Кватернионное проективное пространство

В математике кватернионное проективное пространство является расширением идей реального проективного пространства и комплексного проективного пространства на случай, когда координаты лежат в кольце кватернионов. $\mathbb {H} .$ Кватернионное проективное пространство размерности n обычно обозначается как

\mathbb {HP} ^{n}

и является замкнутым многообразием (вещественной) размерности 4 n . Это однородное пространство для действия группы Ли во многих отношениях. Кватернионная проективная линия $\mathbb {HP} ^{1}$ гомеоморфна 4-сфере.

В координатах

Его непосредственная конструкция представляет собой частный случай проективного пространства над алгеброй с делением . Однородные координаты точки можно записать

[q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}]

где $q_{i}$ являются кватернионами, а не все равны нулю. Два набора координат представляют одну и ту же точку, если они «пропорциональны» умножению слева на ненулевой кватернион c ; то есть мы идентифицируем все

[cq_{0},cq_{1}\ldots ,cq_{n}]

.

Говоря языком групповых действий , $\mathbb {HP} ^{n}$ это пространство орбитальное $\mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}$ действием $\mathbb {H} ^{\times }$ , мультипликативная группа ненулевых кватернионов. Сначала проецируя на единичную сферу внутри $\mathbb {H} ^{n+1}$ можно также рассматривать $\mathbb {HP} ^{n}$ как орбитальное пространство $S^{4n+3}$ действием ${\text{Sp}}(1)$ , группа единичных кватернионов. ^[1] Сфера $S^{4n+3}$ тогда становится главным Sp(1)-расслоением над $\mathbb {HP} ^{n}$ :

\mathrm {Sp} (1)\to S^{4n+3}\to \mathbb {HP} ^{n}.

Это расслоение иногда называют (обобщенным) расслоением Хопфа .

Также ведется строительство $\mathbb {HP} ^{n}$ посредством двумерных комплексных подпространств $\mathbb {H} ^{2n}$ , это означает, что $\mathbb {HP} ^{n}$ лежит внутри комплексного грассманиана .

Топология

Гомотопическая теория

Пространство $\mathbb {HP} ^{\infty }$ , определяемый как объединение всех конечных $\mathbb {HP} ^{n}$ находится во включении, является классифицирующим пространством BS ³. Гомотопические группы $\mathbb {HP} ^{\infty }$ даны $\pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).$ Эти группы, как известно, очень сложны и, в частности, они отличны от нуля для бесконечного числа значений $i$ . Однако у нас есть такое

\pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}

Отсюда следует, что рационально, т.е. после локализации пространства , $\mathbb {HP} ^{\infty }$ является пространством Эйленберга – Маклейна $K(\mathbb {Q} ,4)$ . То есть $\mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.$ (ср. пример K(Z,2) ). См. теорию рациональной гомотопии .

В общем, $\mathbb {HP} ^{n}$ имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в каждом измерении, кратном 4, вплоть до $4n$ . Соответственно, его кольцо когомологий есть $\mathbb {Z} [v]/v^{n+1}$ , где $v$ представляет собой 4-мерный генератор. Это аналог сложного проективного пространства. Из теории рациональной гомотопии также следует, что $\mathbb {HP} ^{n}$ имеет бесконечные гомотопические группы только в размерностях 4 и $4n+3$ .

Дифференциальная геометрия

$\mathbb {HP} ^{n}$ несет естественную риманову метрику, аналогичную метрике Фубини-Студи на $\mathbb {CP} ^{n}$ , относительно которого оно является компактным кватернионно-келеровым симметричным пространством положительной кривизны.

Кватернионное проективное пространство можно представить как смежное пространство.

\mathbb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)

где $\operatorname {Sp} (n)$ — компактная симплектическая группа .

Классы характеристик

С $\mathbb {HP} ^{1}=S^{4}$ , его касательное расслоение стабильно тривиально. Касательные расслоения остальных имеют нетривиальные классы Штифеля–Уитни и Понтрягина . Общее количество классов определяется по следующим формулам:

w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}

p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}

где $v$ является генератором $H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )$ и $u$ это его модификация 2. ^[2]

Особые случаи

Кватернионная проективная линия

Одномерное проективное пространство над $\mathbb {H}$ называется «проективной линией» в обобщении комплексной проективной линии . Например, она была использована (неявно) в 1947 году П.Г. Гормли для расширения группы Мёбиуса до контекста кватернионов с помощью дробно-линейных преобразований . О дробно-линейных преобразованиях ассоциативного кольца с 1 см. проективную линию над кольцом и группу гомографий GL(2, A ).

С топологической точки зрения кватернионная проективная прямая представляет собой 4-сферу, и фактически это диффеоморфные многообразия. Упомянутое ранее расслоение относится к 7-сфере и является примером расслоения Хопфа .

Явные выражения для координат для 4-сферы можно найти в статье о метрике Фубини–Студи .

Кватернионная проективная плоскость

8-мерный $\mathbb {HP} ^{2}$ имеет действие по кругу группой комплексных скаляров с абсолютным значением 1, действующих на другой стороне (то есть справа, поскольку соглашение о действии c выше находится слева). Следовательно, фактормногообразие

\mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)

можно взять, записав U(1) для группы окружностей . Было показано, что этот фактор представляет собой 7- сферу , результат Владимира Арнольда в 1996 году, позже заново открытый Эдвардом Виттеном и Майклом Атьей .

Ссылки

^ Набер, Грегори Л. (2011) [1997]. «Физическая и геометрическая мотивация» . Топология, геометрия и калибровочные поля . Тексты по прикладной математике. Том. 25. Спрингер. п. 50. дои : 10.1007/978-1-4419-7254-5_0 . ISBN 978-1-4419-7254-5 .
^ Щарба, Р.Х. (1964). «О касательных расслоениях расслоений и факторпространств» (PDF) . Американский журнал математики . 86 (4): 685–697. дои : 10.2307/2373152 . JSTOR 2373152 .

Дальнейшее чтение

Арнольд, VI (1999). «Родственники фактора комплексной проективной плоскости по комплексному сопряжению» . Тр. Мат. Инст. Стеклова . 224 : 56–6. CiteSeerX 10.1.1.50.6421 . Рассматривает аналог упомянутого результата для кватернионного проективного пространства и 13-сферы.
Гормли, П.Г. (1947), «Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов», Труды Королевской ирландской академии, Раздел A , 51 : 67–85, JSTOR 20488472

[1] Набер, Грегори Л. (2011) [1997]. «Физическая и геометрическая мотивация» . Топология, геометрия и калибровочные поля . Тексты по прикладной математике. Том. 25. Спрингер. п. 50. дои : 10.1007/978-1-4419-7254-5_0 . ISBN 978-1-4419-7254-5 .

[2] Щарба, Р.Х. (1964). «О касательных расслоениях расслоений и факторпространств» (PDF) . Американский журнал математики . 86 (4): 685–697. дои : 10.2307/2373152 . JSTOR 2373152 .

[1]

[2]