Зависящее от времени векторное поле

В математике представляет векторное поле, зависящее от времени, собой конструкцию векторного исчисления , обобщающую понятие векторных полей . Его можно рассматривать как векторное поле, которое движется с течением времени. В каждый момент времени он сопоставляет вектор каждой точке евклидова пространства или многообразия .

Определение

Зависящее от времени векторное поле на многообразии M представляет собой отображение открытого подмножества. $\Omega \subset \mathbb {R} \times M$ на $TM$

${\begin{aligned}X:\Omega \subset \mathbb {R} \times M&\longrightarrow TM\\(t,x)&\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M\end{aligned}}$

такой, что для каждого $(t,x)\in \Omega$, $X_{t}(x)$ является элементом $T_{x}M$.

Для каждого $t\in \mathbb {R}$ такой, что набор

$\Omega _{t}=\{x\in M\mid (t,x)\in \Omega \}\subset M$

непусто ​ , $X_{t}$ — векторное поле в обычном смысле, определенное на открытом множестве $\Omega _{t}\subset M$.

Связанное дифференциальное уравнение

Учитывая зависящее от времени векторное поле X на многообразии M , мы можем связать с ним следующее дифференциальное уравнение :

${\frac {dx}{dt}}=X(t,x)$

которое по определению называется неавтономным .

Интегральная кривая

Интегральная кривая приведенного выше уравнения (также называемая интегральной кривой X ) — это отображение

$\alpha :I\subset \mathbb {R} \longrightarrow M$

такой, что $\forall t_{0}\in I$, $(t_{0},\alpha (t_{0}))$ является элементом определения X и области

${\frac {d\alpha }{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{0}}=X(t_{0},\alpha (t_{0}))$.

Эквивалентность с независимыми от времени векторными полями

Зависящее от времени векторное поле $X$ на $M$ можно рассматривать как векторное поле ${\tilde {X}}$ на $\mathbb {R} \times M,$ где ${\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)$ не зависит от $t.$

И наоборот, связанный с зависящим от времени векторным полем $X$ на $M$ является независимым от времени ${\tilde {X}}$

$\mathbb {R} \times M\ni (t,p)\mapsto {\dfrac {\partial }{\partial t}}{\Biggl |}_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)$

на $\mathbb {R} \times M.$ В координатах,

${\tilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).$

Система автономных дифференциальных уравнений для ${\tilde {X}}$ эквивалентен таковому у неавтономных для $X,$ и $x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})$ является биекцией между множествами интегральных кривых $X$ и ${\tilde {X}},$ соответственно.

Поток

Поток , зависящего от времени , векторного поля X представляет собой уникальное дифференцируемое отображение.

$F:D(X)\subset \mathbb {R} \times \Omega \longrightarrow M$

такой, что для каждого $(t_{0},x)\in \Omega$,

$t\longrightarrow F(t,t_{0},x)$

интегральная кривая $\alpha$ X , который удовлетворяет $\alpha (t_{0})=x$.

Характеристики

Мы определяем $F_{t,s}$ как $F_{t,s}(p)=F(t,s,p)$

1. Если $(t_{1},t_{0},p)\in D(X)$ и $(t_{2},t_{1},F_{t_{1},t_{0}}(p))\in D(X)$ затем $F_{t_{2},t_{1}}\circ F_{t_{1},t_{0}}(p)=F_{t_{2},t_{0}}(p)$
2. $\forall t,s$, $F_{t,s}$ является диффеоморфизмом с обратным $F_{s,t}$.

Приложения

Пусть X и Y — гладкие векторные поля, зависящие от времени, и $F$ поток Х. ​Можно доказать следующее тождество:

${\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}Y_{t}\right)\right)_{p}$

Кроме того, мы можем аналогичным образом определить зависящие от времени тензорные поля и доказать это аналогичное тождество, предполагая, что $\eta$ представляет собой гладкое зависящее от времени тензорное поле:

${\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta _{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left({\mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}\eta _{t_{1}}+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}\eta _{t}\right)\right)_{p}$

Это последнее тождество полезно для доказательства теоремы Дарбу .

Ссылки

• Ли, Джон М., Введение в гладкие многообразия , Springer-Verlag, Нью-Йорк (2003). ISBN   0-387-95495-3 . Учебник для аспирантов по гладким многообразиям.