Инди-завершение

В математике инд -пополнение или инд-конструкция это процесс свободного добавления отфильтрованных копределов к заданной категории C. — Объекты в этой инд-дополненной категории, обозначаемой Ind( C ), известны как системы , они являются функторами из небольшой фильтрованной категории I в C. прямые

Двойственная C это прозавершение Pro( концепция — ).

Определения

Отфильтрованные категории

Прямые системы зависят от понятия фильтруемых категорий . Например, категория N , объектами которой являются натуральные числа и имеющая ровно один морфизм от n до m всякий раз, когда $n\leq m$ , — это отфильтрованная категория.

Прямые системы

Прямая система или инд-объект в категории C определяется как функтор

F:I\to C

небольшой фильтрованной категории I до C. от Например, если I является упомянутой выше категорией N , эти данные эквивалентны последовательности

X_{0}\to X_{1}\to \cdots

объектов в C вместе с отображаемыми морфизмами.

Ind-завершение

Инди-объекты в C образуют категорию ind- C .

Два инд-объекта

F:I\to C

и

${\textstyle G:J\to C}$ определить функцию

я ^на x xJ

\to

Наборы ,

а именно функтор

\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).

Набор морфизмов между F и G в Ind( C ) определяется как копредел этого функтора во второй переменной, за которым следует предел в первой переменной:

\operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} {\text{-}}C}(F,G)=\lim _{i}\operatorname {colim} _{j}\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).

В разговорной речи это означает, что морфизм состоит из набора отображений. $F(i)\to G(j_{i})$ для каждого i , где $j_{i}$ (в зависимости от i ) достаточно велик.

Связь между C и Ind( C )

Последняя категория I = {*}, состоящая из одного объекта * и только его тождественного морфизма, является примером фильтруемой категории. В частности, любой объект X в C порождает функтор

\{*\}\to C,*\mapsto X

и, следовательно, к функтору

C\to \operatorname {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).

Этот функтор, как прямое следствие определений, полностью точен. Поэтому Ind( C ) можно рассматривать как более широкую категорию, чем C .

И наоборот, вообще не обязательно должен существовать естественный функтор

\operatorname {Ind} (C)\to C.

Однако если C обладает всеми отфильтрованными копределами (также известными как прямые пределы), то отправка ind-объекта $F:I\to C$ (для некоторой отфильтрованной категории I ) до ее копредела

\operatorname {colim} _{I}F(i)

дает такой функтор, который, однако, вообще говоря, не является эквивалентностью. Таким образом, даже если C уже имеет все отфильтрованные копределы, Ind( C ) является строго большей категорией, чем C .

Объекты в Ind( C ) можно рассматривать как формальные прямые пределы, поэтому некоторые авторы также обозначают такие объекты через

{\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).

Это обозначение принадлежит Пьеру Делиню . ^[1]

Универсальное свойство инд-завершения

Переход от категории C к Ind( C ) означает свободное добавление к категории отфильтрованных копределов. конструкцию также называют инд-дополнением C . Вот почему Это уточняется следующим утверждением: любой функтор $F:C\to D$ принятие значений в категории D , которая имеет все отфильтрованные копределы, расширяется до функтора $Ind(C)\to D$ который однозначно определяется требованиями, чтобы его значение на C было исходным функтором F и сохраняло все фильтруемые копределы.

Основные свойства инд-категорий

Компактные объекты

По сути, в силу конструкции морфизмов в Ind( C ), любой объект X из C компактен , если рассматривать его как объект Ind( C ), т. е. корпредставимый функтор

\operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)

сохраняет отфильтрованные копределы. Это справедливо независимо от того, что такое C или объект X , в отличие от того факта, что X не обязательно должен быть компактным в C . наоборот, любой компактный объект в Ind( C ) возникает как образ объекта в X. И

Категория C называется компактно порожденной, если она эквивалентна $\operatorname {Ind} (C_{0})$ для какой-то небольшой категории $C_{0}$ . Инди-пополнение категории FinSet конечных множеств является категорией всех множеств . Аналогично, если C — категория конечно порожденных групп, ind-C эквивалентен категории всех групп.

Распознавание инд-завершений

Эти отождествления опираются на следующие факты: как говорилось выше, любой функтор $F:C\to D$ принимающие значения в категории D , которая имеет все отфильтрованные копределы, имеет расширение

{\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,

который сохраняет отфильтрованные копределы. Это расширение уникально с точностью до эквивалентности. Во-первых, этот функтор ${\tilde {F}}$ если по существу сюръективен, любой объект в D может быть выражен как отфильтрованный копредел объектов формы $F(c)$ для соответствующих c в C. объектов Второй, ${\tilde {F}}$ тогда полностью точен и только тогда, когда исходный функтор F полностью точен и если F переводит произвольные объекты в C в компактные объекты в D .

Применяя эти факты, скажем, к функтору включения

F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,

эквивалентность

\operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set}

выражает тот факт, что любое множество является фильтрованным копределом конечных множеств (например, любое множество представляет собой объединение своих конечных подмножеств, которое является фильтрованной системой) и, более того, что любое конечное множество компактно, если рассматривать его как объект Set .

Завершение

Подобно другим категориальным понятиям и конструкциям, инд-пополнение допускает двойственное явление, известное как про-пополнение: категория Pro( C ) определяется в терминах инд-объекта как

\operatorname {Pro} (C):=\operatorname {Ind} (C^{op})^{op}.

(Определение про- С принадлежит Гротендику (1960) . ^[2])

объекты Pro( C ) являются обратными системами или прообъектами в C. Следовательно , По определению, это прямые системы противоположной категории. $C^{op}$ или, что то же самое, функторы

F:I\to C

из небольшой с софильтрацией категории I .

Примеры прокатегорий

Хотя Pro( C ) существует для любой категории C , следует отметить несколько особых случаев, связанных с другими математическими понятиями.

Если C — категория конечных групп , то про-C эквивалентна категории проконечных групп и непрерывных гомоморфизмов между ними.
Процесс наделения предупорядоченного множества его топологией Александрова приводит к эквивалентности прокатегории категории конечных предупорядоченных множеств: $\operatorname {Pro} (\operatorname {PoSet} ^{\text{fin}})$ , с категорией спектральных топологических пространств и квазикомпактных морфизмов.
Каменная двойственность утверждает, что прокатегория $\operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )$ категории конечных множеств эквивалентна категории пространств Стоуна . ^[3]

Появление топологических понятий в этих прокатегориях можно объяснить эквивалентностью, которая сама по себе является частным случаем двойственности Стоуна.

\operatorname {FinSet} ^{op}=\operatorname {FinBool}

который переводит конечное множество в степенное множество (рассматриваемое как конечная булева алгебра).Двойственность про- и инд-объектов и известное описание инд-завершений также порождают описания некоторых противоположных категорий. Например, такие соображения можно использовать, чтобы показать, что противоположная категория категории векторных пространств (над фиксированным полем) эквивалентна категории линейно компактных векторных пространств и непрерывных линейных отображений между ними. ^[4]

Приложения

Про-завершения менее заметны, чем инд-завершения, но их приложения включают теорию форм . Про-объекты также возникают через их связь с пропредставимыми функторами , например, в теории Галуа Гротендика , а также в критерии Шлезингера в теории деформации .

Связанные понятия

Объекты Тейта представляют собой смесь инд- и прообъектов.

Бесконечно-категориальные варианты

Инди-пополнение (и, двойственно, про-пополнение) было распространено на ∞-категории Лурье (2009) .

См. также

Прямой предел - частный случай копредела в теории категорий.
Обратный предел - конструкция в теории категорий
пополнения в теории категорий

Примечания

^ Иллюзия, Люк, Из тайного сада Пьера Делиня: оглядываясь назад на некоторые из его писем , Японский журнал математики, том. 10, стр. 237–248 (2015).
^ CE Аулл; Р. Лоуэн (31 декабря 2001 г.). Справочник по истории общей топологии . Springer Science & Business Media. п. 1147. ИСБН 978-0-7923-6970-7 .
^ Джонстон (1982 , §VI.2)
^ Бергман и Хаускнехт (1996 , предложение 24.8)

Ссылки

Бергман; Хаускнехт (1996), Когруппы и кокольца в категориях ассоциативных колец , Математические обзоры и монографии, том. 45, номер домена : 10.1090/surv/045 , ISBN 9780821804957
Бурбаки, Николя (1968), Элементы математики. Теория множеств , Перевод с французского, Париж: Hermann, MR 0237342 .
Блом, Томас; Мурдейк, Ике (2023), «Симплициальные модельные структуры на прокатегориях», Алгебраическая и геометрическая топология , 23 (8): 3849–3908, arXiv : 2009.07539 , doi : 10.2140/agt.2023.23.3849
Гротендик, Александр (1960), «Техника спуска и теоремы существования в алгебраической геометрии. II. Теорема существования в формальной теории модулей» , Семинар Бурбаки: 1958/59–1959/60 годы, лекции 169–204 (на французском языке), Математический Общество Франции, стр. 369–390, МР 1603480 , Збл 0234.14007
«Система (в категории)» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Джонстон, Питер Т. (1982), Stone Spaces , ISBN 0521337798
Лурье, Джейкоб (2009), Высшая теория топоса , Анналы математических исследований, том. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0 , МР 2522659
Сигал, Джек; Мардешич, Сибе (1982), Теория форм , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 26, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86286-0

[1] Иллюзия, Люк, Из тайного сада Пьера Делиня: оглядываясь назад на некоторые из его писем , Японский журнал математики, том. 10, стр. 237–248 (2015).

[2] CE Аулл; Р. Лоуэн (31 декабря 2001 г.). Справочник по истории общей топологии . Springer Science & Business Media. п. 1147. ИСБН 978-0-7923-6970-7 .

[3] Джонстон (1982 , §VI.2)

[4] Бергман и Хаускнехт (1996 , предложение 24.8)

[1]

[2]

[3]

[4]