Jump to content

Инди-завершение

(Перенаправлено из системы Direct )

В математике инд -пополнение или инд-конструкция это процесс свободного добавления отфильтрованных копределов к заданной категории C. — Объекты в этой инд-дополненной категории, обозначаемой Ind( C ), известны как системы , они являются функторами из небольшой фильтрованной категории I в C. прямые

Двойственная C концепция — это прозавершение Pro( . )

Определения [ править ]

Отфильтрованные категории [ изменить ]

Прямые системы зависят от понятия фильтруемых категорий . Например, категория N , объектами которой являются натуральные числа и имеющая ровно один морфизм от n до m всякий раз, когда , — это отфильтрованная категория.

Прямые системы [ править ]

Прямая система или инд-объект в категории C определяется как функтор

небольшой фильтрованной категории I до C. от Например, если I является упомянутой выше категорией N , эти данные эквивалентны последовательности

объектов в C вместе с морфизмами, как показано.

Инди-завершение [ править ]

Инди-объекты в C образуют категорию ind- C .

Два инд-объекта

и

определить функцию

я на x xJ Наборы ,

а именно функтор

Набор морфизмов между F и G в Ind( C ) определяется как копредел этого функтора во второй переменной, за которым следует предел в первой переменной:

В разговорной речи это означает, что морфизм состоит из набора отображений. для каждого i , где (в зависимости от i ) достаточно велик.

Связь между C и Ind( C ) [ править ]

Последняя категория I = {*}, состоящая из одного объекта * и только его тождественного морфизма, является примером фильтруемой категории. В частности, любой объект X в C порождает функтор

и, следовательно, к функтору

Этот функтор, как прямое следствие определений, полностью точен. Поэтому Ind( C ) можно рассматривать как более широкую категорию, чем C .

И наоборот, вообще не обязательно должен существовать естественный функтор

Однако если C обладает всеми отфильтрованными копределами (также известными как прямые пределы), то отправка ind-объекта (для некоторой отфильтрованной категории I ) до ее копредела

дает такой функтор, который, однако, вообще говоря, не является эквивалентностью. Таким образом, даже если C уже имеет все отфильтрованные копределы, Ind( C ) является строго большей категорией, чем C .

Объекты в Ind( C ) можно рассматривать как формальные прямые пределы, поэтому некоторые авторы также обозначают такие объекты через

Это обозначение принадлежит Пьеру Делиню . [1]

Универсальное свойство ind-дополнения [ править ]

Переход от категории C к Ind( C ) означает свободное добавление к категории отфильтрованных копределов. конструкцию также называют инд-дополнением C . Вот почему Это уточняется следующим утверждением: любой функтор принятие значений в категории D , которая имеет все отфильтрованные копределы, расширяется до функтора который однозначно определяется требованиями, чтобы его значение на C было исходным функтором F и сохраняло все фильтруемые копределы.

Основные свойства инд-категорий [ править ]

Компактные объекты [ править ]

По сути, в силу конструкции морфизмов в Ind( C ), любой объект X из C компактен , если рассматривать его как объект Ind( C ), т. е. корпредставимый функтор

сохраняет отфильтрованные копределы. Это справедливо независимо от того, что такое C или объект X , в отличие от того факта, что X не обязательно должен быть компактным в C . наоборот, любой компактный объект в Ind( C ) возникает как образ объекта в X. И

Категория C называется компактно порожденной, если она эквивалентна для какой-то небольшой категории . Инди-пополнение категории FinSet конечных множеств является категорией всех множеств . Аналогично, если C — категория конечно порожденных групп, ind-C эквивалентен категории всех групп.

Распознавание инд-дополнений [ править ]

Эти отождествления опираются на следующие факты: как говорилось выше, любой функтор принимающие значения в категории D , которая имеет все отфильтрованные копределы, имеет расширение

который сохраняет отфильтрованные копределы. Это расширение уникально с точностью до эквивалентности. Во-первых, этот функтор если по существу сюръективен, любой объект в D может быть выражен как отфильтрованный копредел объектов формы для соответствующих c в C. объектов Второй, тогда полностью точен и только тогда, когда исходный функтор F полностью точен и если F переводит произвольные объекты в C в компактные объекты в D .

Применяя эти факты, скажем, к функтору включения

эквивалентность

выражает тот факт, что любое множество является фильтрованным копределом конечных множеств (например, любое множество представляет собой объединение своих конечных подмножеств, которое является фильтрованной системой) и, более того, что любое конечное множество компактно, если рассматривать его как объект Set .

Прозавершение [ править ]

Подобно другим категориальным понятиям и конструкциям, инд-пополнение допускает двойственное явление, известное как про-пополнение: категория Pro( C ) определяется в терминах инд-объекта как

(Определение про- С принадлежит Гротендику (1960) . [2] )

объекты Pro( C ) являются обратными системами или прообъектами в C. Следовательно , По определению, это прямые системы противоположной категории. или, что то же самое, функторы

из небольшой с софильтрацией категории I .

Примеры прокатегорий [ править ]

Хотя Pro( C ) существует для любой категории C , следует отметить несколько особых случаев, связанных с другими математическими понятиями.

Появление топологических понятий в этих прокатегориях можно объяснить эквивалентностью, которая сама по себе является частным случаем двойственности Стоуна.

который переводит конечное множество в степенное множество (рассматриваемое как конечная булева алгебра).Двойственность про- и инд-объектов и известное описание инд-завершений также порождают описания некоторых противоположных категорий. Например, такие соображения можно использовать, чтобы показать, что противоположная категория категории векторных пространств (над фиксированным полем) эквивалентна категории линейно компактных векторных пространств и непрерывных линейных отображений между ними. [4]

Приложения [ править ]

Про-завершения менее заметны, чем инд-завершения, но их приложения включают теорию форм . Про-объекты также возникают через их связь с пропредставимыми функторами , например, в теории Галуа Гротендика , а также в критерии Шлезингера в теории деформации .

Связанные понятия [ править ]

Объекты Тейта представляют собой смесь инд- и прообъектов.

Бесконечно-категориальные варианты [ править ]

Инди-пополнение (и, двойственно, про-пополнение) было распространено на ∞-категории Лурье (2009) .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Иллюзия, Люк, Из тайного сада Пьера Делиня: оглядываясь назад на некоторые из его писем , Японский журнал математики, том. 10, стр. 237–248 (2015).
  2. ^ CE Аулл; Р. Лоуэн (31 декабря 2001 г.). Справочник по истории общей топологии . Springer Science & Business Media. п. 1147. ИСБН  978-0-7923-6970-7 .
  3. ^ Джонстон (1982 , §VI.2)
  4. ^ Бергман и Хаускнехт (1996 , предложение 24.8)

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a35488865390e7d9e5780087e9df334e__1709568420
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a3/4e/a35488865390e7d9e5780087e9df334e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ind-completion - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)