Закон взаимности Вейля

В математике является закон взаимности Вейля результатом проведения Андре Вейлем в функциональном поле K ( C ) алгебраической кривой C над алгебраически замкнутым K. полем Учитывая функции f и g из K ( C ), т.е. рациональные функции на C , то

ж (( г )) знак равно г (( ж ))

где обозначение имеет такой смысл: ( h ) — делитель функции h , или, другими словами, формальная сумма ее нулей и полюсов, подсчитанная с кратностью ; а функция, примененная к формальной сумме, означает произведение (с кратностью, полюсы считаются отрицательной кратностью) значений функции в точках делителя. В этом определении должно быть дополнительное условие, заключающееся в том, что делители f и g имеют непересекающуюся поддержку (которую можно удалить).

В случае проективной прямой это можно доказать манипуляциями с результирующей многочленов.

Чтобы убрать условие непересекающейся опоры, для каждой точки P на C локальный символ

( ж , г ) _п

определяется таким образом, что данное утверждение эквивалентно утверждению, что произведение по всем P локальных символов равно 1. Когда f и g оба принимают значения 0 или ∞ в P , определение по существу сводится к ограничению или устранению условия сингулярности , учитывая (с точностью до знака)

ж ^аг ^б

с такими a и b , что функция не имеет ни нуля, ни полюса в точке P . Это достигается путем принятия a за кратность g в P и − b за кратность f в P . Тогда определение

( ж , г ) _п знак равно (-1) ^аб ж ^аг ^б.

См., например, Жан-Пьер Серр , Groupes algébriques et corps declasses , стр. 44–46, где это является частным случаем теории отображения алгебраических кривых в коммутативные группы.

Имеется обобщение Сержа Ланга на абелевы многообразия (Lang, Abelian Variety ).

Ссылки

Андре Вейль, «Научные труды I» , с. 291 (в Lettre à Artin , письме Артину 1942 года, объясняющем Comptes Rendus заметку 1940 года об алгебраических функциях с конечными постоянными полями )
Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons Ltd., стр. 242–3. ISBN 0-471-05059-8 . Збл 0836.14001 . для доказательства в римановой поверхности случае
Арбарелло, Э.; Де Кончини, К.; Кац, В.Г. (1989). «Представление бесконечного клина и закон взаимности для алгебраических кривых». В Эренпрейсе, Леон; Ганнинг, Роберт С. (ред.). Тета-функции, Bowdoin, 1987. (Труды 35-го летнего исследовательского института, Bowdoin Coll., Brunswick/ME, 6-24 июля 1987 г.) . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 171–190. ISBN 0-8218-1483-4 . Збл 0699.22028 .
Серр, Жан-Пьер (1988). Алгебраические группы и поля классов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 117 (Перевод с французского, 2-е изд.). Нью-Йорк и др.: Springer-Verlag . ISBN 3-540-96648-Х . Збл 0703.14001 .