Элементарный поток

В более широком контексте уравнений Навье-Стокса (и особенно в контексте теории потенциала ) элементарные потоки представляют собой базовые потоки, которые можно комбинировать, используя различные методы, для создания более сложных потоков. В данной статье термин «поток» используется взаимозаменяемо с термином «решение» по историческим причинам.

Методы, используемые для создания более сложных решений, могут быть например, с помощью суперпозиции , с помощью таких методов, как топология, или рассмотрения их как локальных решений в определенной окрестности, подобласти или пограничном слое и объединения их вместе. Элементарные потоки можно рассматривать как основные строительные блоки ( фундаментальные решения , локальные решения и солитоны ) различных типов уравнений, полученных из уравнений Навье-Стокса. Некоторые из потоков отражают определенные ограничения, такие как несжимаемые или безвихревые потоки или и то, и другое, как в случае потенциального потока , а некоторые из потоков могут быть ограничены случаем двух измерений.

Из-за связи между гидродинамикой и теорией поля элементарные течения имеют отношение не только к аэродинамике , но и ко всей теории поля в целом. Если рассматривать это в перспективе, пограничные слои можно интерпретировать как топологические дефекты на типичных многообразиях , а учитывая аналогии гидродинамики и предельные случаи в электромагнетизме , квантовой механике и общей теории относительности, можно увидеть, что все эти решения лежат в основе последних разработок в теоретической физике. такие как дуальность ad/cft, модель SYK, физика нематических жидкостей, сильно коррелированные системы и даже кварк-глюонная плазма.

Двумерный равномерный поток

Потенциальные линии потока для идеального равномерного потока

Для установившегося пространственно-однородного течения жидкости в плоскости xy вектор скорости равен

$\mathbf {v} =v_{0}\cos(\theta _{0})\,\mathbf {e} _{x}+v_{0}\sin(\theta _{0})\,\mathbf {e} _{y}$

где

$v_{0}$ - абсолютная величина скорости (т.е. $v_{0}=|\mathbf {v} |$);

$\theta _{0}$ - угол, который образует вектор скорости с положительной осью x ( $\theta _{0}$ положителен для углов, измеренных против часовой стрелки от положительной оси x ); и

$\mathbf {e} _{x}$ и $\mathbf {e} _{y}$ — единичные базисные векторы системы координат xy .

Поскольку этот поток несжимаем (т.е. $\nabla \cdot \mathbf {v} =0$) и двумерный, его скорость может быть выражена через функцию тока , $\psi$:

$v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}$

$v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

где

$\psi =\psi _{0}-v_{0}\sin(\theta _{0})\,x+v_{0}\cos(\theta _{0})\,y$

и $\psi _{0}$ является константой.

В цилиндрических координатах:

$v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}$

$v_{\theta }={\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

и

$\psi =\psi _{0}+v_{0}\,r\sin(\theta -\theta _{0})$

Этот поток является безвихревым (т.е. $\nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$), поэтому ее скорость можно выразить через потенциальную функцию, $\phi$:

$v_{x}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$

$v_{y}=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}$

где

$\phi =\phi _{0}-v_{0}\cos(\theta _{0})\,x-v_{0}\sin(\theta _{0})\,y$

и $\phi _{0}$ является константой.

В цилиндрических координатах

$v_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}$

$v_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}$

$\phi =\phi _{0}-v_{0}\,r\cos(\theta -\theta _{0})$

Двумерный линейный источник

Потенциальные линии оптимизации потока для идеального линейного источника

Случай вертикальной линии, испускающей с фиксированной скоростью постоянное количество жидкости Q на единицу длины, является источником линии. Задача имеет цилиндрическую симметрию и может рассматриваться в двух измерениях на ортогональной плоскости.

Линейные источники и линейные стоки (ниже) являются важными элементарными потоками, поскольку они играют роль монополя для несжимаемых жидкостей (которые также можно рассматривать как примеры соленоидальных полей , т.е. полей без дивергенции). Общие схемы течения также могут быть разложены с точки зрения мультипольных разложений таким же образом, как и для электрических и магнитных полей, где монополь по существу является первым нетривиальным (например, постоянным) членом разложения.

Эта картина течения также является безвихревой и несжимаемой.

Это характеризуется цилиндрической симметрией:

$\mathbf {v} =v_{r}(r)\mathbf {e} _{r}$

Где общий исходящий поток постоянен

$\int _{S}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\int _{0}^{2\pi }(v_{r}(r)\,\mathbf {e} _{r})\cdot (\mathbf {e} _{r}\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{r}(r)=Q$

Поэтому,

$v_{r}={\frac {Q}{2\pi r}}$

Это получено из функции потока

$\psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta$

или из потенциальной функции

$\phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r$

Двумерная линейная раковина

Случай, когда вертикальная линия поглощает с фиксированной скоростью постоянное количество жидкости Q на единицу длины, является стоком линии. Все так же, как и в случае с источником линии со знаком минус.

$v_{r}=-{\frac {Q}{2\pi r}}$

Это получено из функции потока

$\psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta$

или из потенциальной функции

$\phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r$

Учитывая, что эти два результата являются одинаковыми, начиная со знака минус, мы можем прозрачно рассматривать как линейные источники, так и линейные стоки с одними и теми же функциями потока и потенциала, позволяя Q принимать как положительные, так и отрицательные значения и включать знак минус в определение Q. .

Двумерный дублетный или дипольный линейный источник

Потенциальные линии тока для идеальной дублетной или дипольной линии.

Если мы рассмотрим источник линии и приемник линии на расстоянии d, мы можем повторно использовать приведенные выше результаты, и функция потока будет иметь вид

$\psi (\mathbf {r} )=\psi _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {d} /2)-\psi _{Q}(\mathbf {r} +\mathbf {d} /2)\ \simeq \mathbf {d} \cdot \nabla \psi _{Q}(\mathbf {r} )$

Последнее приближение имеет первый порядок по d.

Данный

$\mathbf {d} =d[\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+\sin(\theta _{0})\mathbf {e} _{y}]=d[\cos(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{r}+\sin(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{\theta }]$

Остается

$\psi (r,\theta )=-{\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r}}$

Тогда скорость

$v_{r}(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}$

$v_{\theta }(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}$

А потенциал вместо этого

$\phi (r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r}}$

Двумерная вихревая линия

Потенциальные линии тока для идеальной вихревой линии

Это случай вихревой нити, вращающейся с постоянной скоростью, имеется цилиндрическая симметрия и задача может быть решена в ортогональной плоскости.

В отличие от рассмотренного выше случая линейных источников, вихревые линии играют роль монополей для безвихревых потоков .

Также в этом случае поток также является безвихревым и несжимаемым и, следовательно, представляет собой случай потенциального потока .

Это характеризуется цилиндрической симметрией:

$\mathbf {v} =v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta }$

Где общая циркуляция постоянна для каждой замкнутой линии вокруг центрального вихря.

$\oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {s} =\int _{0}^{2\pi }(v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta })\cdot (\mathbf {e} _{\theta }\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{\theta }(r)=\Gamma$

и равен нулю для любой линии, не включая вихрь.

Поэтому,

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$

Это получено из функции потока

$\psi (r,\theta )={\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln r$

или из потенциальной функции

$\phi (r,\theta )=-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\theta$

Это двойственно предыдущему случаю линейного источника.

Общий двумерный потенциальный поток

Учитывая несжимаемый двумерный поток, который также является безвихревым, мы имеем:

$\nabla ^{2}\psi =0$

Что находится в цилиндрических координатах

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}=0$

Ищем решение с разделенными переменными:

$\psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$

что дает

${\frac {r}{R(r)}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR(r)}{dr}}\right)=-{\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}$

Учитывая, что левая часть зависит только от r , а правая часть зависит только от $\theta$, две части должны быть равны константе, не зависящей от r и $\theta$. Константа должна быть положительной .Поэтому,

$r{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d}{dr}}R(r)\right)=m^{2}R(r)$

${\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}=-m^{2}\Theta (\theta )$

Решение второго уравнения представляет собой линейную комбинацию $e^{im\theta }$ и $e^{-im\theta }$Чтобы иметь однозначную скорость (а также однозначную функцию тока), m должно быть положительным целым числом.

поэтому наиболее общее решение дается выражением

$\psi =\alpha _{0}+\beta _{0}\ln r+\sum _{m>0}{\left(\alpha _{m}r^{m}+\beta _{m}r^{-m}\right)\sin {[m(\theta -\theta _{m})]}}$

Вместо этого потенциал определяется выражением

$\phi =\alpha _{0}-\beta _{0}\theta +\sum _{m\mathop {>} 0}{(\alpha _{m}r^{m}-\beta _{m}r^{-m})\cos {[m(\theta -\theta _{m})]}}$

Ссылки

• Фитцпатрик, Ричард (2017), Теоретическая гидродинамика , наука о ВГД, ISBN  978-0-7503-1554-8
• Фабер, TE (1995), Гидродинамика для физиков , Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780511806735

Специфический

Дальнейшее чтение

• Бэтчелор, Г.К. (1973), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-09817-5
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости , CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN  978-0-415-49271-3
• Ламб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-45868-9
• Милн-Томсон, LM (1996) [1968], Теоретическая гидродинамика (5-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-68970-8

Внешние ссылки

• Ричард Фитцпатрик , Техасский университет, Остин (2017). «Механика жидкости» . Техасский университет, Остин . Проверено 7 февраля 2018 г.

• (c) Аэрокосмическая, механическая и мехатронная инженерия. 2005 г. Сиднейский университет (2005 г.). «Элементы потенциального потока» . Университет Сиднея . Проверено 19 апреля 2019 г. {{cite web}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )