Теорема Каратеодори–Якоби–Ли

Каратеодори Якоби - - , Ли Теорема — теорема симплектической геометрии обобщающая теорему Дарбу .

Заявление

Пусть M — 2 n -мерное симплектическое многообразие с симплектической формой ω. Для p ∈ M и r ⩽ n , пусть f ₁ , f ₂ , ..., f _r — гладкие функции, определенные в открытой окрестности V точки p которой , дифференциалы в линейно независимы каждой точке, или, что то же самое,

$df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,$

где {f _i , f _j } = 0. (Другими словами, они попарно находятся в инволюции.) Здесь {–,–} – скобка Пуассона . Тогда существуют функции f _r+1 , ..., f _n , g ₁ , g ₂ , ..., g _n, определенные на открытой окрестности U ⊂ V точки p, такие, что (fi _, gi ₎ является симплектическим карта M , т. е . ω выражается на U как

$\omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}.$

Приложения

В качестве прямого применения мы имеем следующее. Учитывая гамильтонову систему как $(M,\omega ,H)$ где M — симплектическое многообразие симплектической формы $\omega$ и H — функция Гамильтона вокруг каждой точки, где $dH\neq 0$ существует симплектическая карта такая, что одна из ее координат равна H .

Ссылки

• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN  978-1-4419-9981-8 .
• Либерманн, П.; Марль, Шарль-Мишель (6 декабря 2012 г.). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . ISBN  9789400938076 .