Формула суммы остатков

В математике формула вычета гласит, что сумма вычетов мероморфной дифференциальной формы на гладкой собственной алгебраической кривой равна нулю.

Заявление

В этой статье X обозначает собственную гладкую алгебраическую кривую над полем k . Мероморфная (алгебраическая) дифференциальная форма $\omega$ имеет в каждой замкнутой точке x в X , вычет который обозначается $\operatorname {res} _{x}\omega$. С $\omega$ имеет полюсы только в конечном числе точек, в частности, вычет обращается в нуль во всех точках, кроме конечного числа. Формула остатка гласит:

$\sum _{x}\operatorname {res} _{x}\omega =0.$

Доказательства

Геометрический способ доказательства теоремы состоит в сведении теоремы к случаю, когда X является проективной прямой , и доказательстве ее в этом случае с помощью явных вычислений, например, в Альтмане и Клеймане (1970 , гл. VIII, стр. 177).

Тейт (1968) доказывает теорему, используя понятие следов для некоторых эндоморфизмов бесконечномерных векторных пространств. Остаток дифференциальной формы $fdg$ может быть выражено через следы эндоморфизмов на поле дробей $K_{x}$ завершенных локальных колец ${\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ что приводит к концептуальному доказательству формулы. Более позднее изложение аналогичного подхода, более явно использующее понятие векторных пространств Тейта , дано Клаузеном (2009) .

Ссылки

• Альтман, Аллен; Клейман, Стивен (1970), Введение в теорию двойственности Гротендика , Конспект лекций по математике, том. 146, Спрингер, номер номера : 10.1007/BFb0060932 , MR   0274461
• Клаузен, Дастин (2009), Бесконечномерная линейная алгебра, детерминантное линейное расслоение и расширение Каца – Муди , Гарвард, конспекты семинара, 2009 г.
• Тейт, Джон (1968), «Остатки дифференциалов на кривых» , Annales scientifique de l'École Normale Supérieure , 4, 1 (1): 149–159, doi : 10.24033/asens.1162