Групповое действие лжи

В дифференциальной геометрии групповое действие Ли — это групповое действие, адаптированное к гладкой настройке: $G$ является группой Ли , $M$ является гладким многообразием , а карта действия дифференцируема .

Определение и первые свойства

Позволять $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ быть (левым) групповым действием группы Ли $G$ на гладком многообразии $M$ ; оно называется действием группы Ли (или гладким действием), если отображение $\sigma$ является дифференцируемым. Эквивалентно, групповое действие Ли $G$ на $M$ состоит из гомоморфизма группы Ли $G\to \mathrm {Diff} (M)$ . Гладкое многообразие, наделенное действием группы Ли, также называется $G$ -многообразие .

Тот факт, что карта действий $\sigma$ является гладким, имеет несколько немедленных последствий:

стабилизаторы $G_{x}\subseteq G$ группового действия замкнуты, поэтому являются подгруппами Ли группы $G$
орбиты $G\cdot x\subseteq M$ действия группы являются погруженными подмногообразиями .

Если забыть о гладкой структуре, то групповое действие Ли является частным случаем непрерывного группового действия .

Примеры

Для каждой группы Ли $G$ , следующие действия группы Ли:

тривиальное действие $G$ на любом многообразии
действие $G$ на себя путем левого умножения, правого умножения или сопряжения
действие любой подгруппы Ли $H\subseteq G$ на $G$ путем левого умножения, правого умножения или сопряжения

сопутствующее действие $G$ на своей алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ .

Другие примеры действий группы Ли включают:

действие $\mathbb {R}$ на M, заданном потоком любого полного векторного поля
действия общей линейной группы $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ и его подгрупп Ли $G\subseteq \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ на $\mathbb {R} ^{n}$ путем матричного умножения
в более общем смысле, любое представление группы Ли в векторном пространстве.
любое действие гамильтоновой группы на симплектическом многообразии
транзитивное действие, лежащее в основе любого однородного пространства
в более общем смысле, групповое действие, лежащее в основе любого основного пакета

Бесконечнозимальное действие алгебры Ли

Следуя духу соответствия группы Ли и алгебры Ли , действия группы Ли также можно изучать с бесконечно малой точки зрения. Действительно, любое действие группы Ли $\sigma :G\times M\to M$ индуцирует бесконечно малое действие алгебры Ли на $M$ , т. е. гомоморфизм алгебры Ли ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ . Интуитивно это получается дифференцированием в единице гомоморфизма группы Ли $G\to \mathrm {Diff} (M)$ и интерпретация набора векторных полей ${\mathfrak {X}}(M)$ как алгебра Ли (бесконечномерной) группы Ли $\mathrm {Diff} (M)$ .

Точнее, исправление каких-либо $x\in M$ , карта орбиты $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ дифференцируема, и ее дифференциал можно вычислить в единице $e\in G$ . Если $X\in {\mathfrak {g}}$ , то его изображение под $\mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ является касательным вектором в точке $x$ и различные $x$ получается векторное поле на $M$ . Минус этого векторного поля, обозначаемый $X^{\#}$ , также называется фундаментальным векторным полем, связанным с $X$ (знак минус гарантирует, что ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M),X\mapsto X^{\#}$ является гомоморфизмом алгебры Ли).

И наоборот, по теореме Ли–Пале любое абстрактное инфинитезимальное действие (конечномерной) алгебры Ли на компактном многообразии можно интегрировать в действие группы Ли. ^[1]

Более того, бесконечно малое действие алгебры Ли ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ инъективен тогда и только тогда, когда соответствующее глобальное действие группы Ли свободно. Это следует из того, что ядро $\mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ это алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{x}\subseteq {\mathfrak {g}}$ стабилизатора $G_{x}\subseteq G$ . С другой стороны, ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ в целом не сюръективен. Например, пусть $\pi :P\to M$ быть директором $G$ -пучок: образ бесконечно малого действия фактически равен вертикальному подпучку $T^{\pi }P\subset TP$ .

Правильные действия

Важным (и распространенным) классом действий группы Ли являются правильные . Действительно, из такого топологического условия следует, что

стабилизаторы $G_{x}\subseteq G$ компактны
орбиты $G\cdot x\subseteq M$ являются вложенными подмногообразиями
орбитальное пространство $M/G$ Хаусдорф

В общем случае, если группа Ли $G$ компактный, любой гладкий $G$ - действие автоматически является правильным. Примером правильного действия не обязательно компактной группы Ли является действие подгруппы Ли. $H\subseteq G$ на $G$ .

Структура орбитального пространства

Учитывая групповое действие Ли $G$ на $M$ , орбитальное пространство $M/G$ вообще не допускает структуры многообразия. Однако если действие свободное и правильное, то $M/G$ имеет уникальную гладкую структуру, такую, что проекция $M\to M/G$ представляет собой погружение (фактически, $M\to M/G$ является директором $G$ -пучок). ^[2]

Тот факт, что $M/G$ является ли Хаусдорф зависит только от правильности действия (о чем говорилось выше); остальная часть утверждения требует свободы и является следствием теоремы о срезах . Если условие «свободного действия» (т.е. «наличие нулевых стабилизаторов») ослаблено до «наличия конечных стабилизаторов», $M/G$ вместо этого становится орбифолдом (или фактором-стеком ).

Приложением этого принципа является конструкция Бореля из алгебраической топологии . Предполагая, что $G$ компактен, пусть $EG$ обозначаем универсальное расслоение , которое мы можем считать многообразием, поскольку $G$ компактен, и пусть $G$ действовать дальше $EG\times M$ по диагонали. Действие свободно, поскольку оно таково по первому фактору, и правильно, поскольку $G$ компактен; таким образом, можно сформировать фактормногообразие $M_{G}=(EG\times M)/G$ определим эквивариантные когомологии M и как

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

,

где правая часть обозначает когомологии де Рама многообразия $M_{G}$ .

См. также

Примечания

^ Пале, Ричард С. (1957). «Глобальная формулировка теории Ли групп преобразований» . Мемуары Американского математического общества (22): 0. doi : 10.1090/memo/0022 . ISSN 0065-9266 .
^ Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9982-5 . OCLC 808682771 .

Ссылки

Мишель Оден, Действия тора на симплектических многообразиях , Биркхаузер, 2004 г.
Джон Ли, Введение в гладкие многообразия , глава 9, ISBN 978-1-4419-9981-8
Фрэнк Уорнер, Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , глава 3, ISBN 978-0-387-90894-6

[1] Пале, Ричард С. (1957). «Глобальная формулировка теории Ли групп преобразований» . Мемуары Американского математического общества (22): 0. doi : 10.1090/memo/0022 . ISSN 0065-9266 .

[2] Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9982-5 . OCLC 808682771 .

[1]

[2]