Сложная дифференциальная форма

В математике комплексная дифференциальная форма — это дифференциальная форма на многообразии (обычно комплексном многообразии ), которому разрешено иметь комплексные коэффициенты.

Комплексные формы имеют широкое применение в дифференциальной геометрии . На комплексных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для большей части алгебраической геометрии , геометрии Кэлера и теории Ходжа . Над некомплексными многообразиями они также играют роль в изучении почти комплексных структур , теории спиноров и CR-структур .

Обычно сложные формы рассматриваются из-за некоторой желательной декомпозиции, которую допускают эти формы. Например, на комплексном многообразии любая комплексная k -форма может быть однозначно разложена в сумму так называемых ( p , q )-форм : грубо говоря, клиньев p дифференциалов голоморфных координат с q дифференциалами их комплексно-сопряженных форм. Ансамбль ( p , q )-форм становится примитивным объектом изучения и определяет более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k -формы. Существуют, например, еще более тонкие структуры в тех случаях, когда применима теория Ходжа .

Дифференциальные формы на комплексном многообразии

Предположим, что M — комплексное многообразие комплексной размерности n . Тогда существует локальная система координат, состоящая из n комплексных функций z ¹, ..., С ^н такие, что переходы координат от одного участка к другому являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство комплексных форм имеет богатую структуру, фундаментально зависящую от того факта, что эти функции перехода голоморфны, а не просто гладкие .

Одноформы

Начнем со случая одноформ. Сначала разложим комплексные координаты на действительную и мнимую части: z ^дж = х ^дж + запах ^дж для каждого j . Сдача в аренду

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},

видно, что любую дифференциальную форму с комплексными коэффициентами можно однозначно записать в виде суммы

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

Пусть Ω ^1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащее только $dz$ 's и Ω ^0,1 быть пространством форм, содержащим только $d{\bar {z}}$ х. можно показать С помощью уравнений Коши–Римана , что пространства Ω ^1,0 и Ом ^0,1 устойчивы при голоморфных изменениях координат. Другими словами, если сделать другой выбор w _i голоморфной системы координат, то элементы Ω ^1,0 преобразуются тензорно , как и элементы Ω ^0,1. Таким образом, пространства Ω ^0,1 и Ом ^1,0 определить комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.

Формы высшей степени

Клиновое произведение комплексных дифференциальных форм определяется так же, как и вещественных форм. Пусть p и q — пара целых неотрицательных чисел ≤ n . Пространство Ω ^{п, д} ( p , q )-форм определяется путем взятия линейных комбинаций клиновых произведений p элементов из Ω ^1,0 и q элементов из Ω ^0,1. Символически,

\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}

где существует p множителей Ω ^1,0 и q- факторы Ω ^0,1. Как и два пространства 1-форм, они устойчивы относительно голоморфных замен координат и, таким образом, определяют векторные расслоения.

Если Е ^к — пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k , то каждый элемент E ^к единственным образом выражается как линейная комбинация элементов из пространств Ω ^{п, д} с p + q знак равно k . Более кратко, существует в прямую сумму разложение

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

Поскольку это разложение в прямую сумму устойчиво при голоморфных изменениях координат, оно также определяет разложение векторного расслоения.

В частности, для каждого k и каждого p и q с p + q = k существует каноническая проекция векторных расслоений

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

Операторы Дольбо

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений $d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}$ с помощью

d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}

Внешняя производная сама по себе не отражает более жесткую сложную структуру многообразия.

Используя d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить операторы Дольбо :

\partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}

Для описания этих операторов в локальных координатах пусть

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}

где I и J — мультииндексы . Затем

\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

Видно, что сохраняются следующие свойства:

d=\partial +{\bar {\partial }}

\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.

Эти операторы и их свойства составляют основу когомологий Дольбо и многих аспектов теории Ходжа .

В звездообразной области комплексного многообразия операторы Дольбо имеют двойственные гомотопические операторы. ^[1] которые являются результатом расщепления гомотопического оператора для $d$ . ^[1] Это содержание леммы Пуанкаре о комплексном многообразии.

Лемма Пуанкаре для ${\bar {\partial }}$ и $\partial$ может быть улучшено в дальнейшем на местном уровне $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма , которая показывает, что каждый $d$ -точная комплексная дифференциальная форма на самом деле $\partial {\bar {\partial }}$ -точный. На компактных кэлеровых многообразиях глобальная форма локального $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма, известная как $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма . Это следствие теории Ходжа и утверждает, что комплексная дифференциальная форма, которая глобально $d$ -точный (другими словами, чей класс в когомологиях де Рама равен нулю) глобально $\partial {\bar {\partial }}$ -точный.

Голоморфные формы

Для каждого p голоморфная p - форма является голоморфным сечением расслоения Ω ^{п ,0}. Тогда в локальных координатах голоморфную p -форму можно записать в виде

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

где $f_{I}$ являются голоморфными функциями. Эквивалентно и в силу независимости комплексно-сопряженной формы ( p , 0)-форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

{\bar {\partial }}\alpha =0.

Пучок p голоморфных -форм часто обозначают Ω ^п, хотя иногда это может привести к путанице, поэтому многие авторы склонны использовать альтернативные обозначения.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3). Раздел 4: 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 199472766 .

П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. стр. 23–25. ISBN 0-471-05059-8 .
Уэллс, Р.О. (1973). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90419-0 .
Вуазен, Клэр (2008). Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521718011 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3). Раздел 4: 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 199472766 .

[1]