Линии оптимизации, полосы и пути

Красная частица движется в текущей жидкости; его *путь* отмечен красным; Конец следа синих чернил, выпущенных из источника, следует за частицей, но в отличие от статической линии пути (которая фиксирует более раннее движение точки), чернила, выпущенные после ухода красной точки, продолжают двигаться вверх вместе с потоком. (Это *полоска* .) Пунктирные линии представляют собой контуры поля скоростей ( *линии тока* ), показывающие движение всего поля одновременно. ( *См. версию в высоком разрешении .* )

Линии тока , полоски и траектории представляют собой линии поля в потоке жидкости .Они различаются только тогда, когда поток меняется со временем, то есть когда поток не является стационарным . ^[1]^[2]Рассматривая скорости векторное поле в трехмерном пространстве в рамках механики сплошной среды , мы имеем следующее:

Линии тока представляют собой семейство кривых векторы которых , касательные составляют векторное поле скорости потока. Они показывают направление, в котором безмассовый жидкий элемент будет двигаться в любой момент времени. ^[3]
Полосы — это координаты точек всех частиц жидкости, которые в прошлом непрерывно проходили через определенную пространственную точку. Краситель, постепенно впрыскиваемый в жидкость в фиксированной точке (как при трассировке красителем ), распространяется вдоль полосовой линии.
Линии путей — это траектории , по которым следуют отдельные частицы жидкости. Их можно рассматривать как «запись» пути жидкого элемента в потоке за определенный период. Направление пути будет определяться линиями тока жидкости в каждый момент времени.
Временные шкалы — это линии, образованные набором частиц жидкости, которые были отмечены в предыдущий момент времени, создавая линию или кривую, которая смещается во времени по мере движения частиц.

По определению, разные линии тока в один и тот же момент потока не пересекаются, поскольку частица жидкости не может иметь две разные скорости в одной и той же точке. Однако линиям пути разрешено пересекать самих себя или другие линии пути (за исключением начальной и конечной точек разных линий пути, которые должны быть разными). Полосы также могут пересекать себя и другие линии.

Линии потока и временные шкалы дают представление о некоторых характеристиках поля потока, тогда как линии потока и траектории зависят от полной временной истории потока. Однако часто последовательности временных шкал (и полос) в разные моменты времени, представленные либо в одном изображении, либо в видеопотоке, могут использоваться, чтобы дать представление о потоке и его истории.

Если линия, кривая или замкнутая кривая используется в качестве начальной точки для непрерывного набора линий тока, результатом является поверхность потока . В случае замкнутой кривой устойчивого потока жидкость, находящаяся внутри поверхности потока, должна навсегда оставаться внутри этой же поверхности потока, поскольку линии тока касаются скорости потока. Скалярная функция, контурные линии которой определяют линии тока, известна как функция потока .

Линия красителя может относиться либо к полоске: краситель постепенно высвобождается из фиксированного места в течение времени; или это может относиться к временной шкале: линия красителя, нанесенная мгновенно в определенный момент времени и наблюдаемая в более поздний момент.

Математическое описание

Оптимизирует

Направление силовых линий магнитного поля представляет собой линии тока, представленные расположением железных опилок, насыпанных на бумагу, помещенную над стержневым магнитом.

Линии оптимизации определяются ^[4] ${d{\vec {x}}_{S} \over ds}\times {\vec {u}}({\vec {x}}_{S})={\vec {0}},$ где " $\times$ "обозначает векторное векторное произведение и ${\vec {x}}_{S}(s)$ — это параметрическое представление только одной линии тока в один момент времени.

Если компоненты скорости записаны ${\vec {u}}=(u,v,w),$ и линии тока как ${\vec {x}}_{S}=(x_{S},y_{S},z_{S}),$ мы делаем вывод ^[4] ${dx_{S} \over u}={dy_{S} \over v}={dz_{S} \over w},$ что показывает, что кривые параллельны вектору скорости. Здесь $s$ – переменная , которая параметризует кривую $s\mapsto {\vec {x}}_{S}(s).$ Линии тока рассчитываются мгновенно, то есть в один момент времени они рассчитываются по всей жидкости на основе мгновенного скорости потока поля .

Трубка потока состоит из пучка обтекаемых линий, подобно кабелю связи.

Уравнение движения жидкости по линии тока для течения в вертикальной плоскости имеет вид: ^[5] ${\frac {\partial c}{\partial t}}+c{\frac {\partial c}{\partial s}}=\nu {\frac {\partial ^{2}c}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}}-g{\frac {\partial z}{\partial s}}$

Скорость потока в направлении $s$ линии тока обозначается $c$ . $r$ – радиус кривизны линии тока. Плотность жидкости обозначается $\rho$ и кинематическая вязкость по $\nu$ . ${\frac {\partial p}{\partial s}}$ градиент давления и ${\frac {\partial c}{\partial s}}$ градиент скорости вдоль линии тока. Для установившегося течения производная скорости по времени равна нулю: ${\frac {\partial c}{\partial t}}=0$ . $g$ обозначает гравитационное ускорение.

Пути

Пути определяются ${\begin{cases}{\dfrac {d{\vec {x}}_{P}}{dt}}(t)={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{P}(t),t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{P}(t_{0})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}$

Нижний индекс $P$ указывает на то, что мы следим за движением частицы жидкости. Обратите внимание, что в момент ${\vec {x}}_{P}$ кривая параллельна вектору скорости потока ${\vec {u}}$ , где вектор скорости оценивается в положении частицы ${\vec {x}}_{P}$ в это время $t$ .

Полосы

Пример полосковой линии, используемой для визуализации обтекания автомобиля внутри аэродинамической трубы.

Полосы могут быть выражены как: ${\begin{cases}\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}_{str}}{dt}}={\vec {u}}_{P}({\vec {x}}_{str},t)\\[1.2ex]{\vec {x}}_{str}(t=\tau _{P})={\vec {x}}_{P0}\end{cases}}$ где, ${\vec {u}}_{P}({\vec {x}},t)$ это скорость частицы $P$ на месте ${\vec {x}}$ и время $t$ . Параметр $\tau _{P}$ , параметризует полосу ${\vec {x}}_{str}(t,\tau _{P})$ и $t_{0}\leq \tau _{P}\leq t$ , где $t$ это время интереса.

Устойчивые потоки

В установившемся потоке (когда вектор-поле скорости не меняется со временем) линии тока, траектории и полоски совпадают. Это связано с тем, что когда частица на линии тока достигает точки, $a_{0}$ , дальше по этой линии тока уравнения, управляющие потоком, направят его в определенном направлении ${\vec {x}}$ . Поскольку уравнения, управляющие потоком, остаются прежними, когда другая частица достигает $a_{0}$ оно также пойдет в направлении ${\vec {x}}$ . Если поток неустойчив, то, когда следующая частица достигнет позиции $a_{0}$ поток изменился бы, и частица пошла бы в другом направлении.

Это полезно, потому что обычно очень сложно рассмотреть линии тока в эксперименте. Однако, если поток устойчив, можно использовать штриховые линии для описания структуры линий тока.

Зависимость от кадра

Линии оптимизации зависят от кадра. То есть линии тока, наблюдаемые в одной инерциальной системе отсчета, отличаются от линий тока, наблюдаемых в другой инерциальной системе отсчета. Например, линии тока в воздухе вокруг самолета крыла определяются по-разному для пассажиров самолета, чем для наблюдателя на земле. В примере с самолетом наблюдатель на земле будет наблюдать нестационарный поток, а наблюдатели в самолете будут наблюдать устойчивый поток с постоянными линиями тока. Когда это возможно, специалисты по гидродинамике пытаются найти систему отсчета, в которой поток является устойчивым, чтобы они могли использовать экспериментальные методы создания полосовых линий для идентификации линий тока.

Приложение

Знание линий тока может быть полезно в гидродинамике. Кривизна линии тока связана с градиентом давления , действующим перпендикулярно линии тока. Центр кривизны линии тока лежит в направлении уменьшения радиального давления. Величину радиального градиента давления можно рассчитать непосредственно по плотности жидкости, кривизне линии тока и местной скорости.

Краситель можно использовать в воде или дымить в воздухе, чтобы увидеть полосы, по которым можно рассчитать пути. Линии полос идентичны линиям тока для устойчивого потока. Кроме того, краситель можно использовать для создания временных рамок. ^[6] Эти шаблоны позволяют вносить изменения в конструкцию, направленные на уменьшение сопротивления. Эта задача известна как оптимизация , а полученная в результате конструкция называется оптимизацией . Обтекаемые объекты и организмы, такие как аэродинамические профили , обтекаемые самолеты , автомобили и дельфины , часто эстетически приятны для глаз. Стиль Streamline Moderne , ответвление ар-деко 1930-х и 1940-х годов , привнес плавные линии в архитектуру и дизайн той эпохи. Канонический пример обтекаемой формы — куриное яйцо , обращенное тупым концом вперед. Это ясно показывает, что кривизна передней поверхности может быть намного круче, чем задняя часть объекта. Большая часть сопротивления вызвана завихрениями жидкости позади движущегося объекта, и цель должна заключаться в том, чтобы позволить жидкости замедлиться после прохождения вокруг объекта и восстановить давление, не образуя завихрений.

С тех пор эти же термины стали общепринятыми для описания любого процесса, сглаживающего операцию. Например, часто можно услышать упоминания об оптимизации деловой практики или операций. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Примечания и ссылки

Примечания

^ Бэтчелор, Г. (2000). Введение в механику жидкости .
^ Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .
^ «Определение линий оптимизации» . www.grc.nasa.gov . Архивировано из оригинала 18 января 2017 года . Проверено 4 октября 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Дуврские публикации. ISBN 0-486-68356-7 . , стр. 422–425.
^ техническая наука (22 апреля 2020 г.). «Уравнение движения жидкости по линии тока» . техническая наука . Проверено 7 мая 2020 г.
^ «Визуализация потока» . Национальный комитет фильмов по механике жидкости (NCFMF). Архивировано из оригинала ( RealMedia ) 3 января 2006 г. . Проверено 20 апреля 2009 г.

Ссылки

Фабер, Т.Е. (1995). Гидродинамика для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42969-2 .

Внешние ссылки

[Batchelor-1] Бэтчелор, Г. (2000). Введение в механику жидкости .

[Kundu-2] Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .

[3] «Определение линий оптимизации» . www.grc.nasa.gov . Архивировано из оригинала 18 января 2017 года . Проверено 4 октября 2023 г.

[Granger-4] Jump up to: ^а ^б Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Дуврские публикации. ISBN 0-486-68356-7 . , стр. 422–425.

[5] техническая наука (22 апреля 2020 г.). «Уравнение движения жидкости по линии тока» . техническая наука . Проверено 7 мая 2020 г.

[6] «Визуализация потока» . Национальный комитет фильмов по механике жидкости (NCFMF). Архивировано из оригинала ( RealMedia ) 3 января 2006 г. . Проверено 20 апреля 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]