Теория категорий
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Ноябрь 2009 г. ) |
Теория категорий — это общая теория математических структур и их отношений. Она была введена Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в середине 20-го века в их основополагающей работе по алгебраической топологии . [1] Теория категорий используется практически во всех областях математики. В частности, многие конструкции новых математических объектов из предыдущих, которые появляются одинаково в нескольких контекстах, удобно выражаются и унифицированы в терминах категорий. Примеры включают факторпространства, прямые произведения , пополнение и двойственность .
Многие области информатики также полагаются на теорию категорий, например функциональное программирование и семантика .
Категория источником формируется двумя видами объектов : объектами категории и морфизмами , которые связывают два объекта, называемые и целью морфизма . Метафорически морфизм — это стрелка, которая отображает источник в цель. Морфизмы могут быть составлены, если цель первого морфизма равна источнику второго. Композиция морфизмов имеет те же свойства, что и композиция функций ( ассоциативность и наличие тождественных морфизмов для каждого объекта). Морфизмы могут быть своего рода функцией . Например, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами моноида.
фундаментальным понятием теории категорий является понятие функтора , который играет роль морфизма между двумя категориями C2 и : он морфизмы отображает объекты C1 Вторым в объекты C2 C2 и морфизмы C1 C1 в . 2 таким образом, что источники отображаются на источники, а цели отображаются на цели (или, в случае контравариантного функтора , источники отображаются на цели и наоборот ). Третья фундаментальная концепция — это естественное преобразование , которое можно рассматривать как морфизм функторов.
Категории, объекты и морфизмы
[ редактировать ]Категории
[ редактировать ]Категория состоит из C следующих трех математических объектов:
- Класс ; ob( C элементы которого называются объектами ) ,
- Класс hom( C ), элементы которого называются морфизмами , картами или стрелками .
Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b .
Выражение f : a → b можно было бы выразить устно как « f — это морфизм от a до b ».
Выражение hom( a , b ) – альтернативно выраженное как hom C ( a , b ) , mor( a , b ) или C ( a , b ) – обозначает hom-класс всех морфизмов от a до b . - Бинарная операция ∘, называемая композицией морфизмов , такая, что
для любых трех объектов a , b и c мы имеем
- ∘: hom( б , c ) × hom( а , б ) → hom( а , c ) .
- Композиция f : a → b и g : b → c записывается как g ∘ f или gf , [а] регулируется двумя аксиомами:
- 1. Ассоциативность : если f : a → b , g : b → c и h : c → d , то
- час ∘ ( г ∘ ж ) знак равно ( час ∘ г ) ∘ ж
- 2. Идентичность : для каждого объекта x существует морфизм 1 x : x → x (также обозначаемый как id x ), называемый тождественным морфизмом для x ,
такой, что- для каждого морфизма f : a → b имеем
- 1 б ∘ ж знак равно ж = ж ∘ 1 а
- Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм .
- 1. Ассоциативность : если f : a → b , g : b → c и h : c → d , то
Морфизмы
[ редактировать ]Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» представляют морфизмы.
Морфизмы могут обладать любым из следующих свойств. Морфизм f : a → b — это a:
- мономорфизм (или моник ), если f ∘ g 1 = f ∘ g 2, влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : x → a .
- эпиморфизм (или эпический ), если g 1 ∘ f = g 2 ∘ f, влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : b → x .
- биморфизм, если f одновременно эпический и монический.
- изоморфизм , если существует морфизм g : b → a такой, что f ∘ g = 1 b и g ∘ f = 1 a . [б]
- эндоморфизм , если a = b . end( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
- автоморфизм , если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. aut( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
- ретракция , если существует правая инверсия f , т. е. если существует морфизм g : b → a с f ∘ g = 1 b .
- раздел, если существует левый обратный элемент f , т.е. если существует морфизм g : b → a с g ∘ f = 1 a .
Всякая ретракция является эпиморфизмом, а каждое сечение — мономорфизмом. Кроме того, следующие три утверждения эквивалентны:
- f — мономорфизм и ретракция;
- f — эпиморфизм и сечение;
- f — изоморфизм.
Функторы
[ редактировать ]Функторы — это сохраняющие структуру отображения между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.
( ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , обозначаемый F : C → D , состоит из:
- для каждого объекта x в C — объект F ( x ) в D ; и
- для каждого морфизма f : x → y в C , морфизма F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) в D ,
такие, что выполняются следующие два свойства:
- Для каждого объекта x в C ; F (1 x = 1 F ( x ) )
- Для всех морфизмов f : x → y и g : y → z , F ( g ∘ f ) знак равно F ( g ) ∘ F ( f ) .
Контравариантный . функтор F : C → D подобен ковариантному функтору, за исключением того, что он «переворачивает морфизмы» («переворачивает все стрелки») Более конкретно, каждому морфизму f : x → y в C должен быть сопоставлен морфизм F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из противоположной категории C на к Д.
Естественные преобразования
[ редактировать ]Естественное преобразование — это отношение между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «один и тот же» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.
Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η X : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для каждого морфизма f : X → Y в C имеем η Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :
Два функтора F и G называются естественно изоморфными , если существует естественное преобразование F в G такое, что η X является изоморфизмом для каждого объекта X в C .
Другие концепции
[ редактировать ]Универсальные конструкции, пределы и копределы
[ редактировать ]Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают наборы, группы и топологии.
Каждая категория отличается свойствами, общими для всех ее объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории объекты считаются атомарными, т. е. мы не знаем, ли объект А является множество, топология или любое другое абстрактное понятие. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не обращаясь к внутренней структуре этих объектов. Чтобы определить пустое множество, не обращаясь к элементам, или топологию произведения, не обращаясь к открытым множествам, можно охарактеризовать эти объекты с точки зрения их отношений с другими объектами, заданными морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти универсальные свойства , однозначно определяющие интересующие объекты.
Многочисленные важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным способом, если предел категории может быть развит и дуализирован для получения понятия копредела .
Эквивалентные категории
[ редактировать ]Естественный вопрос: при каких условиях две категории могут считаться по существу одинаковыми в том смысле, что теоремы об одной категории легко трансформируются в теоремы о другой категории? Основной инструмент, используемый для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категорическая эквивалентность нашла многочисленные применения в математике.
Дальнейшие концепции и результаты
[ редактировать ]Определения категорий и функторов дают лишь самые основы категориальной алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существует тесная взаимосвязь, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.
- Категория функтора D С имеет в качестве объектов функторы из C в D , а в качестве морфизмов — естественные преобразования таких функторов. — Лемма Йонеды один из самых известных основных результатов теории категорий; он описывает представимые функторы в категориях функторов.
- Двойственность : каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственное утверждение , которое по сути получается путем «переворачивания всех стрелок». Если одно утверждение верно в категории C , то его двойственное утверждение верно и в двойственной категории C. на . Эта двойственность, очевидная на уровне теории категорий, часто неясна в приложениях и может привести к удивительным взаимоотношениям.
- Сопряженные функторы : Функтор может быть сопряжен слева (или справа) с другим функтором, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает в результате конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.
Категории более высокого измерения
[ редактировать ]Многие из вышеперечисленных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженных пар функторов и категорий функторов, могут быть помещены в контекст категорий более высокой размерности . Короче говоря, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высокой размерности позволяют нам выгодно обобщить это, рассматривая «процессы более высокой размерности».
Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. е. процессами, позволяющими преобразовать один морфизм в другой. Затем мы можем «составить» эти «биморфизмы» как по горизонтали, так и по вертикали, и нам требуется, чтобы выполнялся двумерный «закон обмена», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов являются просто естественными преобразованиями морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример — рассмотреть 2-категорию с одним объектом; по сути, это моноидальные категории . Бикатегории — это более слабое понятие двумерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.
Этот процесс можно распространить на все натуральные числа n , и они называются n -категориями . Существует даже понятие ω-категории, соответствующей порядковому номеру ω .
Категории более высокой размерности являются частью более широкой математической области многомерной алгебры — концепции, введенной Рональдом Брауном . Дискуссионное введение в эти идеи см. в John Baez, «A Tale of n -categories» (1996).
Исторические заметки
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( Ноябрь 2015 г. ) |
Прежде всего следует заметить, что все понятие категории по существу является вспомогательным; наши основные понятия — это, по существу, понятия функтора и естественного преобразования [...]
Хотя конкретные примеры функторов и естественных преобразований были приведены Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в статье 1942 года по теории групп , [3] эти понятия были введены в более общем смысле вместе с дополнительным понятием категорий в статье тех же авторов 1945 года. [2] (который обсуждал приложения теории категорий в области алгебраической топологии ). [4] Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре . Позже Эйленберг и Мак Лейн писали, что их целью было понять естественные преобразования, которые сначала требовали определения функторов, а затем категорий.
Станислав Улам и некоторые, писавшие от его имени, утверждали, что подобные идеи были распространены в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. [ нужна ссылка ] Теория категорий также в некотором смысле является продолжением работы Эмми Нётер (одной из учительниц Маклейна) по формализации абстрактных процессов; [5] Нётер осознала, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, сохраняющих эту структуру ( гомоморфизмов ). [ нужна ссылка ] Эйленберг и Мак Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связывают топологические структуры с алгебраическими структурами ( топологическими инвариантами ), которые их характеризуют.
Теория категорий была первоначально введена для нужд гомологической алгебры и широко распространена для нужд современной алгебраической геометрии ( теории схем ). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры , поскольку последняя изучает алгебраические структуры , а первая применима к любому виду математической структуры , а также изучает отношения между структурами различной природы. По этой причине он используется во всей математике. Приложения к математической логике и семантике ( категориальная абстрактная машина ) появились позже.
Некоторые категории, называемые топосами (единственные топосы ), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств как основе математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти основополагающие приложения теории категорий были достаточно подробно разработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория топоса — это форма абстрактной теории пучков , имеющая геометрическое происхождение и приводящая к таким идеям, как бессмысленная топология .
Категориальная логика теперь является четко определенной областью, основанной на теории типов для интуиционистских логик , с приложениями в функциональном программировании и теории предметных областей , где декартова замкнутая категория рассматривается как несинтаксическое описание лямбда -исчисления . По крайней мере, теоретико-категорный язык проясняет, что именно общего между этими связанными областями (в некотором абстрактном смысле).
Теория категорий применялась и в других областях, см. Прикладную теорию категорий . Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. [6] Другое применение теории категорий, точнее теории топоса, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу «Топос музыки, геометрическая логика концепций, теории и исполнения» Гуэрино Маццола .
Более поздние попытки познакомить студентов с категориями как основой для математики включают усилия Уильяма Ловера и Роузбру (2003), а также Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).
См. также
[ редактировать ]- Теория предметной области
- Расширенная теория категорий
- Глоссарий теории категорий
- Теория групп
- Теория высших категорий
- Многомерная алгебра
- Важные публикации по теории категорий
- Лямбда-исчисление
- Очерк теории категорий
- Хронология теории категорий и связанной с ней математики
- Прикладная теория категорий
Примечания
[ редактировать ]- ^ Некоторые авторы сочиняют в обратном порядке, записывая fg или f ∘ g вместо g ∘ f . Ученые-компьютерщики, использующие теорию категорий, очень часто пишут f ; г вместо г ∘ ж
- ^ Морфизм, который является одновременно эпическим и моническим, не обязательно является изоморфизмом. Элементарный контрпример: в категории, состоящей из двух объектов A и B , тождественных морфизмов и одного морфизма f из A в B , f является одновременно эпическим и моническим, но не является изоморфизмом.
Ссылки
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ Маркиз, Жан-Пьер (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Теория категорий» , Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осенью 2023 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 23 апреля 2024 г.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Эйленберг, Сэмюэл; Мак Лейн, Сондерс (1945). «Общая теория естественных эквивалентностей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 58 : 247. doi : 10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6 . ISSN 0002-9947 . Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
- ^ Эйленберг, С.; Мак Лейн, С. (1942). «Расширения групп и гомологии» . Анналы математики . 43 (4): 757–831. дои : 10.2307/1968966 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968966 – через JSTOR .
- ^ Маркиз, Жан-Пьер (2019). «Теория категорий» . Стэнфордская энциклопедия философии . Кафедра философии Стэнфордского университета . Проверено 26 сентября 2022 г.
- ^ Рек, Эрих (2020). Предыстория математического структурализма (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 215–219. ISBN 9780190641221 .
- ^ Баэз, Дж.К.; Останься, М. (2010). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень». Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том. 813. стр. 95–172. arXiv : 0903.0340 . дои : 10.1007/978-3-642-12821-9_2 . ISBN 978-3-642-12820-2 . S2CID 115169297 .
Источники
[ редактировать ]- Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст ; Стретчер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории . Хельдерманн Верлаг Берлин.
- Аводи, Стив (2010). Теория категорий . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199237180 .
- Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2012) [1995], Теория категорий для информатики , Переиздания по теории и приложениям категорий, том. 22 (3-е изд.) .
- Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории , Переиздания по теории и применению категорий, том. 12, МР 2178101 .
- Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. стр. 50–52. ISBN 9780521441780 .
- Фрейд, Питер Дж. (2003) [1964]. Абелевы категории . Переиздания по теории и приложениям категорий. Том. 3.
- Фрейд, Питер Дж .; Щедров, Андре (1990). Категории, аллегории . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 39. Северная Голландия. ISBN 978-0-08-088701-2 .
- Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топосы: Категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики. Том. 94. Дувр. ISBN 978-0-486-45026-1 .
- Замечательно, Хорст ; Стретчер, Джордж Э. (2007). Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг Берлин. ISBN 978-3-88538-001-6 . .
- Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки . Основные принципы математических наук. Том 332. Спрингер. ISBN 978-3-540-27949-5 .
- Ловер, Ф. Уильям ; Роузбру, Роберт (2003). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01060-3 .
- Ловер, Ф. Уильям; Шануэль, Стивен Хоэл (2009) [1997]. Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89485-2 .
- Ленстер, Том [на немецком языке] (2004). Высшие операды, высшие категории . Лондонская математика. Серия лекций для общества. Том. 298. Издательство Кембриджского университета . п. 448. Бибкод : 2004hohc.book.....L . ISBN 978-0-521-53215-0 . Архивировано из оригинала 25 октября 2003 г. Проверено 3 апреля 2006 г.
- Ленстер, Том [на немецком языке] (2014). Базовая теория категорий . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 143. Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241 .
- Лурье, Джейкоб (2009). Теория высшего топоса . Анналы математических исследований. Том. 170. Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0 . МР 2522659 .
- Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-98403-2 . МР 1712872 .
- Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (2-е изд.). Челси. ISBN 978-0-8218-1646-2 .
- Мартини, А.; Эриг, Х.; Нуньес, Д. (1996). «Элементы базовой теории категорий» . Технический отчет . 96 (5).
- Маццола, Гуэрино (2002). Топос музыки, геометрическая логика понятий, теории и исполнения . Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-5731-3 .
- Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83414-8 . Збл 1034.18001 .
- Пирс, Бенджамин К. (1991). Базовая теория категорий для специалистов по информатике . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-66071-6 .
- Шалк, А.; Симмонс, Х. (2005). Введение в теорию категорий в четырех простых движениях (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2017 г. Проверено 3 декабря 2007 г. Примечания к курсу, предлагаемому в рамках программы магистратуры. Степень доктора математической логики , Манчестерский университет .
- Симмонс, Гарольд (2011), Введение в теорию категорий , ISBN 978-0521283045 .
- Симпсон, Карлос (2010). Гомотопическая теория высших категорий . arXiv : 1001.4071 . Бибкод : 2010arXiv1001.4071S . , черновик книги.
- Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 59. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63107-5 .
- Тури, Даниэле (1996–2001). «Конспекты лекций по теории категорий» (PDF) . Проверено 11 декабря 2009 г. На основе Mac Lane 1998 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Спрингер. ISBN 978-1-4020-9384-5 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Теория и применение категорий , электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, с 1995 г.
- Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, финансируется в 1957 году.
- nLab — вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
- Кафе n-Category , по сути, коллоквиум по темам теории категорий.
- Теория категорий , веб-страница со ссылками на конспекты лекций и свободно доступные книги по теории категорий.
- Хиллман, Крис (2001), «Категорический учебник» , CiteSeerX 10.1.1.24.3264 , формальное введение в теорию категорий.
- Адамек, Дж.; Херрлих, Х.; Стекер, Г. «Абстрактные и конкретные категории — радость кошек» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2006 г.
- «Теория категорий» Статья Жана-Пьера Маркиза в Стэнфордской энциклопедии философии с обширной библиографией.
- Список научных конференций по теории категорий
- Баэз, Джон (1996). «Сказка о n -категориях» . — Неофициальное введение в категории более высокого порядка.
- WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
- на Канал котиков YouTube , канал о теории категорий.
- Теория категорий в PlanetMath ..
- Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
- Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.
- Теория категорий для наук , инструкция по теории категорий как инструменту в науках.
- Теория категорий для программистов Книга в форме блога, объясняющая теорию категорий для программистов.
- Введение в теорию категорий.