Магический квадрат Фрейденталя

А\Б	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {O}$
$\mathbb {R}$	А ₁	A_А2	С ₃	F_F4
$\mathbb {C}$	A_А2	А2 х _А2	A_А5	E_Е6
$\mathbb {H}$	С ₃	A_А5	Д ₆	E ₇
$\mathbb {O}$	F_F4	E_Е6	E ₇	E₈

В математике ( магический квадрат Фрейденталя или магический квадрат Фрейденталя-Титса ) — это конструкция, связывающая несколько алгебр Ли (и связанные с ними группы Ли ). Он назван в честь Ганса Фройденталя и Жака Титса , независимо развивших эту идею. Он сопоставляет алгебру Ли с парой тел A , B. алгебр Полученные алгебры Ли имеют диаграммы Дынкина согласно таблице справа. «Магия» магического квадрата Фрейденталя состоит в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно A и B , несмотря на то, что исходная конструкция не является симметричной, хотя симметричный метод Винберга дает симметричную конструкцию.

Магический квадрат Фрейденталя включает в себя все исключительные группы Ли, G2 , _кроме и обеспечивает один из возможных подходов к обоснованию утверждения, что «все исключительные группы Ли существуют благодаря октонионам » : G2 _{сама по} себе является группой автоморфизмов октонионов. (кроме того, она во многом похожа на классическую группу Ли , поскольку является стабилизатором общей 3-формы в 7-мерном векторном пространстве - см. Предоднородное векторное пространство ).

Конструкции

Смотрите историю для контекста и мотивации. Первоначально они были созданы примерно в 1958 году Фрейденталем и Титсом, а в последующие годы появились более элегантные формулировки. ^[1]

Подход сисек

Подход Титса, открытый примерно в 1958 году и опубликованный в ( Tits 1966 ), заключается в следующем.

С любой нормированной вещественной алгеброй с делением A (т. е. R, C, H или O) связана йордановая алгебра J 3 ₍ A ) из 3 × 3 A -эрмитовых матриц . Для любой пары ( A , B ) таких алгебр с делением можно определить алгебру Ли

L=\left({\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))\right)\oplus \left(A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}\right)

где ${\mathfrak {der}}$ обозначает алгебру Ли дифференцирований алгебры, а индекс 0 обозначает бесследовую часть. Алгебра Ли L имеет ${\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))$ как подалгебра, и это естественным образом действует на $A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}$ . Скобка Лия на $A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}$ (которая не является подалгеброй) неочевидна, но Титс показал, как ее можно определить, и что она дает следующую таблицу компактных алгебр Ли .

	Б	Р	С	ЧАС	ТО
А	( А/Б)	0	0	${\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {g}}_{2}$
Р	0	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {sp}}_{3}$	${\mathfrak {f}}_{4}$
С	0	${\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{3}\oplus {\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{6}$	${\mathfrak {e}}_{6}$
ЧАС	${\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {sp}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{6}$	${\mathfrak {so}}_{12}$	${\mathfrak {e}}_{7}$
ТО	${\mathfrak {g}}_{2}$	${\mathfrak {f}}_{4}$	${\mathfrak {e}}_{6}$	${\mathfrak {e}}_{7}$	${\mathfrak {e}}_{8}$

По построению строка таблицы с A = R дает ${\mathfrak {der}}(J_{3}(B))$ , и аналогично наоборот.

Симметричный метод Винберга

«Магия» магического квадрата Фрейденталя состоит в том, что построенная алгебра Ли симметрична A и B. относительно Это не очевидно из конструкции Титса. Эрнест Винберг дал явно симметричную конструкцию в ( Винберг, 1966 ). Вместо использования йордановой алгебры он использует алгебру косоэрмитовых матриц без следов с элементами из A ⊗ B , обозначаемую ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ . Винберг определяет структуру алгебры Ли на

{\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)\oplus {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B).

Когда A и B не имеют дифференцирований (т. е. R или C ), это просто скобка Ли (коммутатор) на ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ . При наличии дифференцирований они образуют подалгебру, естественно действующую на ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ как в конструкции Титса, и бесследовая коммутаторная скобка на ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ модифицируется выражением со значениями в ${\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)$ .

Триальность

Более поздняя конструкция, созданная Пьером Рамоном ( Ramond 1976 ) и Брюсом Эллисоном ( Allison 1978 ) и разработанная Крисом Бартоном и Энтони Садбери , использует триальность в форме, разработанной Джоном Фрэнком Адамсом ; это было представлено в ( Barton & Sudbery 2000 ) и в упрощенной форме в ( Barton & Sudbery 2003 ). В то время как конструкция Винберга основана на группах автоморфизмов тела A (точнее, их алгебр Ли дифференцирований), Бартон и Садбери используют группу автоморфизмов соответствующей тройственности. Тройственность — это трилинейная карта.

A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\to \mathbf {R}

получается путем взятия трех копий алгебры с делением A и использования скалярного произведения на A для дуализации умножения. Группа автоморфизмов — это подгруппа SO( A ₁ ) × SO ( A ₂ ) × SO ( A ₃ ), сохраняющая это трилинейное отображение. Его обозначают Три( А ). В следующей таблице ее алгебра Ли сравнивается с алгеброй Ли дифференцирований.

А :	Р	С	ЧАС	ТО
${\mathfrak {der}}(A)$	0	0	${\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {g}}_{2}$
${\mathfrak {tri}}(A)$	0	${\mathfrak {u}}_{1}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}$	${\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {so}}_{8}$

Затем Бартон и Садбери отождествляют алгебру Ли магического квадрата, соответствующую ( A , B ), со структурой алгебры Ли в векторном пространстве.

{\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A_{1}\otimes B_{1})\oplus (A_{2}\otimes B_{2})\oplus (A_{3}\otimes B_{3}).

Скобка Ли совместима с градуировкой Z ₂ × Z ₂ , с tri ( A ) и tri ( B ) в степени (0,0) и тремя копиями A ⊗ B в степенях (0,1), (1 ,0) и (1,1). Скобка сохраняет tri ( A ) и tri ( B ), и они естественным образом действуют на три копии A ⊗ B , как и в других конструкциях, но скобки между этими тремя копиями более ограничены.

Например, когда A и B являются октонионами, тройственность соответствует Spin(8), двойному покрытию SO(8), а описание Бартона-Садбери дает

{\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{8}\oplus {\widehat {\mathfrak {so}}}_{8}\oplus (V\otimes {\widehat {V}})\oplus (S_{+}\otimes {\widehat {S}}_{+})\oplus (S_{-}\otimes {\widehat {S}}_{-})

где V, S ₊ и S ₋ — три 8-мерных представления ${\mathfrak {so}}_{8}$ (фундаментальное представление и два спиновых представления ), а объекты со шляпой представляют собой изоморфную копию.

Что касается одной из градуировок Z ₂ , первые три слагаемых в совокупности дают ${\mathfrak {so}}_{16}$ а последние два вместе образуют одно из его спиновых представлений Δ ₊¹²⁸ (верхний индекс обозначает размерность). Это хорошо известное разложение E8 . симметричное

Конструкция Бартона-Садбери распространяет это на другие алгебры Ли в магическом квадрате. В частности, для исключительных алгебр Ли в последней строке (или столбце) симметрическими разложениями являются:

{\mathfrak {f}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{9}\oplus \Delta ^{16}

{\mathfrak {e}}_{6}\cong ({\mathfrak {so}}_{10}\oplus {\mathfrak {u}}_{1})\oplus \Delta ^{32}

{\mathfrak {e}}_{7}\cong ({\mathfrak {so}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1})\oplus \Delta _{+}^{64}

{\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{16}\oplus \Delta _{+}^{128}.

Обобщения

Сплит-композиционные алгебры

В дополнение к нормированным алгебрам с делением существуют другие композиционные алгебры над R , а именно расщепленные комплексные числа , расщепленные кватернионы и расщепленные октонионы . Если использовать их вместо комплексных чисел, кватернионов и октонионов, можно получить следующий вариант магического квадрата (где разделенные версии алгебр с делением обозначаются штрихом).

А\Б	Р	С'	ЧАС'	Т'
Р	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$
С'	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$
ЧАС'	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {so}}_{6,6}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$
Т'	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$	${\mathfrak {e}}_{8(8)}$

Здесь все алгебры Ли представляют собой расщепленную вещественную форму, за исключением so ₃ , но изменение знака в определении скобки Ли может быть использовано для получения расщепленной формы so _2,1 . В частности, для исключительных алгебр Ли максимальными компактными подалгебрами являются следующие:

Разделенная форма	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$	${\mathfrak {e}}_{8(8)}$
Максимально компактный	${\mathfrak {sp}}_{3}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {sp}}_{4}$	${\mathfrak {su}}_{8}$	${\mathfrak {so}}_{16}$

Несимметричную версию магического квадрата можно также получить, комбинируя расщепляемые алгебры с обычными алгебрами с делением. Согласно Бартону и Садбери, результирующая таблица алгебр Ли выглядит следующим образом.

А\Б	Р	С	ЧАС	ТО
Р	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {sp}}_{3}$	${\mathfrak {f}}_{4}$
С'	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {C} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {H} )$	${\mathfrak {e}}_{6(-26)}$
ЧАС'	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {su}}_{3,3}$	${\mathfrak {so}}_{6}^{*}(\mathbf {H} )$	${\mathfrak {e}}_{7(-25)}$
Т'	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-5)}$	${\mathfrak {e}}_{8(-24)}$

Появляющиеся здесь вещественные исключительные алгебры Ли снова могут быть описаны их максимальными компактными подалгебрами.

Алгебра Ли	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$	${\mathfrak {e}}_{6(-26)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-5)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-25)}$	${\mathfrak {e}}_{8(-24)}$
Максимально компактный	${\mathfrak {su}}_{6}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {f}}_{4}$	${\mathfrak {su}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {e}}_{6}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}$	${\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$

Произвольные поля

Расщепляемые формы композиционных алгебр и алгебр Ли можно определить над любым полем K . Это дает следующий магический квадрат.

${\mathfrak {so}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )$
${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )$
${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {so}}_{12}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )$
${\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{8}(\mathbf {K} )$

Здесь возникает некоторая двусмысленность, если K не является алгебраически замкнутым. В случае K = C это комплексификация магических квадратов Фрейденталя для R, обсуждавшаяся до сих пор.

Более общие йордановые алгебры

Обсуждаемые до сих пор квадраты связаны с йордановыми алгебрами J ₃ ( A ), где A — алгебра с делением. Существуют также йордановые алгебры J _n ( A ) для любого натурального числа n , если A ассоциативна. Они дают расщепленные формы (над любым полем K ) и компактные формы (над R ) обобщенных магических квадратов.

${\mathfrak {so}}_{n}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}$	${\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}$
${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}$	${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}\oplus {\mathfrak {su}}_{n}$	${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}$
${\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}$	${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}$	${\mathfrak {so}}_{4n}(\mathbf {K} )$

При n = 2 J ₂ ( O ) также является йордановой алгеброй. В компактном случае (над R ) это дает магический квадрат ортогональных алгебр Ли.

А\Б	Р	С	ЧАС	ТО
Р	${\mathfrak {so}}_{2}$	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {so}}_{5}$	${\mathfrak {so}}_{9}$
С	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {so}}_{4}$	${\mathfrak {so}}_{6}$	${\mathfrak {so}}_{10}$
ЧАС	${\mathfrak {so}}_{5}$	${\mathfrak {so}}_{6}$	${\mathfrak {so}}_{8}$	${\mathfrak {so}}_{12}$
ТО	${\mathfrak {so}}_{9}$	${\mathfrak {so}}_{10}$	${\mathfrak {so}}_{12}$	${\mathfrak {so}}_{16}$

Последняя строка и столбец здесь представляют собой часть ортогональной алгебры алгебры изотропии в симметричном разложении исключительных алгебр Ли, упомянутых ранее.

Эти конструкции тесно связаны с эрмитовыми симметрическими пространствами – ср. предоднородные векторные пространства .

Симметричные пространства

Римановы симметрические пространства , как компактные, так и некомпактные, могут быть классифицированы единообразно с использованием конструкции магического квадрата в ( Huang & Leung 2010 ). Неприводимые компактные симметрические пространства с точностью до конечных накрытий представляют собой либо компактную простую группу Ли, либо грассманиан, либо лагранжев грассманиан , либо двойной лагранжев грассманиан подпространств $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},$ для нормированных тел A и B . Аналогичная конструкция дает неприводимые некомпактные симметрические пространства.

История

Проективные плоскости Розенфельда

После Рут Муфанг открытия в 1933 году проективной плоскости Кэли или «октонионной проективной плоскости» P ²( O ), чьей группой симметрии является исключительная группа Ли F ₄ , и зная, что G ₂ предположил является группой автоморфизмов октонионов, Розенфельд (1956) , что оставшиеся исключительные группы Ли E ₆ , E ₇ , и E8 _{— группы изоморфизмов проективных плоскостей над} некоторыми алгебрами над октонионами: ^[1]

тот биоктонионы , C ⊗ O ,
тот кватероктонионы , ЧАС ⊗ О ,
тот октооктонионы , О ⊗ О .

Это предложение привлекательно, поскольку существуют некоторые исключительные компактные римановы симметрические пространства с желаемыми группами симметрии, размерность которых совпадает с размерностью предполагаемых проективных плоскостей (dim( P ²( K ⊗ K ′)) = 2 dim( K )dim( K ′)), и это дало бы равномерную конструкцию исключительных групп Ли как симметрий естественных объектов (т. е. без априорного знания исключительных групп Ли группы). Римановы симметрические пространства были классифицированы Картаном в 1926 г. (в дальнейшем используются метки Картана); Подробности см. в классификации , а соответствующие пробелы:

октонионная проективная плоскость – FII, размерность 16 = 2×8, _{F 4} симметрия , проективная плоскость Кэли P ²( О ),
биоктонионная проективная плоскость – EIII, размерность 32 = 2×2×8, симметрия E6 _, комплексифицированная проективная плоскость Кэли, P ²( С ⊗ О ),
" кватероктонионная проективная плоскость " ^[2] – EVI, dimension 64 = 2 × 4 × 8, E ₇ symmetry, P ²( ЧАС ⊗ О ),
" октооктонионная проективная плоскость " ^[3] – EVIII, размерность 128 = 2×8×8, _{E 8} симметрия , P ²( О ⊗ О ).

Трудность с этим предложением состоит в том, что, хотя октонионы являются алгеброй с делением и, следовательно, над ними определена проективная плоскость, биооктонионы, кватероктонионы и октооктонионы не являются алгебрами с делением, и поэтому обычное определение проективной плоскости не работает. Эту проблему можно решить для биооктонионов, при этом результирующая проективная плоскость представляет собой комплексифицированную плоскость Кэли, но конструкции не работают для кватероктонионов и октооктонионов, и рассматриваемые пространства не подчиняются обычным аксиомам проективных плоскостей: ^[1] отсюда и кавычки о «(предполагаемой) проективной плоскости». Однако касательное пространство в каждой точке этих пространств можно отождествить с плоскостью ( H ⊗ O ) ², или ( О ⊗ О ) ² дальнейшее подтверждение интуитивного предположения, что это форма обобщенной проективной плоскости. ^[2]^[3] Соответственно, полученные пространства иногда называют проективными плоскостями Розенфельда и обозначают так, как если бы они были проективными плоскостями. В более широком смысле, эти компактные формы представляют собой эллиптические проективные плоскости Розенфельда , а двойственные некомпактные формы — это гиперболические проективные плоскости Розенфельда . Более современное изложение идей Розенфельда находится в ( Розенфельд 1997 ), а краткое примечание об этих «плоскостях» — в ( Бессе 1987 , стр. 313–316). ^[4]

Пространства могут быть построены с использованием теории зданий Титса, которая позволяет построить геометрию с любой заданной алгебраической группой как симметрии, но для этого необходимо начинать с групп Ли и строить геометрию на их основе, а не строить геометрию независимо от знание групп Ли. ^[1]

Магический квадрат

А на уровне многообразий и групп Ли построение проективной плоскости P ²( K ⊗ K ′) двух нормированных алгебр с делением не работает, соответствующая конструкция на уровне алгебр Ли работает . То есть, если разложить алгебру Ли бесконечно малых изометрий проективной плоскости P ²( K ) и применяет тот же анализ к P ²( K ⊗ K ′), можно использовать это разложение, которое справедливо, когда P ²( K ⊗ K ′) фактически может быть определен как проективная плоскость, как определение «алгебры Ли магического квадрата» M ( K , K ′). Это определение чисто алгебраическое и справедливо даже без предположения существования соответствующего геометрического пространства. Это было сделано независимо примерно в 1958 году в ( Tits 1966 ) и Фрейденталем в серии из 11 статей, начиная с ( Freudenthal 1954a ) и заканчивая ( Freudenthal 1963 ), хотя изложенная здесь упрощенная конструкция принадлежит ( Vinberg 1966 ). ^[1]

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ( Баэз 2002 , 4.3 Магический квадрат )
^ Jump up to: ^а ^б ( Baez 2002 , 4.5 E ₇)
^ Jump up to: ^а ^б ( Баез 2002 , 4.6 Е ₈ )
^ « Находки этой недели по математической физике - неделя 106 », Джон Баэз , 23 июля 1997 г.

Ссылки

Адамс, Джон Франк (1996). Махмуд, Зафер; Мимура, Мамора (ред.). Лекции об исключительных группах Ли . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-00527-0 .
Эллисон, Б.Н. (1978). «Структурируемые алгебры». Математика. Энн . 237 (2): 133–156. дои : 10.1007/bf01351677 . S2CID 120322064 .
Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . МР 1886087 . S2CID 586512 . – 4.3: Магический квадрат
Баэз, Джон К. (2005). «Ошибки для Октонионов » (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 42 (2): 213–214. дои : 10.1090/S0273-0979-05-01052-9 .
Бартон, Швейцария; Садбери, А. (2000). «Магические квадраты алгебр Ли». arXiv : math/0001083 .
Бартон, Швейцария; Садбери, А. (2003). «Магические квадраты и матричные модели алгебр Ли» . Достижения в математике . 180 (2): 596–647. arXiv : math.RA/0203010 . дои : 10.1016/S0001-8708(03)00015-X . S2CID 119621987 .
Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-15279-8 .
Фрейденталь, Ганс (1954a). «Отношения Е ₇ и Е ₈ с октавным уровнем. I». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 16 :218-230. дои : 10.1016/S1385-7258(54)50032-6 . MR0063358 .
Фрейденталь, Ганс (1954b). «Отношения E ₇ и E ₈ с октавным уровнем. II». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 16 :363-368. дои : 10.1016/S1385-7258(54)50045-4 . MR0068549 .
Фрейденталь, Ганс (1955a). «Отношения E ₇ и E ₈ с октавным уровнем. III». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 17 :151-157. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50020-5 . MR0068550 .
Фрейденталь, Ганс (1955b). «Отношения E ₇ и E ₈ с октавным уровнем. IV». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 17 :277-285. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50039-4 . MR0068551 .
Фрейденталь, Ганс (1959). «Отношения E ₇ и E ₈ с уровнем октав. V – IX». Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 21 : 165–201, 447–474. дои : 10.1016/S1385-7258(59)50019-0 .
Фрейденталь, Ганс (1963). «Отношения Е ₇ и Е ₈ с уровнем октав. X, XI» . Indagationes Mathematicae (на немецком языке). 25 : 457–471, 472–487. дои : 10.1016/S1385-7258(63)50046-8 . MR0163203 .
Фрейденталь, Ганс (1951), Октавы, группы исключений и геометрия октав , Математический институт Рейксуниверситета в Утрехте
Фрейденталь, Ганс (1985), «Октавы, группы исключений и геометрия октав», Geometriae Dedicata , 19 : 7–63, doi : 10.1007/bf00233101 , S2CID 121496094 (перепечатка статьи 1951 года)
Хуан, Юндун; Люнг, Найчунг Конан (30 июля 2010 г.). «Единое описание компактных симметричных пространств как грассманианов с использованием магического квадрата» (PDF) . Математические Аннален . 350 (май 2011 г.): 79–106. дои : 10.1007/s00208-010-0549-8 . S2CID 121427210 .
Ландсберг, Дж. М.; Манивель, Л. (2001). «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя» . Журнал алгебры . 239 (2): 477–512. arXiv : math.AG/9908039 . дои : 10.1006/jabr.2000.8697 . S2CID 16320642 .
Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. V семестр , Мир
Рамон, Пьер (декабрь 1976 г.). Введение в исключительные группы Ли и алгебры (Отчет). Пасадена: Калифорнийский технологический институт. CALT-68-577.
Розенфельд, Борис А. (1956). «[Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса E ]». Докл. Акад. Наук СССР . 106 : 600–603.
Розенфельд, Борис А. (1997). Геометрия групп Ли . Математика и ее приложения. Том. 393. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. xviii+393. ISBN 978-0-7923-4390-5 .
Титс, Жак (1966). Альтернативные алгебры, йордановые алгебры и исключительные алгебры Ли . Indagationes Mathematicae (на французском языке). 28 :223–237. дои : 10.1016/S1385-7258(66)50028-2 . МР 0219578 .
Винберг, Е.Б. (1966). «[Построение исключительных простых алгебр Ли]». Труди Сем. Вект. Тенз. Анальный. (на русском языке). 13 :7–9.
Винберг, Е.Б. (2005). «Построение исключительных простых алгебр Ли». амер. Математика. Соц. Перевод . 213 : 241–242.
Ёкота, Ичиро (1985). «Несимметрия магического квадрата Фрейденталя». Дж. Фак. наук. Университет Синсю . 20:13 .

[baez200243-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ( Баэз 2002 , 4.3 Магический квадрат )

[baez200245-2] Jump up to: ^а ^б ( Baez 2002 , 4.5 E ₇)

[baez200246-3] Jump up to: ^а ^б ( Баез 2002 , 4.6 Е ₈ )

[4] « Находки этой недели по математической физике - неделя 106 », Джон Баэз , 23 июля 1997 г.

[1]

[2]

[3]

[4]