Jump to content

Хом-функтор

(Перенаправлено с Hom-функтора )

В математике , особенно в теории категорий , hom-множества (т.е. наборы морфизмов между объектами ) порождают важные функторы категории множеств . Эти функторы называются hom-функторами и имеют многочисленные применения в теории категорий и других разделах математики.

Формальное определение [ править ]

Пусть C локально малая категория (т. е. категория , для которой hom-классы на самом деле являются множествами , а не собственными классами ).

Для всех объектов A и B в C мы определяем два функтора категории множеств следующим образом:

Hom( A , –) : C Set Hom(–, B ): C Set [1]
Это ковариантный функтор, определяемый формулой:
  • Hom( A , –) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( A , X )
  • Hom( A , –) отображает каждый морфизм f : X Y в функцию
    Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ), заданный формулой
    для каждого g в Hom( A , X ).
Это контравариантный функтор, определяемый формулой:
  • Hom(–, B ) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( X , B )
  • Hom(–, B ) отображает каждый морфизм h : X Y в функцию
    Hom( h , B ): Hom( Y , B ) → Hom( X , B ), заданный формулой
    для каждого g в Hom( Y , B ).

Функтор Hom(–, B ) также называется функтором точек объекта B .

Обратите внимание, что фиксация первого аргумента Hom естественным образом приводит к ковариантному функтору, а фиксация второго аргумента естественным образом дает контравариантный функтор. Это артефакт способа составления морфизмов.

Пара функторов Hom( A , –) и Hom(–, B ) связаны естественным образом . Для любой пары морфизмов f : B B ′ и h : A ′ → A следующая диаграмма коммутирует :

Оба пути отправляют g : A B в f g h : A ′ → B ′.

Коммутативность приведенной выше диаграммы означает, что Hom(–, –) является бифунктором из C × C в Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Эквивалентно, мы можем сказать, что Hom(–, –) является бифунктором

Hom(–, –) : C на × C Установить

где С на является противоположной C. , категорией Обозначение Hom C (–, –) иногда используется для Hom(–, –), чтобы подчеркнуть категорию, образующую домен.

Лемма Йонеды [ править ]

Обращаясь к приведенной выше коммутативной диаграмме, можно заметить, что каждый морфизм

ч : А ′ → А

вызывает естественную трансформацию

Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ′, –)

и каждый морфизм

е : B B

вызывает естественную трансформацию

Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)

Лемма Йонеды подразумевает, что каждое естественное преобразование между функторами Hom имеет эту форму. Другими словами, функторы Hom приводят к полному и точному вложению категории C в категорию функторов Set С на (ковариантный или контравариантный в зависимости от того, какой функтор Hom используется).

Внутренняя функция Home [ править ]

Некоторые категории могут иметь функтор, который ведет себя как функтор Hom, но принимает значения в самой категории C , а не в Set . Такой функтор называется внутренним функтором Hom и часто записывается как

чтобы подчеркнуть его продуктовый характер, или как

чтобы подчеркнуть его функториальную природу, а иногда и просто в нижнем регистре:

Примеры см. в разделе Категории отношений .

Категории, обладающие внутренним функтором Hom, называются закрытыми категориями . У одного это есть

,

где I единичный объект закрытой категории. В случае замкнутой моноидальной категории это распространяется на понятие каррирования , а именно, что

где является бифунктором , функтором внутреннего произведения, определяющим моноидальную категорию . Изоморфизм естественен как в X , в Z. так и Другими словами, в замкнутой моноидальной категории внутренний функтор Hom является сопряженным функтором к внутреннему функтору произведения. Объект называется внутренним Hom . Когда это декартово произведение , объект называется экспоненциальным объектом и часто записывается как .

Внутренние хомы, соединенные вместе, образуют язык, называемый внутренним языком категории. Наиболее известными из них являются просто типизированное лямбда-исчисление , которое является внутренним языком декартовых замкнутых категорий , и система линейных типов , которая является внутренним языком замкнутых симметричных моноидальных категорий .

Свойства [ править ]

Заметим, что функтор вида

Hom(–, A ): C на Установить

является предпучком ; аналогично Hom( A , –) является копредпучком.

Функтор F : C Set , естественно изоморфный Hom( A , –) для некоторого A из C, называется представимым функтором (или представимым коппучком); аналогично контравариантный функтор, эквивалентный Hom(–, A ), можно было бы назвать корпредставимым.

Обратите внимание, что Hom(–, –) : C на × C Set — это профунктор , и, в частности, это тождественный профунктор. .

Внутренний функтор hom сохраняет пределы ; то есть, отправляет лимиты на лимиты, в то время как отправляет лимиты в , то есть копределы в , в пределах. В определенном смысле это можно понимать как определение предела или копредела.

Эндофунктору E Hom( Set , –) : Set ; придать структуру монады можно эта монада называется монадой среды (или читателя) .

Другая недвижимость [ править ]

Если A абелева категория и A — объект A , то Hom A ( A , –) — ковариантный левоточный функтор из A в категорию Ab абелевых групп . Оно точно тогда и только тогда, A проективно когда . [2]

Пусть R — и кольцо M левый R - модуль . Функтор Hom R ( M , –): Mod - R Ab [ нужны разъяснения ] сопряжено с функтором тензорного произведения Р М : Аб Мод - Р .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Также обычно обозначается C на Set , где C на обозначает противоположную категорию , и это кодирует поведение Hom(–, B ), обращающее стрелку.
  2. ^ Джейкобсон (2009), с. 149, п. 3.9.

Ссылки [ править ]

  • Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика (второе изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
  • Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-45026-1 . Архивировано из оригинала 21 марта 2020 г. Проверено 25 ноября 2009 г.
  • Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47187-7 .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 15600a7f6d8692615a0f1cbedca2fdb0__1709568360
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/15/b0/15600a7f6d8692615a0f1cbedca2fdb0.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hom functor - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)