . Бибкод : 2003JPhA...3610083S . дои : 10.1088/0305-4470/36/39/308 . S2CID 39943897 .
Диттманн, Дж. (1993). «О римановой геометрии конечномерных смешанных состояний» (PDF) . Семинар Софус Лиж . 73 .
Слейтер, Пол Б. (1996). «Квантовая информация Фишера-Буреса двухуровневых систем и трехуровневое расширение». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 29 (10): Л271–Л275. дои : 10.1088/0305-4470/29/10/008 .
Нильсен, Массачусетс; Чуанг, Иллинойс (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-63235-8 .

[1] Бурес, Дональд (1969). «Распространение теоремы Какутани о мерах бесконечного произведения на тензорное произведение полуконечных $\omega$ *-алгебры» (PDF) . Труды Американского математического общества . 135. Американское математическое общество (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN 0002-9947 .

[2] Хелстром, CW (1967). «Минимальная среднеквадратическая ошибка оценок в квантовой статистике». Буквы по физике А. 25 (2). Эльзевир Б.В.: 101–102. Бибкод : 1967PhLA...25..101H . дои : 10.1016/0375-9601(67)90366-0 . ISSN 0375-9601 .

[3] Факки, Паоло; Кулкарни, Рави; Манько, В.И.; Мармо, Джузеппе; Сударшан, ЭКГ; Вентриглия, Франко (2010). «Классическая и квантовая информация Фишера в геометрической формулировке квантовой механики». Буквы по физике А. 374 (48): 4801–4803. arXiv : 1009.5219 . Бибкод : 2010PhLA..374.4801F . дои : 10.1016/j.physleta.2010.10.005 . ISSN 0375-9601 . S2CID 55558124 .

[4] Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Письма о физических отзывах . 72 (22). Американское физическое общество (APS): 3439–3443. Бибкод : 1994PhRvL..72.3439B . дои : 10.1103/physrevlett.72.3439 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 10056200 .

[5] Слейтер, Пол Б. (1996). «Применение квантовой и классической информации Фишера к двухуровневым сложным, кватернионным и трехуровневым сложным системам». Журнал математической физики . 37 (6). Издательство АИП: 2682–2693. Бибкод : 1996JMP....37.2682S . дои : 10.1063/1.531528 . ISSN 0022-2488 .

[6] К сожалению, некоторые авторы используют другое определение: $F(\rho _{1},\rho _{2})={\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})$

[7] Вуттерс, ВК (15 января 1981 г.). «Статистическое расстояние и гильбертово пространство». Физический обзор D . 23 (2). Американское физическое общество (APS): 357–362. Бибкод : 1981PhRvD..23..357W . дои : 10.1103/physrevd.23.357 . ISSN 0556-2821 .

[8] Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний» . Письма о физических отзывах . 72 (22): 3439–3443. Бибкод : 1994PhRvL..72.3439B . дои : 10.1103/PhysRevLett.72.3439 . ПМИД 10056200 .

[9] Деффнер, Себастьян; Кэмпбелл, Стив (10 ноября 2017 г.). «Квантовые ограничения скорости: от принципа неопределенности Гейзенберга к оптимальному квантовому управлению» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Бибкод : 2017JPhA...50S3001D . дои : 10.1088/1751-8121/aa86c6 . hdl : 11603/19391 . ISSN 1751-8113 . S2CID 3477317 .

[10] Шафранек, Доминик (11 мая 2017 г.). «Разрывы квантовой информации Фишера и метрики Буреса». Физический обзор А. 95 (5): 052320. arXiv : 1612.04581 . Бибкод : 2017PhRvA..95e2320S . дои : 10.1103/physreva.95.052320 . ISSN 2469-9926 .

[11] Резахани, АТ; Хасани, М.; Алипур, С. (12 сентября 2019 г.). «Непрерывность квантовой информации Фишера» . Физический обзор А. 100 (3): 032317. arXiv : 1507.01736 . Бибкод : 2019PhRvA.100c2317R . дои : 10.1103/PhysRevA.100.032317 . S2CID 51680508 .

[12] Париж, Маттео Джорджия (2009). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/s0219749909004839 . ISSN 0219-7499 . S2CID 2365312 .

[13] Диттманн, Дж (1 января 1999 г.). «Явные формулы для метрики Буреса». Журнал физики A: Математический и общий . 32 (14): 2663–2670. arXiv : Quant-ph/9808044 . Бибкод : 1999JPhA...32.2663D . дои : 10.1088/0305-4470/32/14/007 . ISSN 0305-4470 . S2CID 18298901 .

[14] Хюбнер, Матиас (1992). «Явное вычисление расстояния Буреса для матриц плотности». Буквы по физике А. 163 (4). Эльзевир Б.В.: 239–242. Бибкод : 1992PhLA..163..239H . дои : 10.1016/0375-9601(92)91004-б . ISSN 0375-9601 .

[15] Хюбнер, Матиас (1993). «Вычисление параллельного переноса Ульмана для матриц плотности и метрики Буреса в трехмерном гильбертовом пространстве». Буквы по физике А. 179 (4–5). Эльзевир Б.В.: 226–230. Бибкод : 1993PhLA..179..226H . дои : 10.1016/0375-9601(93)90668-п . ISSN 0375-9601 .

[16] ПАРИЖ, МАТТЕО ГА (2009). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/s0219749909004839 . ISSN 0219-7499 . S2CID 2365312 .

[17] Шафранек, Доминик (12 апреля 2018 г.). «Простое выражение квантовой информационной матрицы Фишера». Физический обзор А. 97 (4): 042322. arXiv : 1801.00945 . Бибкод : 2018PhRvA..97d2322S . дои : 10.1103/physreva.97.042322 . ISSN 2469-9926 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]