Окончательная топология

В общей топологии и смежных областях математики окончательная топология (или коиндуцированный , сильный , копредел или индуктивный топология) на множестве $X,$ относительно семейства функций из топологических пространств в $X,$ это лучшая топология на $X$ это делает все эти функции непрерывными .

Фактортопология в факторпространстве является окончательной топологией относительно одной сюръективной функции, а именно фактор-отображения. Топология непересекающегося объединения является окончательной топологией по отношению к картам включения . Финальная топология — это также топология, которой каждый прямой предел в категории топологических пространств наделен , и именно в контексте прямых пределов часто возникает финальная топология. Топология когерентна с некоторым набором подпространств тогда и только тогда, когда она является конечной топологией, индуцированной естественными включениями.

Двойственное понятие — это исходная топология , которая для данного семейства функций из множества $X$ на топологические пространства — это самая грубая топология на $X$ что делает эти функции непрерывными.

Определение

Учитывая набор $X$ и $I$-индексированное семейство топологических пространств $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ со связанными функциями $$f_{i}:Y_{i}\to X,$$ окончательная топология на $X$ индуцированное семейством функций ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ это лучшая топология $\tau _{\mathcal {F}}$ на $X$ такой, что $$f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$$

является непрерывным для каждого $i\in I$.

Явно окончательную топологию можно описать следующим образом:

подмножество $U$ из $X$ открыт в окончательной топологии $\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ (то есть, $U\in \tau _{\mathcal {F}}$) тогда и только тогда, когда $f_{i}^{-1}(U)$ открыт в $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ для каждого $i\in I$.

Замкнутые подмножества имеют аналогичную характеристику:

подмножество $C$ из $X$ замкнут в окончательной топологии $\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ тогда и только тогда, когда $f_{i}^{-1}(C)$ закрыт в $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ для каждого $i\in I$.

Семья ${\mathcal {F}}$ функций, которая индуцирует окончательную топологию на $X$ обычно представляет собой набор функций. Но ту же самую конструкцию можно выполнить, если ${\mathcal {F}}$ является собственным классом функций, и результат до сих пор четко определен в теории множеств Цермело – Френкеля . В этом случае всегда существует подсемейство ${\mathcal {G}}$ из ${\mathcal {F}}$ с ${\mathcal {G}}$ набор, такой, что окончательные топологии на $X$ вызванный ${\mathcal {F}}$ и по ${\mathcal {G}}$ совпадают. Подробнее об этом см., например, обсуждение здесь. Например, широко используемый вариант понятия компактно порожденного пространства определяется как окончательная топология относительно надлежащего класса функций.

Примеры

Важный частный случай, когда семейство карт ${\mathcal {F}}$ состоит из одной сюръективной карты, может быть полностью охарактеризована с помощью понятия факторкарты . Сюръективная функция $f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)$ между топологическими пространствами является фактор-отображением тогда и только тогда, когда топология $\tau$ на $X$ совпадает с окончательной топологией $\tau _{\mathcal {F}}$ вызванный семьей ${\mathcal {F}}=\{f\}$. В частности: фактор-топология — это конечная топология фактор-пространства, индуцированная фактор-отображением .

Окончательная топология множества $X$ вызванный семьей $X$-значные карты можно рассматривать как далеко идущее обобщение фактортопологии, где можно использовать несколько карт вместо одной и где эти карты не обязательно должны быть сюръекциями.

Учитывая топологические пространства $X_{i}$, топология непересекающегося объединения на непересекающемся объединении $\coprod _{i}X_{i}$ — окончательная топология дизъюнктного объединения, индуцированного естественными инъекциями.

Учитывая семейство топологий $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ на фиксированном наборе $X,$ окончательная топология на $X$ относительно карт идентичности $\operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X$ как $i$ колеблется в пределах $I,$ позвони это $\tau ,$ является нижней границей (или пересечением) этих топологий $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ в решетке топологий на $X.$ То есть окончательная топология $\tau$ равно пересечению ${\textstyle \tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.}$

Учитывая топологическое пространство $(X,\tau )$ и семья ${\mathcal {C}}=\{C_{i}:i\in I\}$ подмножеств $X$ каждый из которых имеет топологию подпространства , окончательная топология $\tau _{\mathcal {C}}$ индуцированные всеми отображениями включения $C_{i}$ в $X$ тоньше (или равна ) исходной топологии $\tau$ на $X.$ Пространство $X$ называется согласованным с семьей ${\mathcal {C}}$ подпространств, если окончательная топология $\tau _{\mathcal {C}}$ совпадает с исходной топологией $\tau .$ В этом случае подмножество $U\subseteq X$ будет открыт в $X$ именно тогда, когда перекресток $U\cap C_{i}$ открыт в $C_{i}$ для каждого $i\in I.$ (Подробнее об этом понятии и дополнительных примерах см . статью о когерентной топологии .) В качестве частного случая одно из понятий компактно порожденного пространства можно охарактеризовать как определенную когерентную топологию.

Прямой предел любой прямой системы пространств и непрерывных отображений является теоретико-множественным прямым пределом вместе с конечной топологией, определяемой каноническими морфизмами. В явном виде это означает, что если $\operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)$ является прямой системой в категории Top топологических пространств и если $\left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)$ является прямым пределом $\operatorname {Sys} _{Y}$ в категории Набор всех наборов , затем наделив $X$ с окончательной топологией $\tau _{\mathcal {F}}$ вызванный ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},$ $\left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)$ становится прямым пределом $\operatorname {Sys} _{Y}$ в категории Топ .

Этальное пространство пучка топологизируется финальной топологией.

Первое счетное пространство Хаусдорфа. $(X,\tau )$ локально связен по путям тогда и только тогда, когда $\tau$ равна окончательной топологии на $X$ индуцированный набором $C\left([0,1];X\right)$ всех непрерывных карт $[0,1]\to (X,\tau ),$ где любая такая карта называется путем в $(X,\tau ).$

Если хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство $(X,\tau )$ является пространством Фреше-Урысона, тогда $\tau$ равна окончательной топологии на $X$ индуцированный набором $\operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)$ всех дуг в $(X,\tau ),$ которые по определению являются непрерывными путями $[0,1]\to (X,\tau )$ которые также являются топологическими вложениями .

Характеристики

Характеристика с помощью непрерывных карт

Данные функции $f_{i}:Y_{i}\to X,$ из топологических пространств $Y_{i}$ на съемочную площадку $X$, окончательная топология на $X$ относительно этих функций $f_{i}$ удовлетворяет следующему свойству:

функция $g$ от $X$ в какое-то пространство $Z$ непрерывно тогда и только тогда, когда $g\circ f_{i}$ является непрерывным для каждого $i\in I.$

Characteristic property of the final topology

Это свойство характеризует итоговую топологию в том смысле, что если топология на $X$ удовлетворяет указанному выше свойству для всех пространств $Z$ и все функции $g:X\to Z$, то топология на $X$ является окончательной топологией относительно $f_{i}.$

Поведение в композиции

Предполагать ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}$ это семейство карт, и для каждого $i\in I,$ топология $\upsilon _{i}$ на $Y_{i}$ — окончательная топология, индуцированная некоторым семейством ${\mathcal {G}}_{i}$ карт стоимостью в $Y_{i}$. Тогда окончательная топология на $X$ вызванный ${\mathcal {F}}$ равна окончательной топологии на $X$ вызванные картами $\left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.$

Как следствие: если $\tau _{\mathcal {F}}$ это окончательная топология на $X$ вызванный семьей ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ и если $\pi :X\to (S,\sigma )$ любое сюръективное отображение, имеющее значения в некотором топологическом пространстве $(S,\sigma ),$ затем $\pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )$ является фактор-отображением тогда и только тогда, когда $(S,\sigma )$ имеет окончательную топологию, индуцированную отображениями $\left\{\pi \circ f_{i}~:~i\in I\right\}.$

Благодаря универсальному свойству топологии непересекающегося объединения мы знаем, что для любого семейства непрерывных отображений $f_{i}:Y_{i}\to X,$ существует уникальная непрерывная карта $$f:\coprod _{i}Y_{i}\to X$$ который совместим с естественными инъекциями. Если семейство карт $f_{i}$ обложки $X$ (т.е. каждый $x\in X$ лежит в образе какого-то $f_{i}$) затем карта $f$ будет фактор-отображением тогда и только тогда, когда $X$ имеет окончательную топологию, индуцированную отображениями $f_{i}.$

Эффекты изменения семейства карт

Всюду пусть ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ быть семьей $X$-значные карты, каждая из которых имеет вид $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X$ и пусть $\tau _{\mathcal {F}}$ обозначим окончательную топологию на $X$ вызванный ${\mathcal {F}}.$ Определение окончательной топологии гарантирует, что для каждого индекса $i,$ карта $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ является непрерывным .

Для любого подмножества ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},$ окончательная топология $\tau _{\mathcal {S}}$ на $X$ будет тоньше ( и, возможно, равна) топологии $\tau _{\mathcal {F}}$; то есть, ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}$ подразумевает $\tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},$ где установленное равенство может иметь место, даже если ${\mathcal {S}}$ является правильным подмножеством ${\mathcal {F}}.$

Если $\tau$ есть ли топология на $X$ такой, что $\tau \neq \tau _{\mathcal {F}}$ и $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )$ непрерывен для каждого индекса $i\in I,$ затем $\tau$ должно быть строго грубее, чем $\tau _{\mathcal {F}}$ (имеется в виду, что $\tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}$ и $\tau \neq \tau _{\mathcal {F}};$ это будет написано $\tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}$) и более того, для любого подмножества ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}$ топология $\tau$ также будет строго грубее окончательной топологии $\tau _{\mathcal {S}}$ что ${\mathcal {S}}$ вызывает $X$ (потому что $\tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}}$); то есть, $\tau \subsetneq \tau _{\mathcal {S}}.$

Предположим, что, кроме того, ${\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}$ это $A$-индексированное семейство $X$-значные карты $g_{a}:Z_{a}\to X$ чьи области определения являются топологическими пространствами $\left(Z_{a},\zeta _{a}\right).$ Если каждый $g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ является непрерывным, то добавляем эти карты в семейство ${\mathcal {F}}$ изменит не окончательную топологию на $X;$ то есть, $\tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.$ Явно это означает, что окончательная топология на $X$ вызванный «большой семьей» ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ равно окончательной топологии $\tau _{\mathcal {F}}$ вызванный исходной семьей ${\mathcal {F}}=\left\{f_{i}:i\in I\right\}.$ Однако если бы вместо этого существовала хотя бы одна карта $g_{a_{0}}$ такой, что $g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ была не непрерывной, то окончательная топология $\tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ на $X$ вызванный «большой семьей» ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ обязательно будет строго грубее, чем окончательная топология $\tau _{\mathcal {F}}$ вызванный ${\mathcal {F}};$ то есть, $\tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}\subsetneq \tau _{\mathcal {F}}$ (см. эту сноску для пояснения).

Окончательная топология прямого предела конечномерных евклидовых пространств

Позволять $$\mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},$$ обозначим пространство конечных последовательностей , где $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ обозначает пространство всех действительных последовательностей . Для каждого натурального числа $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $\mathbb {R} ^{n}$ обозначим обычное евклидово пространство, наделенное евклидовой топологией , и пусть $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }$ обозначим карту включения, определяемую формулой $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$ так что изображение его $$\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}$$ и, следовательно, $$\mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$$

Подарите набор $\mathbb {R} ^{\infty }$ с окончательной топологией $\tau ^{\infty }$ вызванный семьей ${\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}$ всех карт включения. При такой топологии $\mathbb {R} ^{\infty }$ становится полным Хаусдорфовым локально выпуклым секвенциальным топологическим векторным пространством являющимся , не пространством Фреше –Урысона . Топология $\tau ^{\infty }$ чем строго тоньше, топология подпространства, индуцированная на $\mathbb {R} ^{\infty }$ к $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ где $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ имеет свою обычную топологию продукта . Добавьте изображение $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ с финальной топологией, индуцированной на ней биекцией $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);$ то есть он наделен евклидовой топологией, перенесенной в него из $\mathbb {R} ^{n}$ с помощью $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.$ Эта топология на $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ равна топологии подпространства, индуцированной на нем формулой $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).$ Подмножество $S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }$ открыт (соответственно закрыт) в $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ тогда и только тогда, когда для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ набор $S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ является открытым (соответственно закрытым) подмножеством $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$ Топология $\tau ^{\infty }$ когерентно с семейством подпространств $\mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.$ Это делает $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ в LB-пространство . Следовательно, если $v\in \mathbb {R} ^{\infty }$ и $v_{\bullet }$ представляет собой последовательность в $\mathbb {R} ^{\infty }$ затем $v_{\bullet }\to v$ в $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $n\in \mathbb {N}$ такой, что оба $v$ и $v_{\bullet }$ содержатся в $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ и $v_{\bullet }\to v$ в $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$

Часто для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ карта включения $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}$ используется для идентификации $\mathbb {R} ^{n}$ со своим изображением $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ в $\mathbb {R} ^{\infty };$ явно, элементы $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ идентифицируются вместе. Под этой идентификацией $\left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ становится прямым пределом прямой системы $\left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ где для каждого $m\leq n,$ карта $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ представляет собой карту включения, определяемую формулой $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),$ где есть $n-m$ конечные нули.

Категориальное описание

На языке теории категорий окончательную конструкцию топологии можно описать следующим образом. Позволять $Y$ быть функтором из дискретной категории $J$ к категории топологических пространств Top , выделяющей пространства $Y_{i}$ для $i\in J.$ Позволять $\Delta$ — диагональный функтор из Top в категорию функторов Top ^Дж (этот функтор отправляет каждое пространство $X$ к постоянному функтору $X$). Категория запятой $(Y\,\downarrow \,\Delta )$ тогда является категорией коконусов из $Y,$ то есть объекты в $(Y\,\downarrow \,\Delta )$ пары $(X,f)$ где $f=(f_{i}:Y_{i}\to X)_{i\in J}$ представляет собой семейство непрерывных отображений $X.$ Если $U$ - это функтор забывчивости от Top до Set , а Δ' - диагональный функтор от Set до Set. ^Дж затем категория запятой $\left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)$ — категория всех коконусов из $UY.$ Окончательную конструкцию топологии можно тогда описать как функтор из $\left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)$ к $(Y\,\downarrow \,\Delta ).$ Этот функтор остается сопряженным с соответствующим функтором забвения.

См. также

• Прямой предел - частный случай копредела в теории категорий.
• Индуцированная топология – страницы унаследованной топологии, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Начальная топология - самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.
• LB-пространство
• LF-пространство - Топологическое векторное пространство.

Ссылки

• Браун, Рональд (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN  1-4196-2722-8 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  9780201087079 . Збл   0205.26601 . . (Приводится краткое общее введение в разделе 9 и упражнении 9H)
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .