Теорема Дарбу

Эта статья о теореме Дарбу в дифференциальной геометрии. Для получения информации о теореме Дарбу, связанной с теоремой о промежуточном значении , см. Теорему Дарбу (анализ) .

В дифференциальной геометрии , области математики , теорема Дарбу — это теорема, обеспечивающая нормальную форму для специальных классов дифференциальных 1-форм , частично обобщающая теорему интегрирования Фробениуса . Он назван в честь Жана Гастона Дарбу. который установил это как решение проблемы Пфаффа .

Это основополагающий результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия . Действительно, одним из многих его следствий является то, что любые два симплектических многообразия одной и той же размерности локально симплектоморфны друг другу. То есть каждый $2n$-мерное симплектическое многообразие может быть локально похоже на линейное симплектическое пространство. $\mathbb {C} ^{n}$ с его канонической симплектической формой.

Аналогичное следствие теоремы имеется и в применении к контактной геометрии .

Заявление

Предположим, что $\theta$ является дифференциальной 1-формой на $n$-мерное многообразие такое, что $\mathrm {d} \theta$ имеет постоянный ранг $p$. Затем

• если $\theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0$ везде, то существует локальная система координат $(x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})$ в котором $$\theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};$$
• если $\theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0$ везде, то существует локальная система координат $(x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})$ в котором $$\theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.$$

В оригинальном доказательстве Дарбу использовалась индукция по $p$ и его можно эквивалентно представить в терминах распределений или дифференциальных идеалов .

Теория Фробениуса

Теорема Дарбу для $p=0$ гарантирует, что любая 1-форма $\theta \neq 0$ такой, что $\theta \wedge d\theta =0$ можно записать как $\theta =dx_{1}$ в некоторой системе координат $(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

Это восстанавливает одну из формулировок теоремы Фробениуса в терминах дифференциальных форм: если ${\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)$ является дифференциальным идеалом, порожденным $\theta$, затем $\theta \wedge d\theta =0$ подразумевает существование системы координат $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ где ${\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)$ на самом деле генерируется $dx_{1}$.

Теорема Дарбу для симплектических многообразий

Предположим, что $\omega$ является симплектической 2-формой на $n=2m$-мерное многообразие $M$. В окрестности каждой точки $p$ из $M$, по лемме Пуанкаре существует 1-форма $\theta$ с $\mathrm {d} \theta =\omega$. Более того, $\theta$ удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта $U$ около $p$ в котором $$\theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.$$

Взятие внешней производной теперь показывает

$$\omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.$$

Диаграмма $U$ говорят, что это диаграмма Дарбу вокруг $p$. Многообразие $M$ можно охватить такими диаграммами.

Чтобы сформулировать это по-другому, определите $\mathbb {R} ^{2m}$ с $\mathbb {C} ^{m}$ позволяя $z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}$. Если $\varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}$представляет собой диаграмму Дарбу, то $\omega$ может быть записано как возврат к стандартной симплектической форме $\omega _{0}$ на $\mathbb {C} ^{n}$:

$\omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,$

Современное доказательство этого результата без использования общего утверждения Дарбу об 1-формах проводится с использованием трюка Мозера .

Сравнение с римановой геометрией

Теорема Дарбу для симплектических многообразий подразумевает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: базис Дарбу всегда можно взять , действительный вблизи любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии , где кривизна является локальным инвариантом, препятствующим тому, чтобы метрика локально представляла собой сумму квадратов координатных дифференциалов.

Разница в том, что теорема Дарбу утверждает, что $\omega$ можно заставить принять стандартную форму во всем районе вокруг $p$. В римановой геометрии метрике всегда можно придать стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.

Теорема Дарбу для контактных многообразий

Другой частный случай возникает, когда $n=2p+1$; если $\theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0$ везде, тогда $\theta$ это контактная форма . Более простое доказательство можно дать, как и в случае симплектических структур, используя прием Мозера .

Теорема Дарбу-Вайнштейна

Алан Вайнштейн показал, что теорему Дарбу для симплетических многообразий можно усилить, чтобы она сохранялась окрестности подмногообразия в :

Позволять $M$ — гладкое многообразие, наделенное двумя симплектическими формами $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$, и пусть $N\subset M$ быть замкнутым подмногообразием. Если $\left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}$, то существует окрестность $U$ из $N$ в $M$ и диффеоморфизм $f:U\to U$ такой, что $f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}$.

Стандартная теорема Дарбу восстанавливается, когда $N$ это точка и $\omega _{2}$ — стандартная симплектическая структура на координатной карте.

Эта теорема справедлива и для бесконечномерных банаховых многообразий .

См. также

• Теорема Каратеодори–Якоби–Ли , обобщение этой теоремы.
• трюк Мозера
• Симплектический базис

Внешние ссылки

• Ж. Дарбу, «О проблеме Пфаффа», пер. от Д. Х. Дельфениха
• Ж. Дарбу, «О проблеме Пфаффа (продолжение)», пер. от Д. Х. Дельфениха