Когомологическая операция

В математике концепция операции когомологии стала центральной в алгебраической топологии , особенно в теории гомотопий , начиная с 1950-х годов, в форме простого определения, что если F является функтором , определяющим теорию когомологий , то операция когомологии должна быть естественным преобразованием из Ф себе. Во всем этом было два основных момента:

1. операции можно изучать комбинаторными методами; и
2. Результатом этих операций является появление интересной теории бикоммутантов .

Истоком этих исследований послужили работы Понтрягина, Постникова и Нормана Стинрода , которые впервые определили операции квадрата Понтрягина , квадрата Постникова и квадрата Стинрода для сингулярных когомологий в случае коэффициентов по модулю 2. Комбинаторный аспект здесь возникает как формулировка отказа естественного диагонального отображения на уровне коцепи . Общая теория алгебры операций Стинрода была поставлена ​​в тесную связь с теорией симметрической группы .

В спектральной последовательности Адамса бикоммутантный аспект неявно проявляется в использовании функторов Ext , производных функторов Hom-функторов; если и существует бикоммутантный аспект, принятый к действующей алгебре Стинрода, то только на производном уровне. Сходимость идет к группам стабильной теории гомотопий , информацию о которых трудно найти. Эта связь обусловила глубокий интерес к когомологическим операциям в теории гомотопий и с тех пор является темой исследований. Экстраординарная теория когомологий имеет свои собственные когомологические операции, которые могут иметь более богатый набор ограничений.

Формальное определение

Когомологическая операция $\theta$ типа

$(n,q,\pi ,G)\,$

является естественным преобразованием функторов

$\theta :H^{n}(-,\pi )\to H^{q}(-,G)\,$

определены на комплексах CW .

Связь с пространствами

Когомологии комплексов CW представимы пространством Эйленберга – Маклейна , поэтому по лемме Йонеды операция когомологии типа $(n,q,\pi ,G)$ задается гомотопическим классом отображений $K(\pi ,n)\to K(G,q)$. Используя еще раз представимость , операция когомологий задается элементом $H^{q}(K(\pi ,n),G)$.

Символически позволяя $[A,B]$ обозначим множество гомотопических классов отображений из $A$ к $B$,

${\begin{aligned}\displaystyle \mathrm {Nat} (H^{n}(-,\pi ),H^{q}(-,G))&=\mathrm {Nat} ([-,K(\pi ,n)],[-,K(G,q)])\\&=[K(\pi ,n),K(G,q)]\\&=H^{q}(K(\pi ,n);G).\end{aligned}}$

См. также

• Операция вторичных когомологий

Ссылки

• Мошер, Роберт Э.; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-46664-4 , МР   0226634
• Стинрод, Н. Э. (1962), Эпштейн, DBA (редактор), Когомологические операции , Анналы математических исследований, том. 50, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-07924-0 , МР   0145525