Фубини – Метрика исследования

В математике метрика Фубини–Студи (IPA: /fubini-ʃtuːdi/) представляет собой кэлерову метрику на комплексном проективном пространстве CP. ^н наделенный эрмитовой формой . Первоначально эта метрика была описана в 1904 и 1905 годах Гвидо Фубини и Эдуардом Стью .

Эрмитова форма в (векторном пространстве) C ^{п +1} определяет унитарную подгруппу U( n +1) в GL( n +1, C ). Метрика Фубини–Студи определяется с точностью до гомотетии (общего масштабирования) путем инвариантности относительно такого действия U( n +1); поэтому он однороден . Оснащен метрикой Фубини – Исследования, CP ^н является симметричным пространством . Конкретная нормализация метрики зависит от приложения. В римановой геометрии используется нормализация, так что метрика Фубини–Студи просто соотносится со стандартной метрикой на (2 n +1)-сфере . В алгебраической геометрии используется нормализация, делающая CP ^н многообразие Ходжа .

Строительство

Метрика Фубини–Студи естественным образом возникает при фактор-пространства построении комплексного проективного пространства .

В частности, можно определить CP ^н быть пространством, состоящим из всех комплексных прямых в C ^{п +1} , т. е. частное C ^{п +1} \{0} отношением эквивалентности, связывающим все комплексные кратные каждой точки вместе. Это согласуется с фактором по диагональному групповому действию мультипликативной группы C ^* = С \{0}:

$\mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.$

Это частное реализует C ^{п +1} \{0} как комплексное линейное расслоение над базовым пространством CP ^н . (На самом деле это так называемое тавтологическое расслоение над CP ^н .) Точка CP ^н таким образом, отождествляется с классом эквивалентности ( n +1)-кортежей [ Z ₀ ,..., Z _n ] по модулю ненулевого комплексного масштабирования; Z . _i называются однородными координатами точки

Более того, это факторотображение можно реализовать в два этапа: поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр z = R   e ^iθ можно однозначно рассматривать как композицию расширения по модулю R с последующим поворотом против часовой стрелки вокруг начала координат на угол $\theta$, фактор-отображение C ^{п +1} → КП ^н распадается на две части.

$\mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {(b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}$

где шаг (a) является фактором по растяжению Z ~ R Z для R ∈ R ⁺ , мультипликативная группа положительных действительных чисел , а шаг (b) представляет собой частное по вращениям Z ~ e ^iθ С .

Результатом фактора в (a) является реальная гиперсфера S ^{2н 1 +} определяется уравнением | Я | ² = | Я ₀ | ² + ... + | З _н | ² = 1. Фактор в (б) реализует CP ^н = С ^{2н 1 +} / С ¹ , где S ¹ представляет группу вращений. Этот фактор явно реализуется знаменитым расслоением Хопфа S ¹ → С ^{2н 1 +} → КП ^н , волокна которого входят в число больших кругов $S^{2n+1}$.

Как метрическое частное

Когда факторпространство берется из риманова многообразия (или метрического пространства в целом), необходимо позаботиться о том, чтобы фактор-пространство было наделено метрикой четко определенной . Например, если группа G действует на римановом многообразии ( X , g ), то для того, чтобы пространство орбит X / G обладало индуцированной метрикой, $g$ должна быть постоянной вдоль G -орбит в том смысле, что для любого элемента h ∈ G и пары векторных полей $X,Y$ мы должны иметь g ( Xh , Yh ) = g ( X , Y ).

Стандартная эрмитова метрика на C ^{п +1} дается в стандартной основе

$ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}$

реализацией которой является стандартная евклидова метрика на R ^{2н 2 +} . Эта метрика не инвариантна относительно диагонального действия C ^* , поэтому мы не можем напрямую передать его в CP ^н в частном. Однако эта метрика инвариантна относительно диагонального действия S ¹ = U(1), группа вращений. Следовательно, шаг (б) в приведенной выше конструкции возможен после выполнения шага (а).

Метрика Фубини–Студи — это метрика, индуцированная на факторе CP ^н = С ^{2н 1 +} / С ¹ , где $S^{2n+1}$ несет в себе так называемую «круглую метрику», обусловленную ограничением стандартной евклидовой метрики единичной гиперсферой.

В локальных аффинных координатах

Соответствует точке в CP ^н с однородными координатами $[Z_{0}:\dots :Z_{n}]$, существует уникальный набор из n координат $(z_{1},\dots ,z_{n})$ такой, что

$[Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],$

предоставил $Z_{0}\neq 0$; конкретно, $z_{j}=Z_{j}/Z_{0}$. $(z_{1},\dots ,z_{n})$ сформировать аффинную систему координат для CP ^н в координатном патче $U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}$. В любом из участков координат можно разработать аффинную систему координат. $U_{i}=\{Z_{i}\neq 0\}$ вместо этого разделив на $Z_{i}$ очевидным образом. n +1 координатных участков $U_{i}$ прикрыть КП ^н , и метрику можно явно задать через аффинные координаты $(z_{1},\dots ,z_{n})$ на $U_{i}$. Производные координат определяют систему координат $\{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}$ голоморфного касательного расслоения к CP ^н , в терминах которого метрика Фубини–Студи имеет эрмитовые компоненты

$g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.$

где | г | ² = | я ₁ | ² + ... + | з _п | ² . То есть эрмитова матрица метрики Фубини–Студи в этой системе отсчета равна

${\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]$

Обратите внимание, что каждый элемент матрицы унитарно-инвариантен: диагональное действие $\mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z}$ оставит эту матрицу неизменной.

Соответственно, элемент линии определяется выражением

${\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

В этом последнем выражении соглашение о суммировании используется для суммирования по латинским индексам i , j в диапазоне от 1 до n .

Метрику можно получить из следующего потенциала Кэлера :

$K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})$

как

$g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K$

Использование однородных координат

Возможно также выражение в обозначениях однородных координат используемых для описания многообразий алгебраической геометрии : Z = [ Z0 _{проективных} :...: Zn _{, обычно} ]. Формально, при условии соответствующей интерпретации рассматриваемых выражений, имеем

${\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Здесь соглашение о суммировании используется для суммирования по греческим индексам α β в диапазоне от 0 до n , а в последнем равенстве используется стандартное обозначение косой части тензора:

$Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).$

Теперь это выражение для d s ² по-видимому, определяет тензор на всем пространстве тавтологического расслоения C ^{п +1} \{0}. Его следует понимать правильно как тензор на CP ^н потянув его назад по голоморфному сечению σ тавтологического расслоения CP ^н . Остается затем проверить, что величина отката не зависит от выбора сечения: это можно сделать прямым расчетом.

Кэлерова форма этой метрики имеет вид

$\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}$

где $\partial ,{\bar {\partial }}$ — операторы Дольбо . Обратный ход явно не зависит от выбора голоморфного сечения. Журнал количества | Я | ² - это потенциал Кэлера (иногда называемый скаляром Кэлера) CP ^н .

В обозначениях координат бра-кет

В квантовой механике метрика Фубини–Студи также известна как метрика Буреса . Однако метрика Буреса обычно определяется в обозначениях смешанных состояний , тогда как изложение ниже написано в терминах чистого состояния . Реальная часть метрики составляет (четверть) информационной метрики Фишера .

Метрику Фубини–Студи можно записать, используя обозначения брекета, обычно используемые в квантовой механике . Чтобы явно приравнять это обозначение к приведенным выше однородным координатам, пусть

$\vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]$

где $\{\vert e_{k}\rangle \}$ — набор ортонормированных базисных векторов гильбертова пространства , $Z_{k}$ являются комплексными числами, а $Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]$ — стандартное обозначение точки проективного пространства CP ^н в однородных координатах . Тогда, учитывая две точки $\vert \psi \rangle =Z_{\alpha }$ и $\vert \varphi \rangle =W_{\alpha }$ в пространстве расстояние (длина геодезической) между ними равно

$\gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}$

или, что то же самое, в обозначениях проективного разнообразия,

$\gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.$

Здесь, ${\bar {Z}}^{\alpha }$ представляет собой сопряжение комплексное $Z_{\alpha }$. Внешний вид $\langle \psi \vert \psi \rangle$ в знаменателе это напоминание о том, что $\vert \psi \rangle$ и аналогично $\vert \varphi \rangle$ не были нормированы на единицу длины; таким образом, нормализация здесь сделана явной. В гильбертовом пространстве метрику можно интерпретировать как угол между двумя векторами; поэтому его иногда называют квантовым углом . Угол имеет действительное значение и изменяется от 0 до $\pi /2$.

Бесконечно малую форму этой метрики можно быстро получить, взяв $\varphi =\psi +\delta \psi$или, что то же самое, $W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }$ чтобы получить

$ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.$

В контексте квантовой механики CP ¹ называется сферой Блоха ; Метрика Фубини–Студи является естественной метрикой для геометризации квантовой механики. Большая часть своеобразного поведения квантовой механики, включая квантовую запутанность и фазовый эффект Берри, может быть объяснена особенностями метрики Фубини-Студи.

Случай n = 1

При n = 1 существует диффеоморфизм $S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}$ дается стереографической проекцией . Это приводит к «особому» расслоению Хопфа S ¹ → С ³ → С ² . Когда метрика Фубини–Студи записана в координатах на CP ¹ , его ограничение на вещественное касательное расслоение дает выражение обычной «круглой метрики» радиуса 1/2 (и гауссовой кривизны 4) на S ² .

А именно, если z = x + i y — стандартная аффинная координатная карта на сфере Римана CP ¹ и x = r cos θ, y = r sin θ — полярные координаты на C , то рутинные вычисления показывают

$ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}$

где $ds_{us}^{2}$ — круглая метрика на единичной 2-сфере. математика Здесь φ, θ — « сферические координаты » на S ² исходя из стереографической проекции r tan(φ/2) = 1, tan θ = y / x . (Во многих справочниках по физике роли φ и θ меняются местами.)

Форма Кэлера ​

$K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}$

Выбираем четвероногих $e^{1}=dx/(1+r^{2})$ и $e^{2}=dy/(1+r^{2})$, форма Кэлера упрощается до

$K=e^{1}\wedge e^{2}$

Применяя звезду Ходжа к форме Кэлера, получаем

$*K=1$

подразумевая, K гармоничен что .

Случай n = 2

Метрика Фубини–Студи на комплексной проективной плоскости CP ² был предложен как гравитационный инстантон , гравитационный аналог инстантона . Метрика, форма соединения и кривизна легко вычисляются, как только установлены подходящие реальные четырехмерные координаты. Письмо $(x,y,z,t)$ для реальных декартовых координат затем определяются одноформы полярных координат на 4-сфере ( кватернионная проективная линия ) как

${\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}$

The $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ являются стандартной левоинвариантной одноформовой системой координат на группе Ли. $SU(2)=S^{3}$; то есть они подчиняются $d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}$ для $i,j,k=1,2,3$ циклический.

Соответствующие локальные аффинные координаты: $z_{1}=x+iy$ и $z_{2}=z+it$ затем предоставьте

${\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}$

с обычными сокращениями, которые $dr^{\,2}=dr\otimes dr$ и $\sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}$.

Элемент строки, начинающийся с ранее заданного выражения, имеет вид

${\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}$

Фирбейны : можно сразу прочитать из последнего выражения

${\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}$

То есть в системе координат Вирбейна с использованием индексов, написанных латинскими буквами, метрический тензор является евклидовым:

$ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.$

Учитывая вирбейн, спиновую связь можно вычислить ; спиновая связь Леви-Чивита — это единственная связность, не имеющая кручения и ковариантно постоянная, а именно, это одноформенная связность $\omega _{\;\;b}^{a}$ удовлетворяющее условию отсутствия кручения

$de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0$

и является ковариантно постоянной, что для спиновых связей означает, что он антисимметричен по индексам Вирбейна:

$\omega _{ab}=-\omega _{ba}$

Вышеупомянутое легко решается; получается

${\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}$

определяется 2-форма кривизны как

$R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}$

и является постоянным:

${\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}$

Тензор Риччи в индексах Вейрбейна имеет вид

$\operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}$

где 2-форма кривизны была развернута как четырехкомпонентный тензор:

$R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}$

Результирующий тензор Риччи постоянен.

$\operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}$

так что полученное уравнение Эйнштейна

$\operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0$

можно решить с помощью космологической постоянной $\Lambda =6$.

Тензор Вейля для метрик Фубини–Студи в целом определяется выражением

$W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)$

Для случая n = 2 две формы

$W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}$

являются самодвойственными:

${\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}$

Свойства кривизны

В частном случае n = 1 метрика Фубини – Студи имеет постоянную секционную кривизну, тождественно равную 4, в соответствии с эквивалентностью круглой метрики 2-сферы (которая, учитывая радиус R, имеет секционную кривизну $1/R^{2}$). Однако при n > 1 метрика Фубини–Студи не имеет постоянной кривизны. Вместо этого его поперечная кривизна определяется уравнением

$K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}$

где $\{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}$ является ортонормированным базисом 2-плоскости σ, J : T CP ^н → Т КП ^н – комплексная структура на CP ^н , и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — метрика Фубини–Студи.

Следствием этой формулы является то, что кривизна сечения удовлетворяет условию $1\leq K(\sigma )\leq 4$ для всех 2-плоскостей $\sigma$. Максимальная секционная кривизна (4) достигается на голоморфной 2-плоскости, для которой J (σ) ⊂ σ, тогда как минимальная секционная кривизна (1) достигается на 2-плоскости, для которой J (σ) ортогональна σ. По этой причине часто говорят, что метрика Фубини – Стьюди имеет «постоянную голоморфную секционную кривизну», равную 4.

Это делает КП ^н (нестрогий) четверть пережатый коллектор ; знаменитая теорема показывает, что строго четверть защемленное односвязное n -многообразие должно быть гомеоморфно сфере.

Метрика Фубини–Студи также является метрикой Эйнштейна в том смысле, что она пропорциональна собственному тензору Риччи : существует константа $\Lambda$; такой, что для всех i , j имеем

$\operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.$

Это означает, среди прочего, что метрика Фубини–Студи остается неизменной с точностью до скалярного кратного при потоке Риччи . Это также делает CP ^н незаменим в общей теории относительности , где он служит нетривиальным решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна .

Космологическая постоянная $\Lambda$ для КП ^н дается через размерность пространства:

$\operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.$

Метрика продукта

Общие понятия разделимости применимы к метрике Фубини – Стьюди. Точнее, метрика сепарабельна на натуральном произведении проективных пространств — вложении Сегре . То есть, если $\vert \psi \rangle$ является сепарабельным состоянием , поэтому его можно записать как $\vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle$, то метрика есть сумма метрик на подпространствах:

$ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}$

где ${ds_{A}}^{2}$ и ${ds_{B}}^{2}$ — метрики соответственно на подпространствах A и B .

Соединение и кривизна

Тот факт, что метрика может быть получена из потенциала Кэлера, означает, что символы Кристоффеля и тензоры кривизны содержат множество симметрий и им можно придать особенно простую форму: Символы Кристоффеля в локальных аффинных координатах имеют вид

$\Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}$

Тензор Римана также особенно прост:

$R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}$

Тензор Риччи ​

$R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}$

См. также

• Нелинейная сигма-модель
• Теория Калуцы – Клейна
• Высота Аракелова

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], том. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN.  978-3-540-15279-8
• Броуди, округ Колумбия; Хьюстон, LP (2001), «Геометрическая квантовая механика», Журнал геометрии и физики , 38 (1): 19–53, arXiv : quant-ph/9906086 , Bibcode : 2001JGP....38...19B , doi : 10.1016/S0393-0440(00)00052-8 , S2CID   17580350
• Гриффитс, П .; Харрис, Дж. (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Wiley Interscience, стр. 30–31, ISBN  0-471-05059-8
• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Метрика Фубини – Студи» , Энциклопедия математики , EMS Press .