Пространство Эйленберга – Маклейна

В математике , особенно в алгебраической топологии , пространство Эйленберга – Маклейна. — топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой .

Пусть G — группа, а n — положительное целое число . Связное типа топологическое пространство X называется пространством Эйленберга–Маклейна $K(G,n)$, если он имеет n -ю гомотопическую группу $\pi _{n}(X)$ изоморфна , G и всем остальным гомотопическим группам тривиальным . Предполагая, что в случае G абелева , когда $n>1$, пространства Эйленберга–Маклейна типа $K(G,n)$ всегда существуют и все они слабо гомотопически эквивалентны. Таким образом, можно рассматривать $K(G,n)$ как относящийся к классу слабой гомотопической эквивалентности пространств. К любому представителю принято обращаться как к «представителю». $K(G,n)$или как «модель $K(G,n)$". Более того, принято считать, что это пространство является CW-комплексом (что всегда возможно посредством CW-аппроксимации).

Название происходит от Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Мак Лейна , которые представили такие пространства в конце 1940-х годов.

По сути, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологического пространства , которое в теории гомотопий можно рассматривать как строительный блок для CW-комплексов посредством расслоений в системе Постникова . Эти пространства важны во многих контекстах алгебраической топологии , включая вычисления гомотопических групп сфер, определение операций когомологии и наличие сильной связи с сингулярными когомологиями .

Обобщенное пространство Эйленберга – Маклейна - это пространство, имеющее гомотопический тип произведения пространств Эйленберга – Маклейна. $\prod _{m}K(G_{m},m)$.

Примеры

• Единичный круг $S^{1}$ это $K(\mathbb {Z} ,1)$.
• Бесконечномерное комплексное проективное пространство $\mathbb {CP} ^{\infty }$ является моделью $K(\mathbb {Z} ,2)$.
• Бесконечномерное реальное проективное пространство $\mathbb {RP} ^{\infty }$ это $K(\mathbb {Z} /2,1)$.
• из Сумма клина k единичных кругов $\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}$ это $K(F_{k},1)$, где $F_{k}$ — свободная группа на k образующих.
• Дополнение к любому связному узлу или графу в трехмерной сфере. $S^{3}$ имеет тип $K(G,1)$; это называется « асферичностью узлов» и является теоремой Христа Папакириакопулоса 1957 года .
• Любое компактное связное неположительной кривизны многообразие M является $K(\Gamma ,1)$, где $\Gamma =\pi _{1}(M)$ является группой M . фундаментальной Это следствие теоремы Картана–Адамара .
• Бесконечное пространство объектива $L(\infty ,q)$ заданный коэффициентом $S^{\infty }$ свободным действием $(z\mapsto e^{2\pi im/q}z)$ для $m\in \mathbb {Z} /q$ это $K(\mathbb {Z} /q,1)$. Это можно показать, используя теорию покрывающего пространства и тот факт, что бесконечномерная сфера сжимаема . Обратите внимание, что это включает в себя $\mathbb {RP} ^{\infty }$ как $K(\mathbb {Z} /2,1)$.
• Конфигурационное пространство ​ $n$ точки на плоскости – это $K(P_{n},1)$, где $P_{n}$ — это группа чистых кос на $n$ пряди.
• Соответственно, n- е неупорядоченное конфигурационное пространство $\mathbb {R} ^{2}$ это $K(B_{n},1)$, где $B_{n}$ обозначает группу n -нитевых кос .
• Бесконечное симметричное произведение $SP(S^{n})$ n - -сфера это $K(\mathbb {Z} ,n)$. В более общем плане $SP(M(G,n))$ это $K(G,n)$ для всех пространств Мура $M(G,n)$.

Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что произведение $K(G,n)\times K(H,n)$ является $K(G\times H,n)$. Например, n -мерный Тор $\mathbb {T} ^{n}$ это $K(\mathbb {Z} ^{n},1)$.

Замечание о построении пространств Эйленберга–Маклейна.

Для $n=1$ и $G$ произвольная группа, конструкция $K(G,1)$ идентично классифицирующему пространству группы $G$. Заметим, что если G имеет элемент кручения, то каждый CW-комплекс типа K(G,1) должен быть бесконечномерным.

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклана. Одним из них является построение пространства Мура. $M(A,n)$ для абелевой группы $A$: Возьмите набор из n - сфер , по одной для каждого генератора группы A , и реализуйте отношения между этими генераторами, присоединив (n + 1) -клетки с помощью соответствующих отображений в $\pi _{n}(\bigvee S^{n})$ указанной суммы клина. Заметим, что нижние гомотопические группы $\pi _{i<n}(M(A,n))$ уже тривиальны по построению. Теперь итеративно уничтожьте все высшие гомотопические группы. $\pi _{i>n}(M(A,n))$ путем последовательного присоединения ячеек размером больше $n+1$и определить $K(A,n)$ как прямой предел при включении этой итерации.

Другой полезный метод — использовать геометрическую реализацию симплициальных абелевых групп . Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклана.

Другая симплициальная конструкция в терминах классификации пространств и универсальных расслоений приведена в Дж. Питера Мэя . книге

Поскольку взятие пространства петель уменьшает количество гомотопических групп на один слот, мы имеем каноническую гомотопическую эквивалентность $K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)$, следовательно, существует последовательность расслоений

$K(G,n)\to *\to K(G,n+1)$.

Обратите внимание, что это не последовательность корасслоения ― пространство $K(G,n+1)$ не является гомотопическим кослоем $K(G,n)\to *$.

Эту последовательность расслоений можно использовать для изучения когомологий $K(G,n+1)$ от $K(G,n)$ используя спектральную последовательность Лере . Это использовал Жан-Пьер Серр при изучении гомотопических групп сфер с использованием системы Постникова и спектральных последовательностей.

Свойства пространств Эйленберга–Маклейна

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологий

Важное свойство $K(G,n)$Дело в том, что для любой абелевой группы G и любого основанного CW-комплекса X множество $[X,K(G,n)]$ базовых гомотопических классов базовых отображений из X в $K(G,n)$ находится в естественной биекции с n -й когомологий сингулярной группой $H^{n}(X,G)$ пространства X. ​Таким образом, говорят, что $K(G,n)'s$ представляют собой пространства сингулярных когомологий с коэффициентами из G . С

${\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}$

есть отличительный элемент $u\in H^{n}(K(G,n),G)$ соответствующий тождеству. Приведенная выше биекция задается откатом этого элемента $f\mapsto f^{*}u$. Это похоже на лемму Йонеды из теории категорий .

Конструктивное доказательство этой теоремы можно найти здесь: другое использование связи между омега-спектрами и теориями обобщенных приведенных когомологий можно найти здесь и основная идея также намечается позже.

Петлевые пространства/Омега-спектры

Пространство петель пространства Эйленберга – Маклейна снова является пространством Эйленберга – Маклейна: $\Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)$. Далее существует сопряженная связь между пространством петель и приведенной подвеской: $[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]$, что дает $[X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]$ структура абелевой группы, где операцией является объединение петель. Это делает биекцию $[X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)$ упомянутый выше групповой изоморфизм.

Также из этого свойства следует, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными n образуют омега-спектр , называемый «спектром Эйленберга – Маклейна». Этот спектр определяет через $X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]$ приведенная теория когомологий на основе CW-комплексов и для любой приведенной теории когомологий $h^{*}$ на CW-комплексах с $h^{n}(S^{0})=0$ для $n\neq 0$ существует естественный изоморфизм $h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})$, где ${\tilde {H^{*}}}$ обозначает приведенные сингулярные когомологии. Следовательно, эти две теории когомологий совпадают.

В более общем контексте представимость Брауна говорит, что каждая приведенная теория когомологий, основанная на CW-комплексах, исходит из омега-спектра .

Связь с гомологией

Для фиксированной абелевой группы $G$ существуют отображения стабильных гомотопических групп

$\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))$

вызванный картой $\Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)$. Взяв прямой предел по этим отображениям, можно проверить, что это определяет приведенную теорию гомологии.

$h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))$

на комплексах ХО. С $h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))$ исчезает для $q\neq 0$, $h_{*}$ согласуется с приведенной сингулярной гомологией ${\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)$ с коэффициентами из G на CW-комплексах.

Функциональность

для когомологий следует Из теоремы об универсальных коэффициентах , что пространство Эйленберга Маклейна является квазифунктором группы; то есть для каждого положительного целого числа $n$ если $a\colon G\to G'$ — любой гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество

$K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},$

удовлетворяющий $K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),$где $[f]$ обозначает гомотопический класс непрерывного отображения $f$ и $S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.$

Отношения с башней Постникова/Уайтхеда

Каждый связанный CW-комплекс $X$ обладает башней Постникова , то есть обратной системой пространств:

$\cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)$

такой, что для каждого $n$:

1. есть карты проезда $X\to X_{n}$, которые индуцируют изоморфизм на $\pi _{i}$ для $i\leq n$ ,
2. $\pi _{i}(X_{n})=0$ для $i>n$,
3. карты $X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}$ являются расслоениями со волокном $K(\pi _{n}(X),n)$.

Двойственно существует башня Уайтхеда , представляющая собой последовательность CW-комплексов:

$\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X$

такой, что для каждого $n$:

1. карты $X_{n}\to X$ индуцировать изоморфизм на $\pi _{i}$ для $i>n$,
2. $X_{n}$ является n-связным ,
3. карты $X_{n}\to X_{n-1}$ являются расслоениями со волокном $K(\pi _{n}(X),n-1)$

С помощью спектральных последовательностей Серра можно производить вычисления высших гомотопических групп сфер. Например $\pi _{4}(S^{3})$ и $\pi _{5}(S^{3})$ используя башню Уайтхеда $S^{3}$ можно найти здесь, в более общем плане те из $\pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3$ с использованием систем Постникова можно найти здесь.

Когомологические операции

Для фиксированных натуральных чисел m,n и абелевых групп G,H существует биекция между множеством всех операций когомологий $\Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)$ и $H^{n}(K(G,m),H)$ определяется $\Theta \mapsto \Theta (\alpha )$, где $\alpha \in H^{m}(K(G,m),G)$ является фундаментальным классом .

В результате операции когомологий не могут уменьшать степень групп когомологий, а операции когомологии, сохраняющие степень, соответствуютк гомоморфизму коэффициентов $\operatorname {Hom} (G,H)$. Это следует из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий и (m-1) -связности $K(G,m)$.

Некоторыми интересными примерами когомологических операций являются квадраты и степени Стинрода , когда $G=H$ являются конечными циклическими группами . При их изучении важность когомологий $K(\mathbb {Z} /p,n)$ с коэффициентами в $\mathbb {Z} /p$ становится очевидным быстро; некоторые обширные таблицы этих групп можно найти здесь.

Групповые (ко)гомологии

группы G с коэффициентами в группе A можно определить Групповые (ко)гомологии как сингулярные (ко)гомологии пространства Эйленберга-Маклейна. $K(G,1)$ с коэффициентами А.

Дальнейшие применения

Описанная выше конструкция пространства петель используется в теории струн для получения, например, группы струн , группы пятибран и т. д. в виде башни Уайтхеда , возникающей из короткой точной последовательности

$0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0$

с ${\text{String}}(n)$ группа строк и ${\text{Spin}}(n)$ спиновая группа . Актуальность $K(\mathbb {Z} ,2)$ заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности

$K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z}$

для классифицирующего пространства $B\mathbb {Z}$, и тот факт $K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)$. Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы

$0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0$,

Группу струн можно рассматривать как «высшее» комплексное расширение спиновой группы в смысле высшей теории групп , поскольку пространство $K(\mathbb {Z} ,2)$ является примером высшей группы. Можно думать о топологической реализации группоида $\mathbf {B} U(1)$ чей объект — одна точка, а морфизмы — группа $U(1)$. Благодаря этим гомотопическим свойствам конструкция обобщается: любое данное пространство $K(\mathbb {Z} ,n)$ может использоваться для запуска короткой точной последовательности, убивающей гомотопическую группу $\pi _{n+1}$ в топологической группе .

См. также

• Классифицирующее пространство , для случая $n=1$
• Теорема Брауна о представимости относительно пространств представления
• Пространство Мура , аналог гомологии.

Ссылки

Основополагающие статьи

• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1945), «Отношения между гомологиями и гомотопическими группами пространств», Annals of Mathematics , (вторая серия), 46 (3): 480–509, doi : 10.2307/1969165 , JSTOR   1969165 , MR   0013312
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1950). «Отношения между гомологиями и гомотопическими группами пространств. II». Анналы математики . (Вторая серия). 51 (3): 514–533. дои : 10.2307/1969365 . JSTOR   1969365 . МР   0035435 .
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах $H(\Pi ,n)$. III. Операции и препятствия» . Annals of Mathematics . 60 (3): 513–557. : 10.2307 /1969849 . JSTOR   1969849. . MR   0065163 doi

Картанский семинар и приложения

Семинар Картана содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклана, включая их гомологии и когомологии, а также приложения для вычисления гомотопических групп сфер.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ Архивировано 25 апреля 2022 г. в Wayback Machine.

Вычисление колец целочисленных когомологий

• Производные функторы разделенных степенных функторов
• Интегральные когомологии конечных башен Постникова
• (Ко)гомологии пространств Эйленберга–Маклейна K(G,n)

Другие энциклопедические ссылки

• Энциклопедия математики
• Пространство Эйленберга-Мак Лейна в n Lab