Теорема Ли – Пале

В дифференциальной геометрии , области математики, теорема Ли-Пале является частичным обращением к тому факту, что любое гладкое действие группы Ли индуцирует бесконечно малое действие ее алгебры Ли. Пале ( 1957 ) доказал это как глобальную форму более ранней локальной теоремы Софуса Ли .

Заявление

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли и $M$ , замкнутое многообразие т. е. компактное гладкое многообразие без края . Тогда любое бесконечно малое действие $a:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ из ${\mathfrak {g}}$ на $M$ может быть интегрирован в плавное действие конечной группы Lie Group $G$, т.е. есть плавное действие $\Phi :G\times M\to M$ так что $a(\alpha )=d_{e}\Phi (\cdot ,x)(\alpha )$ на каждый $\alpha \in {\mathfrak {g}}$.

Если $M$ это многообразие с границей , утверждение верно, если действие $a$ сохраняет границу; Другими словами, векторные поля на границе должны быть касались границы.

Контрпримеры

Пример векторного поля $d/dx$ В интервале открытого блока показывает, что результат неверно для некомпактных коллекторов.

Аналогично, без предположения, что алгебра Ли конечномерна, результат может быть ложным. Милнор (1984 , стр. 1048) приводит следующий пример, принадлежащий Омори: рассмотрим алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ векторных полей вида $f(x,y)\partial /\partial x+g(x,y)\partial /\partial y$ действующий на тор $M=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ так что $g(x,y)=0$ для $0\leq x\leq 1/2$Полем Эта алгебра Lie не является алгеброй лей какой -либо группы.

Бесконечномерное обобщение

Пестов (1995) дает бесконечномерное обобщение теоремы Ли–Пале для алгебр Банаха–Ли с конечномерным центром .

Ссылки

• Милнор, Джон Уиллард (1984), «Замечания о бесконечномерных группах Ли», Относительность, группы и топология, II (Les Houches, 1983) , Амстердам: Северная Голландия, стр. 1007–1057, MR   0830252. Перепечатано в собрании сочинений. том 5.
• Пале, Ричард С. (1957), «Глобальная формулировка теории Ли групп преобразований», Мемуары Американского математического общества , 22 : iii+123, ISBN  978-0-8218-1222-8 , ISSN   0065-9266 , МР   0121424
• Пестов, Владимир (1995), «Регулярные группы Ли и теорема Ли-Пале», Journal of Lie Theory , 5 (2): 173–178, arXiv : funct-an/9403004 , Bibcode : 1994funct.an..3004P , ISSN   0949-5932 , МР   1389427