Компактно сгенерированная группа

В математике компактно порожденная (топологическая) группа — это топологическая группа G , которая алгебраически порождается одним из своих компактных подмножеств. Это не следует путать с несвязанным с ним понятием (широко используемым в алгебраической топологии ) компактно порожденного пространства которого , топология порождается (в подходящем смысле) своими компактными подпространствами.

Определение

Топологическая группа G называется компактно порожденной, если существует такое компактное подмножество K группы G, что

$\langle K\rangle =\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(K\cup K^{-1})^{n}=G.$

Итак, если K симметричен, т.е. K = K ⁻¹ , затем

$G=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }K^{n}.$

Локально компактный случай

Это свойство интересно в случае локально компактных топологических групп, поскольку локально компактные компактно порожденные топологические группы могут быть аппроксимированы локально компактными сепарабельными метрическими фактор-группами группы G . Точнее, для последовательности

И _н

открытых единичных окрестностей, существует нормальная подгруппа N, содержащаяся в пересечении этой последовательности, такая, что

Г / Н

является локально компактной метрической сепарабельной ( теорема Какутани-Кодайры-Монтгомери-Циппина ).