Векторное пространство Тейта

В математике векторное пространство Тейта — это векторное пространство, полученное из конечномерных векторных пространств таким образом, который позволяет расширить такие понятия, как размерность и определитель, на бесконечномерную ситуацию. Пространства Тейта были введены Александром Бейлинсоном , Борисом Фейгиным и Барри Мазуром ( 1991 ), которые назвали их в честь Джона Тейта .

Введение

Типичным примером векторного пространства Тейта над полем k являются степенные ряды Лорана.

$V=k((t)).\,$

Он имеет две характерные особенности:

• с n ростом V является объединением своих подмодулей $t^{-n}k[[t]]$, где $k[[t]]$ обозначает кольцо степенного ряда . Эти подмодули называются решетками.
• Несмотря на то, что каждая решетка представляет собой бесконечномерное векторное пространство, факторы любых отдельных решеток

$t^{-n}k[[t]]/t^{-m}k[[t]],\ n\geq m$

являются конечномерными - k векторными пространствами.

Модули Тейт

Модули Тейта были введены Дринфельдом (2006) как понятие бесконечномерных векторных расслоений. Для любого кольца R Дринфельд определил элементарные модули Тейта как топологические R -модули вида

$P\oplus Q^{*}$

где P и Q — проективные R -модули (возможно, бесконечного ранга), а * обозначает двойственный модуль.

Для поля векторные пространства Тейта в этом смысле эквивалентны локально линейно компактным векторным пространствам - концепция, восходящая к Лефшецу. Они характеризуются тем свойством, что имеют базу топологии, состоящую из соизмеримых подвекторных пространств.

Тейт возражает

могут быть определены в контексте любой конкретной категории C. Объекты Тейта Короче говоря, точная категория — это способ аксиоматизировать определенные особенности коротких точных последовательностей . Например, категория конечномерных k -векторных пространств или категория конечно порожденных проективных R -модулей для некоторого кольца R является точной категорией с ее обычным понятием коротких точных последовательностей.

Расширение приведенного выше примера $k((t))$ к более общей ситуации основано на следующем наблюдении: существует точная последовательность

$0\to k[[t]]\to k((t))\to t^{-1}k[t^{-1}]\to 0$

внешние члены которого являются обратным пределом и прямым пределом соответственно конечномерных k -векторных пространств

$k[[t]]=\lim _{n}k[t]/t^{n}$

$t^{-1}k[t^{-1}]=\operatorname {colim} _{m}\bigoplus _{i=-1}^{-m}t^{i}\cdot k.$

В общем случае для точной категории C существует категория Pro( C ) прообъектов и категория Ind( C ) инд-объектов . Эту конструкцию можно повторять и дает точную категорию Ind(Pro( C )). Категория элементарных объектов Тейта

$\operatorname {Tate} ^{\text{el}}(C)$

определяется как наименьшая подкатегория тех объектов Ind-Pro V , что существует короткая точная последовательность

$0\to L\to V\to L'\to 0$

где L — прообъект, а L’ — инд-объект.Можно показать, что это условие на V эквивалентно требованию для инд-представления

$V:I\to \operatorname {Pro} (C)$

частное $V_{j}/V_{i}$ находятся в C (в отличие от Pro( C )).

Категория Tate( C ) объектов Tate определяется как замыкание при ретракции (идемпотентное завершение) элементарных объектов Tate.

Браунлинг, Грохениг и Вольфсон (2016) показали, что объекты Тейта (для C — категория конечно порожденных проективных R -модулей и при условии, что индексирующие семейства объектов Ind-Pro счетны) эквивалентны счетно порожденным Tate R -модули в смысле упомянутого выше Дринфельда.

Связанные понятия и приложения

Алгебра Тейта Ли — это векторное пространство Тейта с дополнительной структурой алгебры Ли. Примером алгебры Ли Тейта является алгебра Ли формальных степенных рядов над конечномерной алгеброй Ли.

Как можно показать, категория объектов Тейта также является точной категорией. Таким образом, конструкцию можно повторять, что актуально для приложений в теории полей классов многомерности. который изучает высшие локальные поля, такие как

$\mathbf {F} _{p}((t_{1}))\cdots ((t_{n})).$

Капранов (2001) ввел так называемый детерминантный торсор для векторных пространств Тейта, который расширяет обычные представления линейной алгебры об определителях, следах и т. д. до автоморфизмов f векторных пространств Тейта V . Основная идея состоит в том, что, хотя решетка L в V бесконечномерна, решетки L и f ( L ) соизмеримы, так что ? в конечномерном смысле однозначно распространяется на все решетки при условии, что определитель одной решетки фиксирован. Клаузен (2009) применил этот торсор для одновременного доказательства теоремы Римана-Роха , взаимности Вейля и формулы суммы вычетов . Последняя формула уже была доказана Тейтом (1968) аналогичными способами.

Ссылки

• Архипов, Сергей (2002), «Полубесконечные когомологии алгебр Тейта Ли», Московский математический журнал , 2 (1): 35–40, arXiv : math/0003015 , Bibcode : 2000math......3015A , ISSN   1609-3321 , МР   1900583
• Архипов Сергей; Кремнизер, Коби (2010), «2-гербы и 2-пространства Тейта», Арифметика и геометрия вокруг квантования , том. 279, Биркхойзер, стр. 23–35, arXiv : 0708.4401 , doi : 10.1007/978-0-8176-4831-2_2 , MR   2656941
• Бейлинсон, Александр; Фейгин, Б.; Мазур, Барри (1991), Заметки по конформной теории поля , неопубликованная рукопись
• Браунлинг, Оливер; Грехениг, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейт в точных категориях», Моск. Математика. Ж. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , МР   3510209
• Клаузен, Дастин (2009), Бесконечномерная линейная алгебра, детерминантное линейное расслоение и расширение Каца – Муди , Гарвард, конспекты семинара, 2009 г.
• Дринфельд, Владимир (2006), «Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение», Павел Этингоф; Владимир Ретах; И. М. Сингер (ред.), Единство математики , Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi : 10.1007/0-8176-4467-9_7 , ISBN  978-0-8176-4076-7 , МР   2181808
• Капранов, М. (2001), Полубесконечные симметричные степени , arXiv : math/0107089 , Bibcode : 2001math......7089K
• Превиди, Луиджи (2011), «Локально компактные объекты в точных категориях», Междунар. Дж. Математика. , 22 (12): 1787–1821, arXiv : 0710.2509 , doi : 10.1142/S0129167X11007379 , MR   2872533
• Тейт, Джон (1968), «Остатки дифференциалов на кривых» , Annales scientifique de l'École Normale Supérieure , 4, 1 (1): 149–159