Jump to content

Теория категорий

(Перенаправлено из Теории категорий )
Схематическое изображение категории с объектами X , Y , Z и морфизмами f , g , g f . (Три тождественных морфизма категории 1 X , 1 Y и 1 Z , если они представлены явно, будут выглядеть как три стрелки, ведущие от букв X , Y и Z к себе соответственно.)

Теория категорий — это общая теория математических структур и их отношений. Она была введена Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в середине 20-го века в их основополагающей работе по алгебраической топологии . [1] Теория категорий используется практически во всех областях математики. В частности, многие конструкции новых математических объектов из предыдущих, которые появляются одинаково в нескольких контекстах, удобно выражаются и унифицированы в терминах категорий. Примеры включают факторпространства, прямые произведения , пополнение и двойственность .

Многие области информатики также полагаются на теорию категорий, например функциональное программирование и семантика .

Категория источником формируется двумя видами объектов : объектами категории и морфизмами , которые связывают два объекта, называемые и целью морфизма . Метафорически морфизм — это стрелка, которая отображает источник в цель. Морфизмы могут быть составлены, если цель первого морфизма равна источнику второго. Композиция морфизмов имеет те же свойства, что и композиция функций ( ассоциативность и наличие тождественных морфизмов для каждого объекта). Морфизмы могут быть своего рода функцией . Например, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами моноида.

фундаментальным понятием теории категорий является понятие функтора , который играет роль морфизма между двумя категориями C2 и : он морфизмы отображает объекты C1 Вторым в объекты C2 C2 и морфизмы C1 C1 в . 2 таким образом, что источники отображаются на источники, а цели отображаются на цели (или, в случае контравариантного функтора , источники отображаются на цели и наоборот ). Третья фундаментальная концепция — это естественное преобразование , которое можно рассматривать как морфизм функторов.

Категории, объекты и морфизмы

[ редактировать ]

Категории

[ редактировать ]

Категория состоит из C следующих трех математических объектов:

  • Класс ; ob( C элементы которого называются объектами ) ,
  • Класс hom( C ), элементы которого называются морфизмами , картами или стрелками .
    Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b .
    Выражение f : a b можно было бы выразить устно как « f — это морфизм от a до b ».
    Выражение hom( a , b ) – альтернативно выраженное как hom C ( a , b ) , mor( a , b ) или C ( a , b ) – обозначает hom-класс всех морфизмов от a до b .
  • Бинарная операция ∘, называемая композицией морфизмов , такая, что
    для любых трех объектов a , b и c мы имеем
∘: hom( б , c ) × hom( а , б ) → hom( а , c ) .
Композиция f : a b и g : b c записывается как g f или gf , [а] регулируется двумя аксиомами:
1. Ассоциативность : если f : a b , g : b c и h : c d , то
час ∘ ( г ж ) знак равно ( час г ) ∘ ж
2. Идентичность : для каждого объекта x существует морфизм 1 x : x x (также обозначаемый как id x ), называемый тождественным морфизмом для x ,
такой, что
для каждого морфизма f : a b имеем
1 б ж знак равно ж = ж ∘ 1 а
Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм .

Морфизмы

[ редактировать ]

Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» представляют морфизмы.

Морфизмы могут обладать любым из следующих свойств. Морфизм f : a b — это a:

  • мономорфизм (или моник ), если f g 1 = f g 2, влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : x a .
  • эпиморфизм (или эпический ), если g 1 f = g 2 f, влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : b x .
  • биморфизм, если f одновременно эпический и монический.
  • изоморфизм , если существует морфизм g : b a такой, что f g = 1 b и g f = 1 a . [б]
  • эндоморфизм , если a = b . end( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
  • автоморфизм , если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. aut( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
  • ретракция , если существует правая инверсия f , т. е. если существует морфизм g : b a с f g = 1 b .
  • раздел, если существует левый обратный элемент f , т.е. если существует морфизм g : b a с g f = 1 a .

Всякая ретракция является эпиморфизмом, а каждое сечение — мономорфизмом. Кроме того, следующие три утверждения эквивалентны:

  • f — мономорфизм и ретракция;
  • f — эпиморфизм и сечение;
  • f — изоморфизм.

Функторы

[ редактировать ]

Функторы — это сохраняющие структуру отображения между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.

( ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , обозначаемый F : C D , состоит из:

  • для каждого объекта x в C — объект F ( x ) в D ; и
  • для каждого морфизма f : x y в C , морфизма F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) в D ,

такие, что выполняются следующие два свойства:

  • Для каждого объекта x в C ; F (1 x = 1 F ( x ) )
  • Для всех морфизмов f : x y и g : y z , F ( g f ) знак равно F ( g ) ∘ F ( f ) .

Контравариантный . функтор F : C D подобен ковариантному функтору, за исключением того, что он «переворачивает морфизмы» («переворачивает все стрелки») Более конкретно, каждому морфизму f : x y в C должен быть сопоставлен морфизм F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из противоположной категории C на к Д.

Естественные преобразования

[ редактировать ]

Естественное преобразование — это отношение между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «один и тот же» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.

Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η X : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для каждого морфизма f : X Y в C имеем η Y F ( f ) = G ( f ) ∘ η X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :

Коммутативная диаграмма, определяющая естественные преобразования
Commutative diagram defining natural transformations

Два функтора F и G называются естественно изоморфными , если существует естественное преобразование F в G такое, что η X является изоморфизмом для каждого объекта X в C .

Другие концепции

[ редактировать ]

Универсальные конструкции, пределы и копределы

[ редактировать ]

Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают наборы, группы и топологии.

Каждая категория отличается свойствами, общими для всех ее объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории объекты считаются атомарными, т. е. мы не знаем, ли объект А является множество, топология или любое другое абстрактное понятие. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не обращаясь к внутренней структуре этих объектов. Чтобы определить пустое множество, не обращаясь к элементам, или топологию произведения, не обращаясь к открытым множествам, можно охарактеризовать эти объекты с точки зрения их отношений с другими объектами, заданными морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти универсальные свойства , однозначно определяющие интересующие объекты.

Многочисленные важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным способом, если предел категории может быть развит и дуализирован для получения понятия копредела .

Эквивалентные категории

[ редактировать ]

Естественный вопрос: при каких условиях две категории могут считаться по существу одинаковыми в том смысле, что теоремы об одной категории легко трансформируются в теоремы о другой категории? Основной инструмент, используемый для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категорическая эквивалентность нашла многочисленные применения в математике.

Дальнейшие концепции и результаты

[ редактировать ]

Определения категорий и функторов дают лишь самые основы категориальной алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существует тесная взаимосвязь, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.

  • Категория функтора D С имеет в качестве объектов функторы из C в D , а в качестве морфизмов — естественные преобразования таких функторов. — Лемма Йонеды один из самых известных основных результатов теории категорий; он описывает представимые функторы в категориях функторов.
  • Двойственность : каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственное утверждение , которое по сути получается путем «переворачивания всех стрелок». Если одно утверждение верно в категории C , то его двойственное утверждение верно и в двойственной категории C. на . Эта двойственность, очевидная на уровне теории категорий, часто неясна в приложениях и может привести к удивительным взаимоотношениям.
  • Сопряженные функторы : Функтор может быть сопряжен слева (или справа) с другим функтором, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает в результате конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.

Категории более высокого измерения

[ редактировать ]

Многие из вышеперечисленных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженных пар функторов и категорий функторов, могут быть помещены в контекст категорий более высокой размерности . Короче говоря, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высокой размерности позволяют нам выгодно обобщить это, рассматривая «процессы более высокой размерности».

Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. е. процессами, позволяющими преобразовать один морфизм в другой. Затем мы можем «составить» эти «биморфизмы» как по горизонтали, так и по вертикали, и нам требуется, чтобы выполнялся двумерный «закон обмена», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов являются просто естественными преобразованиями морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример — рассмотреть 2-категорию с одним объектом; по сути, это моноидальные категории . Бикатегории — это более слабое понятие двумерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.

Этот процесс можно распространить на все натуральные числа n , и они называются n -категориями . Существует даже понятие ω-категории, соответствующей порядковому номеру ω .

Категории более высокой размерности являются частью более широкой математической области многомерной алгебры — концепции, введенной Рональдом Брауном . Дискуссионное введение в эти идеи см. в John Baez, «A Tale of n -categories» (1996).

Исторические заметки

[ редактировать ]

Прежде всего следует заметить, что все понятие категории по существу является вспомогательным; наши основные понятия — это, по существу, понятия функтора и естественного преобразования [...]

Хотя конкретные примеры функторов и естественных преобразований были приведены Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в статье 1942 года по теории групп , [3] эти понятия были введены в более общем смысле вместе с дополнительным понятием категорий в статье тех же авторов 1945 года. [2] (который обсуждал приложения теории категорий в области алгебраической топологии ). [4] Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре . Позже Эйленберг и Мак Лейн писали, что их целью было понять естественные преобразования, которые сначала требовали определения функторов, а затем категорий.

Станислав Улам и некоторые, писавшие от его имени, утверждали, что подобные идеи были распространены в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. [ нужна ссылка ] Теория категорий также в некотором смысле является продолжением работы Эмми Нётер (одной из учительниц Маклейна) по формализации абстрактных процессов; [5] Нётер осознала, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, сохраняющих эту структуру ( гомоморфизмов ). [ нужна ссылка ] Эйленберг и Мак Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связывают топологические структуры с алгебраическими структурами ( топологическими инвариантами ), которые их характеризуют.

Теория категорий была первоначально введена для нужд гомологической алгебры и широко распространена для нужд современной алгебраической геометрии ( теории схем ). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры , поскольку последняя изучает алгебраические структуры , а первая применима к любому виду математической структуры , а также изучает отношения между структурами различной природы. По этой причине он используется во всей математике. Приложения к математической логике и семантике ( категориальная абстрактная машина ) появились позже.

Некоторые категории, называемые топосами (единственные топосы ), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств как основе математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти основополагающие приложения теории категорий были достаточно подробно разработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория топоса — это форма абстрактной теории пучков , имеющая геометрическое происхождение и приводящая к таким идеям, как бессмысленная топология .

Категориальная логика теперь является четко определенной областью, основанной на теории типов для интуиционистских логик , с приложениями в функциональном программировании и теории предметных областей , где декартова замкнутая категория рассматривается как несинтаксическое описание лямбда -исчисления . По крайней мере, теоретико-категорный язык проясняет, что именно общего между этими связанными областями (в некотором абстрактном смысле).

Теория категорий применялась и в других областях, см. Прикладную теорию категорий . Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. [6] Другое применение теории категорий, точнее теории топоса, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу «Топос музыки, геометрическая логика концепций, теории и исполнения» Гуэрино Маццола .

Более поздние попытки познакомить студентов с категориями как основой для математики включают усилия Уильяма Ловера и Роузбру (2003), а также Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Некоторые авторы сочиняют в обратном порядке, записывая fg или f g вместо g f . Ученые-компьютерщики, использующие теорию категорий, очень часто пишут f ; г вместо г ж
  2. ^ Морфизм, который является одновременно эпическим и моническим, не обязательно является изоморфизмом. Элементарный контрпример: в категории, состоящей из двух объектов A и B , тождественных морфизмов и одного морфизма f из A в B , f является одновременно эпическим и моническим, но не является изоморфизмом.
  1. ^ Маркиз, Жан-Пьер (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Теория категорий» , Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осенью 2023 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 23 апреля 2024 г.
  2. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Эйленберг, Сэмюэл; Мак Лейн, Сондерс (1945). «Общая теория естественных эквивалентностей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 58 : 247. doi : 10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6 . ISSN   0002-9947 . Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
  3. ^ Эйленберг, С.; Мак Лейн, С. (1942). «Расширения групп и гомологии» . Анналы математики . 43 (4): 757–831. дои : 10.2307/1968966 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1968966 – через JSTOR .
  4. ^ Маркиз, Жан-Пьер (2019). «Теория категорий» . Стэнфордская энциклопедия философии . Кафедра философии Стэнфордского университета . Проверено 26 сентября 2022 г.
  5. ^ Рек, Эрих (2020). Предыстория математического структурализма (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 215–219. ISBN  9780190641221 .
  6. ^ Баэз, Дж.К.; Останься, М. (2010). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень». Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том. 813. стр. 95–172. arXiv : 0903.0340 . дои : 10.1007/978-3-642-12821-9_2 . ISBN  978-3-642-12820-2 . S2CID   115169297 .

Источники

[ редактировать ]

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Спрингер. ISBN  978-1-4020-9384-5 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6b9ad4140c42b8be31e9c18cf4e76aa4__1721827800
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6b/a4/6b9ad4140c42b8be31e9c18cf4e76aa4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Category theory - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)