Теорема Брауна о представимости

В математике теорема Брауна о представимости в теории гомотопий. ^[1] дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы контравариантный функтор F на гомотопической категории Hotc остроконечных связных комплексов CW , категории множеств Set , был представимым функтором .

Точнее, нам даны

Ф : Хотк ^на → Установить ,

и существуют некоторые очевидно необходимые условия для того, чтобы F имел тип Hom (—, C ), причем C — остроконечный связный CW-комплекс, который можно вывести только из теории категорий . Утверждение содержательной части теоремы состоит в том, что эти необходимые условия тогда являются достаточными. По техническим причинам теорему часто формулируют для функторов категории точечных множеств ; другими словами, множествам также присваивается базовая точка.

Теорема Брауна о представимости комплексов CW

Теорема о представимости комплексов CW, принадлежащая Эдгару Х. Брауну , ^[2] заключается в следующем. Предположим, что:

Функтор F отображает копродукции (т.е. клиновые суммы ) в Hotc на продукты в Set : $F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),$
Функтор F отображает гомотопические выталкивания в Hotc в слабые откаты . Это часто формулируется как аксиома Майера-Вьеториса : для любого комплекса CW W, покрытого двумя подкомплексами U и V , и любых элементов u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ) таких, что u и v ограничиваются одним и тем же элементом из F ( U ∩ V ), существует элемент w ∈ F ( W ), ограничивающий u и v соответственно.

Тогда F представимо некоторым CW-комплексом C , т. е. существует изоморфизм

F ( Z ) ≅ Хом _Хотк ( Z , C )

для любого комплекса CW Z , что естественно в Z , поскольку для любого морфизма из Z в другой комплекс CW Y индуцированные отображения F ( Y ) → F ( Z ) и Hom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C) ) совместимы с этими изоморфизмами.

Верно и обратное утверждение: любой функтор, представленный комплексом CW, удовлетворяет двум вышеуказанным свойствам. Это направление является непосредственным следствием базовой теории категорий, поэтому более глубокая и интересная часть эквивалентности — это другое следствие.

представленный выше объект C Можно показать, что функториально зависит от F : любое естественное преобразование F в другой функтор , удовлетворяющий условиям теоремы, обязательно индуцирует отображение представляющих объектов. Это следствие леммы Йонеды .

Взяв F ( X ) за когомологий сингулярную группу H ^я( X , A ) с коэффициентами в данной абелевой группе A для фиксированного i > 0; тогда представляющим пространством для F является пространство Эйленберга – Маклейна K ( A , i ). Это дает возможность показать существование пространств Эйленберга-Маклейна.

Варианты

Поскольку гомотопическая категория CW-комплексов эквивалентна локализации категории всех топологических пространств в слабых гомотопических эквивалентностях , теорему можно эквивалентно сформулировать для функторов на категории, определенной таким образом.

Однако теорема неверна без ограничения связными точечными пространствами, и аналогичное утверждение для неострых пространств также неверно. ^[3]

Однако аналогичное утверждение справедливо для спектров , а не для комплексов CW. Браун также доказал общую категорическую версию теоремы о представимости: ^[4] который включает в себя как версию для точечно связанных комплексов CW, так и версию для спектров.

Версия теоремы о представимости в случае триангулированных категорий принадлежит Амнону Ниману. ^[5] Вместе с предыдущим замечанием оно дает критерий того, что (ковариантный) функтор F : C → D между триангулированными категориями, удовлетворяющими определенным техническим условиям, имеет правосопряженный функтор . А именно, если C и D — триангулированные категории, где C компактно порождена, а F — триангулированный функтор, коммутирующий с произвольными прямыми суммами, то F — левый сопряженный. Ниман применил это для доказательства теоремы двойственности Гротендика в алгебраической геометрии.

Джейкоб Лурье доказал версию теоремы Брауна о представимости. ^[6] для гомотопической категории точечной квазикатегории с компактным набором образующих, являющихся объектами когруппы в гомотопической категории. Например, это относится к гомотопической категории заостренных связных комплексов CW, а также к неограниченной производной категории абелевой категории Гротендика (ввиду более высокого категорического уточнения производной категории, предложенного Лурье).

Ссылки

^ Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология --- гомотопия и гомология , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 152–157, ISBN 978-3-540-42750-6 , МР 1886843
^ Браун, Эдгар Х. (1962), «Когомологические теории», Анналы математики , вторая серия, 75 : 467–484, doi : 10.2307/1970209 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970209 , MR 0138104
^ Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), «Расщепление гомотопических идемпотентов. II.», Журнал чистой и прикладной алгебры , 89 (1–2): 93–106, doi : 10.1016/0022-4049(93)90088-b
^ Браун, Эдгар Х. (1965), «Абстрактная теория гомотопий» , Труды Американского математического общества , 119 (1): 79–85, doi : 10.2307/1994231
^ Ниман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендика с помощью методов Боусфилда и представимость Брауна» , Журнал Американского математического общества , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , МР 1308405
^ Лурье, Джейкоб (2011), Высшая алгебра (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2011 г.

[1] Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология --- гомотопия и гомология , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 152–157, ISBN 978-3-540-42750-6 , МР 1886843

[2] Браун, Эдгар Х. (1962), «Когомологические теории», Анналы математики , вторая серия, 75 : 467–484, doi : 10.2307/1970209 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970209 , MR 0138104

[3] Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), «Расщепление гомотопических идемпотентов. II.», Журнал чистой и прикладной алгебры , 89 (1–2): 93–106, doi : 10.1016/0022-4049(93)90088-b

[4] Браун, Эдгар Х. (1965), «Абстрактная теория гомотопий» , Труды Американского математического общества , 119 (1): 79–85, doi : 10.2307/1994231

[5] Ниман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендика с помощью методов Боусфилда и представимость Брауна» , Журнал Американского математического общества , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , МР 1308405

[6] Лурье, Джейкоб (2011), Высшая алгебра (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]