Хом-функтор
В математике , особенно в теории категорий , hom-множества (т.е. наборы морфизмов между объектами ) порождают важные функторы категории множеств . Эти функторы называются hom-функторами и имеют многочисленные применения в теории категорий и других разделах математики.
Формальное определение [ править ]
Пусть C — локально малая категория (т. е. категория , для которой hom-классы на самом деле являются множествами , а не собственными классами ).
Для всех объектов A и B в C мы определяем два функтора категории множеств следующим образом:
Hom( A , –) : C → Set Hom(–, B ): C → Set [1] Это ковариантный функтор, определяемый формулой: - Hom( A , –) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( A , X )
- Hom( A , –) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию
- Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ), заданный формулой
- для каждого g в Hom( A , X ).
Это контравариантный функтор, определяемый формулой: - Hom(–, B ) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( X , B )
- Hom(–, B ) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию
- Hom( h , B ): Hom( Y , B ) → Hom( X , B ), заданный формулой
- для каждого g в Hom( Y , B ).
Функтор Hom(–, B ) также называется функтором точек объекта B .
Обратите внимание, что фиксация первого аргумента Hom естественным образом приводит к ковариантному функтору, а фиксация второго аргумента естественным образом дает контравариантный функтор. Это артефакт способа составления морфизмов.
Пара функторов Hom( A , –) и Hom(–, B ) связаны естественным образом . Для любой пары морфизмов f : B → B ′ и h : A ′ → A следующая диаграмма коммутирует :
Оба пути отправляют g : A → B в f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.
Коммутативность приведенной выше диаграммы означает, что Hom(–, –) является бифунктором из C × C в Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Эквивалентно, мы можем сказать, что Hom(–, –) является бифунктором
- Hom(–, –) : C на × C → Установить
где С на является противоположной C. , категорией Обозначение Hom C (–, –) иногда используется для Hom(–, –), чтобы подчеркнуть категорию, образующую домен.
Лемма Йонеды [ править ]
Обращаясь к приведенной выше коммутативной диаграмме, можно заметить, что каждый морфизм
- ч : А ′ → А
вызывает естественную трансформацию
- Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ′, –)
и каждый морфизм
- е : B → B ′
вызывает естественную трансформацию
- Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)
Лемма Йонеды подразумевает, что каждое естественное преобразование между функторами Hom имеет эту форму. Другими словами, функторы Hom приводят к полному и точному вложению категории C в категорию функторов Set С на (ковариантный или контравариантный в зависимости от того, какой функтор Hom используется).
Внутренняя функция Home [ править ]
Некоторые категории могут иметь функтор, который ведет себя как функтор Hom, но принимает значения в самой категории C , а не в Set . Такой функтор называется внутренним функтором Hom и часто записывается как
чтобы подчеркнуть его продуктовый характер, или как
чтобы подчеркнуть его функториальную природу, а иногда и просто в нижнем регистре:
- Примеры см. в разделе Категории отношений .
Категории, обладающие внутренним функтором Hom, называются закрытыми категориями . У одного это есть
- ,
где I — единичный объект закрытой категории. В случае замкнутой моноидальной категории это распространяется на понятие каррирования , а именно, что
где является бифунктором , функтором внутреннего произведения, определяющим моноидальную категорию . Изоморфизм естественен как в X , в Z. так и Другими словами, в замкнутой моноидальной категории внутренний функтор Hom является сопряженным функтором к внутреннему функтору произведения. Объект называется внутренним Hom . Когда это декартово произведение , объект называется экспоненциальным объектом и часто записывается как .
Внутренние хомы, соединенные вместе, образуют язык, называемый внутренним языком категории. Наиболее известными из них являются просто типизированное лямбда-исчисление , которое является внутренним языком декартовых замкнутых категорий , и система линейных типов , которая является внутренним языком замкнутых симметричных моноидальных категорий .
Свойства [ править ]
Заметим, что функтор вида
- Hom(–, A ): C на → Установить
является предпучком ; аналогично Hom( A , –) является копредпучком.
Функтор F : C → Set , естественно изоморфный Hom( A , –) для некоторого A из C, называется представимым функтором (или представимым коппучком); аналогично контравариантный функтор, эквивалентный Hom(–, A ), можно было бы назвать корпредставимым.
Обратите внимание, что Hom(–, –) : C на × C → Set — это профунктор , и, в частности, это тождественный профунктор. .
Внутренний функтор hom сохраняет пределы ; то есть, отправляет лимиты на лимиты, в то время как отправляет лимиты в , то есть копределы в , в пределах. В определенном смысле это можно понимать как определение предела или копредела.
Эндофунктору E Hom( Set , –) : Set → ; придать структуру монады можно эта монада называется монадой среды (или читателя) .
Другая недвижимость [ править ]
Если A — абелева категория и A — объект A , то Hom A ( A , –) — ковариантный левоточный функтор из A в категорию Ab абелевых групп . Оно точно тогда и только тогда, A проективно когда . [2]
Пусть R — и кольцо M — левый R - модуль . Функтор Hom R ( M , –): Mod - R → Ab [ нужны разъяснения ] сопряжено с функтором тензорного произведения – Р М : Аб → Мод - Р .
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Также обычно обозначается C на → Set , где C на обозначает противоположную категорию , и это кодирует поведение Hom(–, B ), обращающее стрелку.
- ^ Джейкобсон (2009), с. 149, п. 3.9.
Ссылки [ править ]
- Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 .
- Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-45026-1 . Архивировано из оригинала 21 марта 2020 г. Проверено 25 ноября 2009 г.
- Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7 .