Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах

Примечание. На этой странице используются общепринятые физические обозначения для сферических координат, в которых $\theta$ - это угол между осью z и радиус-вектором, соединяющим начало координат с рассматриваемой точкой, а $\phi$ - угол между проекцией радиуса-вектора на плоскость xy и осью x . Используются несколько других определений, поэтому следует проявлять осторожность при сравнении различных источников. ^[1]

Цилиндрическая система координат

Векторные поля

Векторы определяются в цилиндрических координатах ( ρ , φ , z ), где

ρ — длина вектора, проецируемого на плоскость xy ,
φ - это угол между проекцией вектора на плоскость xy (т. е. ρ ) и положительной осью x (0 ≤ φ < 2 π ),
z — обычная z -координата.

( ρ , φ , z ) задается в декартовых координатах следующим образом:

${\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$

или наоборот: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix}}.$

Любое векторное поле можно записать через единичные векторы как: $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$ Цилиндрические единичные векторы связаны с декартовыми единичными векторами следующим образом: ${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

Примечание: матрица является ортогональной матрицей , то есть ее инверсия — это просто ее транспонирование .

Производная по времени векторного поля

Чтобы узнать, как изменяется векторное поле А во времени, следует вычислить производные по времени.Для этого будем использовать обозначения Ньютона для производной по времени ( ${\dot {\mathbf {A} }}$ ).В декартовых координатах это просто: ${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$

Однако в цилиндрических координатах это выглядит так: ${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}$

Необходимы производные по времени единичных векторов. Их дают: ${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}$

Таким образом, производная по времени упрощается до: ${\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}$

Вторая производная векторного поля по времени

Вторая производная по времени представляет интерес в физике , поскольку она находится в уравнениях движения классических механических систем.Вторая производная по времени векторного поля в цилиндрических координатах определяется выражением: $\mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}$

Чтобы понять это выражение, A заменяется P , где P — вектор ( ρ , φ , z ).

Это означает, что $\mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}}$ .

После замены выдается результат: ${\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}$

В механике члены этого выражения называются:

${\ddot {\rho }}\mathbf {\hat {\rho }}$	центральное ускорение наружу
$-\rho {\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {\rho }}$	центростремительное ускорение
$\rho {\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$	угловое ускорение
$2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$	Эффект Кориолиса
${\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}}$	$z$ -ускорение

Сферическая система координат

Векторные поля

Векторы определяются в сферических координатах ( r , θ , φ ), где

r — длина вектора,
θ - угол между положительной осью Z и рассматриваемым вектором (0 ≤ θ ≤ π ), а
φ — угол между проекцией вектора на плоскость xy и положительной осью X (0 ≤ φ < 2 π ).

( r , θ , φ ) задается в декартовых координатах следующим образом: ${\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$ или наоборот: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Любое векторное поле можно записать через единичные векторы как: $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ Сферические единичные векторы связаны с декартовыми единичными векторами следующим образом: ${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

Примечание: матрица является ортогональной матрицей , то есть ее инверсия — это просто ее транспонирование .

Таким образом, декартовы единичные векторы связаны со сферическими единичными векторами следующим образом: ${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}$

Производная по времени векторного поля

Чтобы узнать, как изменяется векторное поле А во времени, следует вычислить производные по времени.В декартовых координатах это просто: $\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}}$ Однако в сферических координатах это выглядит так: $\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}$ Необходимы производные по времени единичных векторов. Их дают: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}$ Таким образом, производная по времени становится: $\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)$