Симметричное произведение (топология)

В алгебраической n топологии ^й симметричное произведение топологического пространства состоит из неупорядоченных n -кортежей его элементов. Если зафиксировать базовую точку , существует канонический способ встраивания симметричных произведений более низкой размерности в продукты более высокой размерности. Таким образом, можно рассмотреть копредел симметричных произведений, бесконечное симметричное произведение. Эту конструкцию легко расширить до гомотопического функтора.

С алгебраической точки зрения бесконечное симметричное произведение представляет собой свободный коммутативный моноид, порожденный пространством минус базовая точка, причем базовая точка дает единичный элемент. Таким образом, его можно рассматривать как абелеву версию приведенного произведения Джеймса .

Одним из его существенных приложений является теорема Дольда-Тома , утверждающая, что гомотопические группы бесконечного симметричного произведения связного комплекса CW такие же, как и приведенные группы гомологии этого комплекса. Таким образом, можно дать гомотопическое определение гомологии .

Определение

Пусть X — топологическое пространство и n ≥ 1 — натуральное число. Определите n ^й симметричное произведение X или n -кратное симметричное произведение X как пространство

$\operatorname {SP} ^{n}(X)=X^{n}/S_{n}.$

Здесь симметрическая группа Sn _{действует} на X ^н путем перестановки факторов. Следовательно, элементы SP ^н ( X — неупорядоченные n -кортежи элементов X. ) Напишите [ x ₁ , ..., x _n ] для точки в SP. ^н ( X ) определяется формулой ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ X ^н .

Обратите внимание, что можно определить n ^й симметричный продукт в любой категории , где существуют продукты и копределы . А именно, тогда существует канонический изоморфизм φ : X × Y → Y × X для любых объектов X и Y и можно определить действие транспозиции $(k\ k+1)\in S_{n}$ на Х ^н как $\operatorname {Id} ^{k-1}\times \phi \times \operatorname {Id} ^{n-k-1}$ тем самым индуцируя действие всего Sn _, на X ^н . Это означает, что можно рассматривать симметричные произведения объектов, такие как симплициальные множества и . Более того, если категория является декартово замкнутой , то имеет место дистрибутивный закон X × ( Y ∐ Z ) ≅ X × Y ∐ X × Z , и, следовательно, можно получить

$\operatorname {SP} ^{n}(X\amalg Y)=\coprod _{k=0}^{n}\operatorname {SP} ^{k}(X)\times \operatorname {SP} ^{n-k}(Y).$

Если ( X , e ) является базовым пространством, обычно устанавливают SP ⁰ ( Икс ) знак равно { е }. Далее, Х ^н затем может быть встроен в X ^{п +1} отправив ( x ₁ , ..., x _n ) в ( x ₁ , ..., x _n , e ). Это явно приводит к встраиванию SP ^н ( X ) в SP ^{п +1} ( ИКС ). Следовательно, бесконечное симметричное произведение можно определить как

$\operatorname {SP} (X)=\operatorname {colim} \operatorname {SP} ^{n}(X).$

Определение, избегающее теоретико-категорных понятий, можно дать, взяв SP( X ) за объединение возрастающей последовательности пространств SP. ^н ( X ) оснащен топологией прямого предела . Это означает, что подмножество SP( X ) открыто тогда и только тогда, когда все его пересечения с SP ^н ( X ) открыты. Мы определяем базовую точку SP( X ) как [ e ]. Таким образом, SP( X ) также становится базируемым пространством.

Это определение можно также обобщить на указанные категории , в которых существуют произведения и копределы. А именно, в этом случае имеется каноническое отображение X ^н → Х ^{п +1} , индуцированный тождеством X ^н → Х ^н и нулевое отображение X ^н → Х. ​ Таким образом, это также приводит к прямой системе симметричных произведений, и поэтому ее копредел можно определить как бесконечное симметричное произведение.

Примеры

• СП ^н ( I ) совпадает с n -мерным стандартным симплексом ∆ ^н , где I обозначает единичный интервал.
• СП ^н ( С ¹ пространством классов сопряженности унитарных ) можно отождествить с n × n -матриц , где S ¹ должен быть круг. Это связано с тем, что такой класс однозначно определяется собственными значениями элемента класса, лежащими в S. ¹ . На первый взгляд легко увидеть, что это пространство гомотопически эквивалентно S ¹ : Как СП ^н является гомотопическим функтором (см. Свойства ), рассматриваемое пространство гомотопически эквивалентно SP ^н ( С − {0}). Рассмотрим отображение SP ^н ( C − {0}) → P _n в пространство P _n многочленов над C степени не выше n , отображая [ w ₁ , ..., w _n ] в ( z - w ₁ ) ⋅⋅ ⋅ ( z - ш _н ). Таким образом, можно идентифицировать SP. ^н ( C − {0}) с пространством приведенных многочленов степени n, имеющим постоянный член, отличный от нуля, т.е. C ^{п - 1} × ( C − {0}), что гомотопически эквивалентно S ¹ . Отсюда следует, что бесконечное симметричное произведение SP( S ¹ ) гомотопически эквивалентен S ¹ также. Однако о космической СП известно значительно больше. ^н ( С ¹ ). А именно, что карта
  ${\begin{aligned}\qquad \operatorname {SP} ^{n}(S^{1})&\to S^{1},\\{\color {white}.}[w_{1},\dots ,w_{n}]&\mapsto w_{1}\cdots w_{n}\end{aligned}}$
  — расслоение , слой которого гомеоморфен ( n − 1)-мерному стандартному симплексу ∆ ^{п -1} . Оно ориентируемо тогда и только тогда, когда n нечетно.
• СП( С ² ) гомеоморфно бесконечномерному комплексному проективному пространству CP ^∞ следующим образом: Пространство CP ^н можно отождествить с пространством ненулевых полиномов степени не выше n над C отправив 0 _{с точностью до скалярного умножения ,} + ... + a _n z ^н к линии, проходящей через ( a ₀ , ..., an _n ). Интерпретация S ² поскольку сфера Римана C ∪ {∞} дает отображение
  ${\begin{aligned}\qquad f\colon (S^{2})^{n}&\to \mathbf {CP} ^{n},\\(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto (z+a_{1})\cdots (z+a_{n}),\end{aligned}}$
  где возможные множители z + ∞ опущены. Можно проверить, что это отображение действительно непрерывно. Поскольку f ( a ₁ , ..., ) _an остается неизменным при перестановке a i _, f индуцирует непрерывную биекцию SP ^н (С ² ) → КП ^н . Но поскольку оба являются хаусдорфовыми пространствами , это отображение является гомеоморфизмом . Устремление n к бесконечности показывает, что утверждение верно.

Хотя вычисление SP( S ^н ) при n ≥ 3 оказывается весьма затруднительным, все же можно описать SP ² ( С ^н ) вполне так же, как конус отображения отображения Σ ^н РП ^n-1 → С ^н , где Σ ^н означает применение уменьшенной подвески n раз и RP ^{п -1} — это ( n − 1)-мерное реальное проективное пространство : можно рассматривать SP ² ( С ^н ) как определенное частное от D ^н × Д ^н определив S ^н с Д ^н /∂ D ^н . Интерпретация D ^н × Д ^н как конус на своей границе D ^н × ∂ D ^н ∪ ∂ D ^н × Д ^н , идентификации для SP ² уважайте концентрические копии границы. Следовательно, достаточно рассмотреть только их. Отождествления на границе ∂ D ^н × Д ^н ∪ Д ^н × ∂ D ^н из D ^н × Д ^н сам по себе дает S ^н . Это понятно, поскольку это частное от D ^н × ∂ D ^н и поскольку ∂ D ^н свернуто в одну точку в S ^н . Отождествления на других концентрических копиях границы дают фактор-пространство Z группы D ^н × ∂ D ^н , полученный путем отождествления ( x , y ) с ( y , x ) всякий раз, когда обе координаты лежат в ∂ D ^н . Определить отображение f : D ^н × РП ^{п -1} → Z , отправив пару ( x , L ) в ( w , z ). Здесь z ∈ ∂ D ^н и w ∈ D ^н выбираются на линии, проходящей через x, параллельной L, так, что x является их серединой. Если x является серединой отрезка zz' , невозможно отличить z от w , но это не проблема, поскольку принимает значения в факторпространстве Z. f Следовательно, f корректно определен. Поскольку f ( x , L ) = f ( x , L′ ) имеет место для каждого x ∈ ∂ D ^н , f множит через Σ ^н РП ^{п -1} и, как легко видеть, является гомеоморфизмом в этой области.

Свойства

Структура H-пространства

Поскольку SP( X ) является свободным коммутативным моноидом, порожденным X − { e } с единичным элементом e , его можно рассматривать как коммутативный аналог приведенного произведения Джеймса J ( X ). Это означает, что SP( X ) — это фактор J ( X ), полученный путем идентификации точек, которые отличаются только перестановкой координат. Следовательно, структура H-пространства на J ( X ) индуцирует структуру на SP( X ), если X является комплексом CW, что делает его коммутативным и ассоциативным H-пространством со строгой идентичностью. Таким образом, из теоремы Долда-Тома следует, что все ее k -инварианты равны нулю, а это означает, что оно имеет слабый гомотопический тип обобщенного пространства Эйленберга-Маклейна, если X линейно связно. Однако, если X — произвольное пространство, умножение на SP( X ) может не быть непрерывным.

Функциональность

СП ^н является гомотопическим функтором: отображение f : X → Y , очевидно, индуцирует отображение SP ^н ( ж ) : СП ^н ( Икс ) → СП ^н ( Y ), заданный SP ^н ( ж )[ Икс ₁ , ..., Икс _п ] знак равно [ ж ( Икс ₁ ), ..., ж ( Икс _п )]. Гомотопия между двумя отображениями f , g : X → Y дает гомотопию между SP ^н ( f ) и SP ^н ( г ). Также легко видеть, что диаграмма

коммутирует, а это означает, что SP является функтором также . Точно так же SP является даже гомотопическим функтором в категории точечных пространств и гомотопических классов отображений, сохраняющих базовую точку. В частности, из X ≃ Y следует SP ^н ( Икс ) ≃ СП ^н ( Y ), но, как правило, не SP( X ) ≃ SP( Y ), поскольку на гомотопическую эквивалентность может повлиять требование, чтобы отображения и гомотопии сохраняли базовую точку. Однако это не тот случай, если требуется, чтобы X и Y были соединены комплексами CW.

Симплициальная и CW-структура

SP( X ) наследует определенные структуры X : для симплициального комплекса X можно также установить симплициальную структуру на X ^н такая, что каждая n -перестановка является либо тождеством на симплексе, либо гомеоморфизмом одного симплекса в другой. Это означает, что на SP получается симплициальная структура. ^н ( ИКС ). Кроме того, СП ^н ( X ) также является подсимплексом SP ^{п +1} ( X ), если базовая точка e ∈ X является вершиной, а это означает, что SP( X ) наследует симплициальную структуру и в этом случае. Однако следует отметить, что X ^н и СП ^н ( X ) не обязательно должны иметь слабую топологию, если X имеет несчетное количество симплексов. Аналогичное утверждение можно сделать, если X — комплекс CW. ) все еще возможно снабдить Тем не менее, SP( X структурой CW-комплекса так, чтобы обе топологии имели одинаковые компакты, если X — произвольный симплициальный комплекс. Таким образом, различие между двумя топологиями не приведет к каким-либо различиям с точки зрения гомотопии, например

Гомотопия

Одним из основных применений бесконечных симметричных произведений является теорема Долда-Тома. В нем утверждается, что приведенные группы гомологий совпадают с гомотопическими группами бесконечного симметричного произведения связного комплекса CW. Это позволяет переформулировать гомологии только с использованием гомотопии, что может быть очень полезно в алгебраической геометрии . Это также означает, что функтор SP отображает пространства Мура M ( G , n ) в пространства Эйленберга-Маклейна K ( G , n ). Следовательно, это дает естественный способ построить последние пространства, учитывая собственные пространства Мура.

Также было изучено, как другие конструкции в сочетании с бесконечным симметричным произведением влияют на гомотопические группы. Например, было показано, что карта

$\rho \colon \operatorname {SP} (X)\to \Omega \operatorname {SP} (\Sigma X),\quad \rho [x_{1},\dots ,x_{n}](t)=[(x_{1},t),\dots ,(x_{n},t)]$

является слабой гомотопической эквивалентностью, где Σ X = X ∧ S ¹ обозначает приведенную подвеску, а Ω Y обозначает пространство петель точечного пространства Y .

Гомология

Неудивительно, что группы гомологии симметричного произведения не могут быть описаны так же легко, как гомотопические группы. Тем не менее известно, что группы гомологии симметричного произведения комплекса CW определяются группами гомологии комплекса. Точнее, если X и Y — комплексы CW, а R — область главных идеалов такая, что H _i ( X , R ) ≅ H _i ( Y , R ) для всех i ⩽ k , то H _i (SP ^н ( Икс ), р ) ≅ ЧАС _я (SP ^н ( Y ), R ) также верно для всех i ≤ k . Это можно обобщить на Γ-произведения, определенные в следующем разделе.

для симплициального множества K Кроме того,

$H_{*}(\operatorname {SP} ^{n+1}(K))\cong H_{*}(\operatorname {SP} ^{n+1}(K),\operatorname {SP} ^{n}(K))\oplus H_{*}(\operatorname {SP} ^{n}(K)).$

Переходя к геометрическим реализациям , видим, что это утверждение справедливо и для связных комплексов CW. Кроме того, индукция дает

$H_{*}(\operatorname {SP} (K))\cong \bigoplus _{n=1}^{\infty }H_{*}(\operatorname {SP} ^{n}(K),\operatorname {SP} ^{n-1}(K)).$

Сопутствующие конструкции и обобщения

С. Ляо ввел несколько более общую версию симметричных произведений, названную Γ-произведениями для подгруппы Γ симметрической Sn _группы . Операция была такой же, и поэтому он определил X ^С = Х ^н /Γ как Γ-произведение X . Это позволило ему изучить циклические произведения , причем особый случай, когда Γ является циклической группой также .

При установлении теоремы Дольда-Тома они также рассматривали «факторгруппу» Z [ X ] группы SP( X ). Это свободная абелева группа над X с базовой точкой в ​​качестве нулевого элемента. Если X — комплекс CW, это даже топологическая группа . Чтобы снабдить эту группу топологией, Дольд и Том первоначально ввели ее как следующий фактор по бесконечному симметричному произведению клиновой суммы X с его копией: Пусть τ : X ∨ X → X ∨ X меняет местами слагаемые. Кроме того, пусть ~ будет отношением эквивалентности на SP( X ∨ X ), порожденным

$x\sim x+y+\operatorname {SP} (\tau )(y)$

для x , y ∈ SP( X ∨ X ). Тогда можно определить Z [ X ] как

$\mathbb {Z} [X]=\operatorname {SP} (X\vee X)/\sim .$

Поскольку ~ совместимо со сложением в SP( X ∨ X ), получается ассоциативное и коммутативное сложение на Z [ X ]. Имеются также топологические включения X ⊂ SP( X ) ⊂ Z [ X ] и легко видеть, что эта конструкция имеет свойства, аналогичные свойствам SP, например, быть функтором.

МакКорд дал конструкцию, обобщающую SP( X ) и Z [ X ]: пусть G — моноид с единичным элементом 1 и пусть ( X , e ) — точечное множество. Определять

$B(G,X)=\{u\colon X\to G:u(e)=1{\text{ and }}u(x)=1{\text{ for all but finitely many }}x\in X\}.$

Тогда B ( G , X ) снова является моноидом при поточечном умножении, которое будем обозначать ⋅. Пусть gx обозначает элемент B ( G , X ), принимающий значение g в точке x и равный 1 в другом месте для g ∈ G , x ∈ X − { e }. Более того, ge будет обозначать функцию, всюду равную 1, единицу B ( G , X ).

Чтобы установить топологию на B ( G , X ), нужно потребовать, чтобы X было компактно порождено и чтобы G был абелевым топологическим моноидом . Определите B _n ( G , X ) как подмножество B ( G , X ), состоящее из всех карт, которые отличаются от постоянной функции 1 не более чем в n точках. B _n ( G , X ) получает окончательную топологию карты.

${\begin{aligned}\mu _{n}\colon (G\times X)^{n}&\to B_{n}(G,X),\\((g_{1},x_{1}),\dots ,(g_{n},x_{n}))&\mapsto g_{1}x_{1}\cdots g_{n}x_{n}.\end{aligned}}$

Теперь B _n ( G , X ) является замкнутым подмножеством B _n+1 ( G , X ). Тогда B ( G , X ) можно снабдить топологией прямого предела, что снова сделает его компактно порожденным пространством. Затем можно отождествить SP( X ) соответственно Z [ X ] с B ( N , X ) соответственно B ( Z , X ).

Более того, B (⋅,⋅) функториален в том смысле, что B : C × D → C является бифунктором, поскольку C — категория абелевых топологических моноидов, а D — категория точечных CW-комплексов. Здесь отображение B (φ, f ): B ( G , X ) → B ( H , Y ) для морфизма φ: G → H абелевых топологических моноидов и непрерывного отображения f : X → Y определяется как

$B(\varphi ,f)(g_{1}x_{1}\cdots g_{n}x_{n})=(\varphi g_{1})(fx_{1})\cdots (\varphi g_{n})(fx_{n})$

для всех g _i ∈ G и x _i ∈ X . Как и в предыдущих случаях, видно, что базовая гомотопия f _t : X → Y индуцирует гомотопию B (Id, f _t ) : B ( G , X ) → B ( G , Y ) для абелева топологического моноида G .

Используя эту конструкцию, можно обобщить теорему Дольда-Тома. А именно, для дискретного модуля M над коммутативным кольцом с единицей имеем

$[X,B(M,Y)]\cong \prod _{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}^{n}(X,{\tilde {H}}_{n}(Y,M))$

для базовых пространств X и Y , имеющих гомотопический тип комплекса CW. Здесь H̃ _n обозначает приведенные гомологии, а [ X , Z ] обозначает множество всех базовых гомотопических классов отображений X → Z , сохраняющих базовую точку . Поскольку M — модуль, [ X , B ( M , Y )] имеет очевидную групповую структуру. Вставка X = S ^н и M = Z дает теорему Дольда-Тома для Z [ X ].

Примечательно также, что B ( G , S ¹ ) является классифицирующим пространством для G , если G является топологической группой такой, что включение {1} → G является корасслоением .

Ссылки

• Агилар, Марсело; Гитлер, Самуэль; Прието, Карлос (2008). Алгебраическая топология с гомотопической точки зрения . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-22489-3 .
• Дольд, Альбрехт (1958), «Гомологии симметричных произведений и других функторов комплексов», Анналы математики : 54–80.
• Дольд, Альбрехт; Том, Рене (1958), «Квазирасслоения и бесконечные симметричные произведения», Annals of Mathematics , Second Series, 67 (2): 239–281, doi : 10.2307/1970005 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970005 , MR   0097062
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-79540-1 .
• Ляо, С.Д. (1954), «О топологии циклических произведений сфер», Труды Американского математического общества , 77 (3): 520–551.
• МакКорд, Майкл К. (1969), «Классификация пространств и бесконечных симметричных произведений», Труды Американского математического общества , 146 : 273–298.
• Пиччинини, Ренцо А. (1992). Лекции по теории гомотопии . Эльзевир. ISBN  9780080872827 .
• Спаниер, Эдвин (1959), «Бесконечные симметричные произведения, функциональные пространства и двойственность», Анналы математики : 142–198.

Внешние ссылки

• Симметричный товар в произвольных категориях? на MathOverflow