Побочный продукт

В теории категорий копроизведение множеств , или категориальная сумма , представляет собой конструкцию, которая включает в себя в качестве примеров и топологических прямую пространств , свободное произведение групп и и сумму модулей несвязное объединение векторных пространств . Копродукт семейства объектов по сути является «наименее конкретным» объектом, по отношению к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это теоретико-категориальное двойственное понятие к категориальному продукту , что означает, что определение такое же, как у продукта, но со всеми стрелками перевернутыми . Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, сопутствующие продукты могут существенно отличаться от продуктов внутри данной категории и обычно существенно отличаются от них.

Определение

Позволять $C$ быть категорией и пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ быть объектами $C.$ Объект называется копроизведением $X_{1}$ и $X_{2},$ написано $X_{1}\sqcup X_{2},$ или $X_{1}\oplus X_{2},$ или иногда просто $X_{1}+X_{2},$ если существуют морфизмы $i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}$ и $i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству : для любого объекта $Y$ и любые морфизмы $f_{1}:X_{1}\to Y$ и $f_{2}:X_{2}\to Y,$ существует единственный морфизм $f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y$ такой, что $f_{1}=f\circ i_{1}$ и $f_{2}=f\circ i_{2}.$ То есть следующая диаграмма коммутирует :

Уникальная стрела $f$ коммутирование этой диаграммы можно обозначить $f_{1}\sqcup f_{2},$ $f_{1}\oplus f_{2},$ $f_{1}+f_{2},$ или $\left[f_{1},f_{2}\right].$ Морфизмы $i_{1}$ и $i_{2}$ называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже мониками .

Определение копродукции можно распространить на произвольное семейство объектов, индексированных набором $J.$ Сопродукт семьи $\left\{X_{j}:j\in J\right\}$ это объект $X$ вместе с набором морфизмов $i_{j}:X_{j}\to X$ такое, что для любого объекта $Y$ и любой набор морфизмов $f_{j}:X_{j}\to Y$ существует единственный морфизм $f:X\to Y$ такой, что $f_{j}=f\circ i_{j}.$ То есть следующая диаграмма коммутирует для каждого $j\in J$ :

Побочный продукт $X$ семьи $\left\{X_{j}\right\}$ часто обозначается $\coprod _{j\in J}X_{j}$ или $\bigoplus _{j\in J}X_{j}.$

Иногда морфизм $f:X\to Y$ может быть обозначен $\coprod _{j\in J}f_{j}$ указать на его зависимость от личности $f_{j}$ с.

Примеры

Копроизведение в категории множеств — это просто несвязное объединение карт i _j, являющихся картами включения . В отличие от прямых произведений , копродукции в других категориях не все очевидно основаны на понятии множеств, потому что объединения не ведут себя хорошо в отношении сохраняющих операций (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому копродукции в разных категории могут существенно отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое свободным произведением , довольно сложное. С другой стороны, в категории абелевых групп (а также для векторных пространств ) копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют только конечное число ненулевых членов. (Поэтому оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа факторов.)

Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. свободное произведение ассоциативных алгебр ).

В случае топологических пространств копродукции представляют собой непересекающиеся объединения со своими топологиями непересекающихся объединений . То есть это непересекающееся объединение лежащих в основе множеств, а открытые множества — это множества, открытые в каждом из пространств в довольно очевидном смысле. В категории точечных пространств , фундаментальной в теории гомотопий , копроизведение представляет собой клиновую сумму (которая представляет собой объединение набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).

Концепция дизъюнктного объединения тайно лежит в основе приведенных выше примеров: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная «почти» дизъюнктным объединением (дизъюнктным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим нулем), аналогично для векторных пространств: пространство натянуто «почти» непересекающимся союзом; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из аналогичного «почти непересекающегося» союза, в котором никаким двум элементам из разных наборов не разрешено коммутировать. Эта закономерность справедлива для любого многообразия в смысле универсальной алгебры .

Копроизведением в категории банаховых пространств с короткими отображениями является $l 1$ Сумма, которую нельзя так легко представить как «почти непересекающуюся» сумму, но которая имеет единичный шар, почти непересекающийся, порожденный единичным шаром, является кофактором. ^[1]

Копродуктом категории ЧУМ является операция соединения .

Обсуждение

Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Сопродукт в категории $C$ может быть определен как копредел любого функтора из дискретной категории $J$ в $C$ . Не каждая семья $\lbrace X_{j}\rbrace$ вообще будет иметь копродукцию, но если да, то копроизведение уникально в строгом смысле: если $i_{j}:X_{j}\rightarrow X$ и $k_{j}:X_{j}\rightarrow Y$ два побочных продукта семейства $\lbrace X_{j}\rbrace$ , то (по определению копроизведений) существует единственный изоморфизм $f:X\rightarrow Y$ такой, что $f\circ i_{j}=k_{j}$ для каждого $j\in J$ .

Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Позволять $\Delta :C\rightarrow C\times C$ быть диагональным функтором , который присваивает каждому объекту $X$ пара заказанная $\left(X,X\right)$ и каждому морфизму $f:X\rightarrow Y$ пара $\left(f,f\right)$ . Тогда копроизведение $X+Y$ в $C$ задается универсальным морфизмом функтора $\Delta$ от объекта $\left(X,Y\right)$ в $C\times C$ .

Копродукт, индексированный пустым набором (то есть пустой копродукт ), совпадает с исходным объектом в $C$ .

Если $J$ представляет собой набор, в котором все копродукции для семейств, индексированных с помощью $J$ существуют, то можно выбрать произведения совместимым образом так, чтобы копроизведение превратилось в функтор $C^{J}\rightarrow C$ . Сопродукт семьи $\lbrace X_{j}\rbrace$ тогда часто обозначается

\coprod _{j\in J}X_{j}

и карты $i_{j}$ известны как естественные инъекции .

Сдача в аренду $\operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)$ обозначим множество всех морфизмов из $U$ к $V$ в $C$ (то есть хом-набор в $C$ ), мы имеем естественный изоморфизм

\operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)

задается биекцией , которая отображает каждый набор морфизмов

(f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)

(произведение в Set , категории множеств , которое является декартовым произведением , поэтому это кортеж морфизмов) на морфизм

\coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).

То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм $f$ является копродукцией кортежа

(f\circ i_{j})_{j\in J}.

То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, обусловливающей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный hom-функтор превращает копродукции в произведения. Другими словами, hom-функтор рассматривается как функтор из противоположной категории. $C^{\operatorname {op} }$ Установить непрерывно ; он сохраняет пределы (копродукт в $C$ это продукт в $C^{\operatorname {op} }$ ).

Если $J$ является конечным множеством , скажем $J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace$ , то копроизведение объектов $X_{1},\ldots ,X_{n}$ часто обозначается $X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}$ . Предположим, что все конечные копроизведения существуют в C , функторы копроизведения выбраны, как указано выше, а 0 обозначает исходный объект C, соответствующий пустому копроизведению. Тогда мы имеем естественные изоморфизмы

X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z

X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X

X\oplus Y\cong Y\oplus X.

Эти свойства формально подобны свойствам коммутативного моноида ; категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Если в категории нет объекта $Z$ , то мы имеем единственный морфизм $X\rightarrow Z$ (с $Z$ терминален ) и, следовательно , морфизм $X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y$ . С $Z$ также является начальным, мы имеем канонический изоморфизм $Z\oplus Y\cong Y$ как в предыдущем пункте. Таким образом, мы имеем морфизмы $X\oplus Y\rightarrow X$ и $X\oplus Y\rightarrow Y$ , с помощью которого мы выводим канонический морфизм $X\oplus Y\rightarrow X\times Y$ . Это можно расширить индукцией до канонического морфизма любого конечного копроизведения в соответствующее произведение. Этот морфизм, вообще говоря, не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм , а в Set _* (категория точечных множеств ) — собственный мономорфизм . В любой преаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как побочное произведение . Категория, все бипродукты которой конечны, называется полуаддитивной категорией .

Если все семейства объектов, индексированные $J$ иметь сопутствующие продукты в $C$ , то копроизведение содержит функтор $C^{J}\rightarrow C$ . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор является ковариантным .

См. также

Ссылки

^ Цяочу Юань (23 июня 2012 г.). «Банаховы пространства (и метрики Ловера, и закрытые категории)» . Раздражающая точность .

Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Збл 0906.18001 .

Внешние ссылки

Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры копродукций в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .

[Ban1Cat-1] Цяочу Юань (23 июня 2012 г.). «Банаховы пространства (и метрики Ловера, и закрытые категории)» . Раздражающая точность .

[1]