Векторное поле

В векторном исчислении и физике векторное поле — это присвоение вектора каждой точке пространства , чаще всего евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ . ^[1] Векторное поле на плоскости можно представить как набор стрелок с заданными величинами и направлениями, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в трехмерном пространстве , например ветра , или силы и направления некоторой силы , например магнитной или гравитационной силы, когда она изменяется от одна точка в другую точку.

Элементы дифференциального и интегрального исчисления естественным образом распространяются на векторные поля. Когда векторное поле представляет силу , линейный интеграл векторного поля представляет работу , совершаемую силой, движущейся по траектории, и в этой интерпретации сохранение энергии проявляется как частный случай фундаментальной теоремы исчисления . Векторные поля можно с пользой рассматривать как представляющие скорость движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как дивергенция ( которая представляет скорость изменения объема потока) и ротор (который представляет вращение потока). поток).

Векторное поле — это частный случай векторной функции , размерность области определения которой не связана с размерностью ее диапазона; например, вектор положения пространственной кривой определяется только для меньшего подмножества окружающего пространства.Аналогично, n координат — векторное поле в области n -мерного евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ может быть представлена как векторная функция, которая сопоставляет n -кортеж действительных чисел с каждой точкой области. Такое представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон преобразования ( ковариантность и контравариантность векторов ) при переходе из одной системы координат в другую.

Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножествах евклидова пространства, но также имеют смысл и на других подмножествах, таких как поверхности , где они связывают стрелку, касательную к поверхности в каждой точке ( касательный вектор ).В более общем смысле векторные поля определяются на дифференцируемых многообразиях , которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство в малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру в больших масштабах. В этом случае векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть сечение касательного расслоения к многообразию). Векторные поля — это один из видов тензорных полей .

Определение

Векторные поля на подмножествах евклидова пространства

Два представления одного и того же векторного поля: v ( x , y ) знак равно - r . Стрелками показано поле в дискретных точках, однако поле существует везде.

Учитывая подмножество $S$ из $R н$ векторное поле представляется вектор-функцией $V : S \to R н$ в стандартных декартовых координатах $(x 1, \dots, x n)$ . Если каждая компонента $V$ непрерывна, то $V$ — непрерывное векторное поле. Обычно основное внимание уделяется гладким векторным полям, что означает, что каждый компонент представляет собой гладкую функцию (дифференцируемую любое количество раз). Векторное поле можно представить как присвоение вектора отдельным точкам в n -мерном пространстве. ^[1]

Одним из стандартных обозначений является запись ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ для единичных векторов в координатных направлениях. В этих терминах каждое гладкое векторное поле $V$ на открытом подмножестве $S$ из ${\mathbf {R} }^{n}$ можно записать как

\sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}

для некоторых гладких функций $V_{1},\ldots ,V_{n}$ на $S$ . ^[2] Причина такого обозначения в том, что векторное поле определяет линейное отображение пространства гладких функций в себя: $V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)$ , заданный дифференцированием по направлению векторного поля.

Пример : векторное поле $-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}$ описывает вращение против часовой стрелки вокруг начала координат в $\mathbf {R} ^{2}$ . Чтобы показать, что функция $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ является вращательно-инвариантным, вычислите:

{\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.

Учитывая векторные поля $V$ , $W,$ определенные на $S$ , и гладкую функцию $f,$ определенную на $S$ , операции скалярного умножения и сложения векторов, $(fV)(p):=f(p)V(p)$ $(V+W)(p):=V(p)+W(p),$ превратить гладкие векторные поля в модуль над кольцом гладких функций, где умножение функций определяется поточечно.

Закон преобразования координат

В физике вектор дополнительно отличается тем, как изменяются его координаты при измерении того же вектора относительно другой фоновой системы координат. Свойства преобразования векторов отличают вектор как геометрически отличный объект от простого списка скаляров или от ковектора .

Таким образом, предположим, что $(x 1, ..., x n)$ представляет собой выбор декартовых координат, в терминах которого компоненты вектора $V$ равны $V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})$ и предположим, что ( y ₁ ,..., y _n ) являются n функциями xi , _{определяющими} другую систему координат. Тогда компоненты вектора V в новых координатах должны удовлетворять закону преобразования

V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.

( 1 )

Такой закон преобразования называется контравариантным . Подобный закон преобразования характеризует векторные поля в физике: в частности, векторное поле представляет собой спецификацию n функций в каждой системе координат, подчиняющуюся закону преобразования ( 1 ), связывающему различные системы координат.

Таким образом, векторные поля контрастируют со скалярными полями , которые связывают число или скаляр с каждой точкой пространства, а также с простыми списками скалярных полей, которые не трансформируются при изменении координат.

Векторные поля на многообразиях

Учитывая дифференцируемое многообразие $M$ , векторное поле на $M$ — это присвоение касательного вектора каждой точке в $M$ . ^[2] Точнее, векторное поле $F$ представляет собой отображение из $M$ в касательное расслоение $TM$ так что $p\circ F$ это тождественное отображениегде $p$ обозначает проекцию от $TM$ к $M$ . Другими словами, векторное поле — это сечение касательного расслоения .

Альтернативное определение: гладкое векторное поле. $X$ на коллекторе $M$ это линейная карта $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ такой, что $X$ является производным : $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ для всех $f,g\in C^{\infty }(M)$ . ^[3]

Если многообразие $M$ является гладким или аналитическим — то есть изменение координат гладкое (аналитическое), — тогда можно понять понятие гладких (аналитических) векторных полей. Коллекция всех гладких векторных полей на гладком многообразии. $M$ часто обозначается $\Gamma (TM)$ или $C^{\infty }(M,TM)$ (особенно если рассматривать векторные поля как секции ); совокупность всех гладких векторных полей также обозначается через ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ( перелом «Х»).

Примеры

Векторное поле движения воздуха на Земле свяжет каждой точке поверхности Земли вектор со скоростью и направлением ветра для этой точки. Это можно нарисовать с помощью стрелок, обозначающих ветер; длина ( величина ) стрелки будет указывать скорость ветра. Тогда «высокое» значение на обычной карте барометрического давления будет действовать как источник (стрелки указывают в сторону), а «низкое» будет поглотителем (стрелки указывают в сторону), поскольку воздух имеет тенденцию перемещаться из областей высокого давления в области низкого давления. .
Поле скоростей движущейся жидкости . В этом случае вектор скорости связан с каждой точкой жидкости.
Линии тока, штриховые линии и линии пути — это три типа линий, которые могут быть созданы из (зависящих от времени) векторных полей. Они есть:
- полосы: линия, создаваемая частицами, проходящими через определенную фиксированную точку в разное время.
- линии пути: показывающие путь, по которому будет следовать данная частица (нулевой массы).
- линии тока (или линии поля): путь частицы, на который влияет мгновенное поле (т. е. путь частицы, если поле остается фиксированным).
Магнитные поля . Линии поля можно обнаружить с помощью небольших железных опилок.
Уравнения Максвелла позволяют нам использовать заданный набор начальных и граничных условий для вывода для каждой точки евклидова пространства величины и направления силы , действующей на заряженную пробную частицу в этой точке; результирующее векторное поле является электрическим полем .
Гравитационное поле, создаваемое любым массивным объектом, также является векторным полем. Например, все векторы гравитационного поля сферически симметричного тела будут направлены к центру сферы, причем величина векторов уменьшается по мере увеличения радиального расстояния от тела.

Градиентное поле в евклидовых пространствах

Векторное поле, имеющее циркуляцию вокруг точки, нельзя записать как градиент функции.

Векторные поля могут быть построены из скалярных полей с помощью оператора градиента (обозначаемого del : ∇). ^[4]

Векторное поле V, определенное на открытом множестве S, называется градиентным полем или консервативным полем, если существует вещественная функция (скалярное поле) f на S такая, что $V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$

Соответствующий поток называется градиентный поток и используется в методе градиентного спуска .

Интеграл по путям вдоль любой замкнутой кривой γ ( γ (0) = γ (1)) в консервативном поле равен нулю: $\oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).$

Центральное поле в евклидовых пространствах

А $С \infty$ -векторное поле над $R н \ {0}$ называется центральным полем , если $V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))$ где $O(n, R)$ — ортогональная группа . Мы говорим, что центральные поля инвариантны относительно ортогональных преобразований вокруг 0.

Точка 0 называется центром поля.

Поскольку ортогональные преобразования на самом деле представляют собой вращения и отражения, условия инвариантности означают, что векторы центрального поля всегда направлены к 0 или от него; это альтернативное (и более простое) определение. Центральное поле всегда является полем градиента, поскольку определение его на одной полуоси и интегрирование дают антиградиент.

Операции над векторными полями

Линейный интеграл

Распространенным методом в физике является интегрирование векторного поля вдоль кривой , что также называется определением линейного интеграла . Интуитивно это означает суммирование всех компонентов вектора по касательным к кривой, выраженное как их скалярное произведение. Например, если частица находится в силовом поле (например, гравитации), где каждый вектор в некоторой точке пространства представляет собой силу, действующую там на частицу, линейный интеграл по определенному пути представляет собой работу, совершенную над частицей, когда она движется. по этому пути. Интуитивно понятно, что это сумма скалярных произведений вектора силы и малого касательного вектора в каждой точке кривой.

Линейный интеграл строится аналогично интегралу Римана и существует, если кривая спрямляема (имеет конечную длину) и векторное поле непрерывно.

Учитывая векторное поле $в$ [ $a$ , b ] $V и кривую γ, параметризованную t$ ( $где a и b —$ действительные $числа$ ) $,$ линейный интеграл определяется как $\int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.$

Чтобы показать топологию векторного поля, можно использовать свертку линейного интеграла .

Дивергенция

Дивергенция векторного поля в евклидовом пространстве — это функция (или скалярное поле). В трехмерном измерении расхождение определяется выражением $\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},$

с очевидным обобщением на произвольные размерности. Дивергенция в точке представляет собой степень, в которой небольшой объем вокруг точки является источником или приемником векторного потока, результат, который уточняется теоремой о дивергенции .

Дивергенцию также можно определить на римановом многообразии , то есть на многообразии с римановой метрикой , измеряющей длину векторов.

Завиток в трех измерениях

Скручивание — это операция, которая принимает векторное поле и создает другое векторное поле. Ротор определяется только в трех измерениях, но некоторые свойства ротора можно отразить в более высоких измерениях с помощью внешней производной . В трех измерениях он определяется формулой $\operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.$

Вихрь измеряет плотность углового момента векторного потока в точке, то есть величину, с которой поток циркулирует вокруг неподвижной оси. Это интуитивное описание уточняется теоремой Стокса .

Индекс векторного поля

Индекс векторного поля — это целое число, которое помогает описать его поведение вокруг изолированного нуля (т. е. изолированной особенности поля). На плоскости индекс принимает значение −1 в седловой особенности и +1 в истоковой или стоковой особенности.

Пусть n — размерность многообразия, на котором определено векторное поле. Возьмем замкнутую поверхность (гомеоморфную (n-1)-сфере) S вокруг нуля так, чтобы никакие другие нули не лежали внутри S. отображение этой сферы в единичную сферу размерности n Можно построить - 1. разделив каждый вектор на этой сфере на его длину, чтобы сформировать вектор единичной длины, который является точкой на единичной сфере S. ^{п -1}. Это определяет непрерывное отображение из S в S ^{п -1}. Индекс векторного поля в точке является степенью этого отображения. Можно показать, что это целое число не зависит от выбора S и, следовательно, зависит только от самого векторного поля.

Индекс не определен ни в одной неособой точке (т. е. в точке, где вектор отличен от нуля). Он равен +1 вокруг источника и, в более общем смысле, равен (-1). ^к вокруг седла, имеющего k сжимающихся размеров и n - k расширяющихся размеров.

Индекс векторного поля в целом определяется, когда оно имеет лишь конечное число нулей. В этом случае все нули изолированы, а индекс векторного поля определяется как сумма индексов всех нулей.

Для обычной (2-мерной) сферы в трехмерном пространстве можно показать, что индекс любого векторного поля на сфере должен быть равен 2. Это показывает, что каждое такое векторное поле должно иметь ноль. Отсюда следует теорема о волосатом шаре .

Для векторного поля на компактном многообразии с конечным числом нулей теорема Пуанкаре-Хопфа многообразия утверждает, что индекс векторного поля является эйлеровой характеристикой .

Физическая интуиция

Линии магнитного поля железного стержня ( магнитного диполя )

Майкл Фарадей в своей концепции силовых линий подчеркивал , поле что само должно быть объектом изучения, каким оно и стало во всей физике в форме теории поля .

Помимо магнитного поля, другие явления, смоделированные Фарадеем, включают электрическое поле и световое поле .

В последние десятилетия многие феноменологические формулировки необратимой динамики и эволюционных уравнений в физике, от механики сложных жидкостей и твердых тел до химической кинетики и квантовой термодинамики, сблизились к геометрической идее «крутейшего подъема энтропии» или «градиентного потока» как последовательного универсальная основа моделирования, которая гарантирует совместимость со вторым законом термодинамики и расширяет хорошо известные результаты, близкие к равновесию, такие как взаимность Онзагера, на область далеко неравновесия. ^[5]

Кривые потока

Рассмотрим течение жидкости через область пространства. В любой момент времени с любой точкой жидкости связана определенная скорость; таким образом, любому потоку соответствует векторное поле. Обратное также верно: можно связать поток с векторным полем, имеющим это векторное поле в качестве скорости.

Учитывая векторное поле $V$ определено на $S$ , определяются кривые $\gamma (t)$ на $S$ такой, что для каждого $t$ в интервале $I$ , $\gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.$

По теореме Пикара–Линделёфа , если $V$ является липшицевым непрерывным, то существует единственное $C^{1}$ -изгиб $\gamma _{x}$ за каждую точку $x$ в $S$ так что для некоторых $\varepsilon >0$ , ${\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}$

Кривые $\gamma _{x}$ называются интегральными кривыми или траекториями (реже линиями тока) векторного поля $V$ и раздел $S$ на классы эквивалентности . Не всегда есть возможность продлить интервал $(-\varepsilon ,+\varepsilon )$ на всю вещественную строку . Поток может, например, достигать края $S$ в конечное время.В двух или трех измерениях можно представить векторное поле как порождающее поток . $S$ . Если мы бросим частицу в этот поток в точке $p$ он будет двигаться по кривой $\gamma _{p}$ в потоке в зависимости от начальной точки $p$ . Если $p$ является стационарной точкой $V$ (т.е. векторное поле равно нулевому вектору в точке $p$ ), то частица останется на $p$ .

Типичными приложениями являются линии пути в жидкости , геодезические потоки , однопараметрические подгруппы и экспоненциальное отображение в группах Ли .

Полные векторные поля

По определению векторное поле на $M$ называется полным, если каждая из его кривых течения существует всегда. ^[6] В частности, векторные поля с компактным носителем на многообразии полны. Если $X$ является полным векторным полем на $M$ , то однопараметрическая группа диффеоморфизмов , порожденная потоком вдоль $X$ существует во все времена; оно описывается гладким отображением

\mathbf {R} \times M\to M.

На компактном многообразии без края каждое гладкое векторное поле полно. Пример неполного векторного поля $V$ на реальной линии $\mathbb {R}$ дается $V(x)=x^{2}$ . В самом деле, дифференциальное уравнение ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ , с начальным условием $x(0)=x_{0}$ , имеет единственное решение ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ если $x_{0}\neq 0$ (и $x(t)=0$ для всех $t\in \mathbb {R}$ если $x_{0}=0$ ). Следовательно, для $x_{0}\neq 0$ , $x(t)$ не определено в ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ поэтому не может быть определено для всех значений $t$ .

Скобка Лжи

Потоки, связанные с двумя векторными полями, не обязаны коммутировать друг с другом. Их некоммутируемость описывается скобкой Ли двух векторных полей, которая снова является векторным полем. Скобка Ли имеет простое определение в терминах действия векторных полей на гладкие функции. $f$ :

[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).

f -родственность

Учитывая гладкую функцию между многообразиями, $f:M\to N$ , производная является индуцированным отображением на касательных расслоениях , $f_{*}:TM\to TN$ . Заданные векторные поля $V:M\to TM$ и $W:N\to TN$ , мы говорим, что $W$ является $f$ -относящийся к $V$ если уравнение $W\circ f=f_{*}\circ V$ держит.

Если $V_{i}$ является $f$ -относящийся к $W_{i}$ , $i=1,2$ , то скобка Ли $[V_{1},V_{2}]$ является $f$ -относящийся к $[W_{1},W_{2}]$ .

Обобщения

Замена векторов на p -векторы ( p -я внешняя степень векторов) дает p -векторные поля; взятие двойственного пространства и внешних степеней дает дифференциальные k -формы , а их объединение дает общие тензорные поля .

Алгебраически векторные поля можно охарактеризовать как дифференцирования алгебры гладких функций на многообразии, что приводит к определению векторного поля на коммутативной алгебре как дифференцирования на алгебре, которое развито в теории дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления . Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Ту, Лоринг В. (2010). «Векторные поля» . Введение в многообразия . Спрингер. п. 149. ИСБН 978-1-4419-7399-3 .
^ Лерман, Евгений (19 августа 2011 г.). «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF) . Определение 3.23.
^ Доубер, П.Г. (1987). Векторы и векторные операторы . ЦРК Пресс. п. 29. ISBN 978-0-85274-585-4 .
^ Беретта, Джан Паоло (01 мая 2020 г.). «Четвертый закон термодинамики: крутой подъем энтропии». Философские труды Королевского общества А. 378 (2170): 20190168.arXiv : 1908.05768 . Бибкод : 2020RSPTA.37890168B . дои : 10.1098/rsta.2019.0168 . ISSN 1471-2962 . S2CID 201058607 .
^ Шарп, Р. (1997). Дифференциальная геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94732-9 .

Библиография

Хаббард, Дж. Х .; Хаббард, Б.Б. (1999). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы. Единый подход . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-657446-7 .
Уорнер, Фрэнк (1983) [1971]. Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3 .
Бутби, Уильям (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Чистая и прикладная математика, том 120 (второе изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. ISBN 0-12-116053-Х .

Внешние ссылки

Онлайн-редактор векторных полей
«Векторное поле» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Векторное поле — Mathworld
Векторное поле — PlanetMath
3D-просмотрщик магнитного поля
Векторные поля и линии поля
Моделирование векторного поля. Интерактивное приложение для демонстрации воздействия векторных полей.

[Galbis-2012-p12-1] Jump up to: ^а ^б Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления . Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3 .

[Tu-2010-p149-2] Jump up to: ^а ^б Ту, Лоринг В. (2010). «Векторные поля» . Введение в многообразия . Спрингер. п. 149. ИСБН 978-1-4419-7399-3 .

[3] Лерман, Евгений (19 августа 2011 г.). «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF) . Определение 3.23.

[4] Доубер, П.Г. (1987). Векторы и векторные операторы . ЦРК Пресс. п. 29. ISBN 978-0-85274-585-4 .

[5] Беретта, Джан Паоло (01 мая 2020 г.). «Четвертый закон термодинамики: крутой подъем энтропии». Философские труды Королевского общества А. 378 (2170): 20190168.arXiv : 1908.05768 . Бибкод : 2020RSPTA.37890168B . дои : 10.1098/rsta.2019.0168 . ISSN 1471-2962 . S2CID 201058607 .

[6] Шарп, Р. (1997). Дифференциальная геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94732-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]