Симметричное пространство кватерниона-кэлера

В дифференциальной геометрии симметрическое пространство кватернионов-кэлера или пространство Вольфа — это многообразие кватернионов-кэлера , которое, как риманово многообразие , является римановым симметричным пространством . Любое кватернионно-кэлерово симметрическое пространство с положительной кривизной Риччи компактно и односвязно и является римановым произведением кватернионно-кэлеровых симметричных пространств, связанных с компактными простыми группами Ли .

Для любой компактной простой группы Ли G существует единственная группа G / H , полученная как фактор группы G по подгруппе

$H=K\cdot \mathrm {Sp} (1).\,$

Здесь Sp(1) — компактная форма SL(2)-тройки, связанной со старшим корнем группы G , а K ее централизатор в G. — Они классифицируются следующим образом.

Г	ЧАС	кватернионное измерение	геометрическая интерпретация
$\mathrm {SU} (p+2)\,$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (2))$	п	Грассманиан комплексных двумерных подпространств $\mathbb {C} ^{p+2}$
$\mathrm {SO} (p+4)\,$	$\mathrm {SO} (p)\cdot \mathrm {SO} (4)$	п	Грассманиан ориентированных вещественных 4 -мерных подпространств $\mathbb {R} ^{p+4}$
$\mathrm {Sp} (p+1)\,$	$\mathrm {Sp} (p)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	п	Грассманиан кватернионных 1 -мерных подпространств $\mathbb {H} ^{p+1}$
$E_{6}\,$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)$	10	Пространство симметричных подпространств $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изометрический $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
$E_{7}\,$	$\mathrm {Spin} (12)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	16	Проективная плоскость Розенфельда $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ над $\mathbb {H} \otimes \mathbb {O}$
$E_{8}\,$	$E_{7}\cdot \mathrm {Sp} (1)$	28	Пространство симметричных подпространств $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ изоморфен $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
$F_{4}\,$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	7	Пространство симметричных подпространств $\mathbb {OP} ^{2}$ которые изоморфны $\mathbb {HP} ^{2}$
$G_{2}\,$	$\mathrm {SO} (4)\,$	2	Пространство подалгебр алгебры октониона $\mathbb {O}$ которые изоморфны алгебре кватернионов $\mathbb {H}$

Твисторные пространства кватернионно-келеровых симметричных пространств представляют собой однородные голоморфные контактные многообразия , классифицированные Бутби: они являются присоединенными многообразиями комплексных полупростых групп Ли .

могут быть получены проективизацией Эти пространства минимальная нильпотентная орбита соответствующей комплексной группы Ли. Голоморфная контактная структура очевидна, поскольку нильпотентные орбиты полупростых групп Ли снабжены голоморфной симплектической формой Кириллова-Костанта . Этот аргумент также объясняет, как можно может связать уникальное пространство Вольфа с каждым из простых комплексные группы Ли.

См. также

• Представление кватернионной дискретной серии

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (2008), Многообразия Эйнштейна , Классика математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-74120-6 , МР   2371700 . Перепечатка издания 1987 года.
• Саламон, Саймон (1982), «Кватернионные многообразия Кэлера», Mathematical Inventions , 67 (1): 143–171, Bibcode : 1982InMat..67..143S , doi : 10.1007/BF01393378 , MR   0664330 , S2CID   11857594 3 .