лемма о ддбаре

В сложной геометрии $\partial {\bar {\partial }}$ Лемма (произносится как ddbar lemma ) — математическая лемма о когомологий де Рама классе комплексной дифференциальной формы . $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма является результатом теории Ходжа и тождеств Кэлера на компактном кэлеровом многообразии . Иногда его еще называют $dd^{c}$ -лемма, из-за использования родственного оператора ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ , причем связь между двумя операторами равна $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ и так $\alpha =dd^{c}\beta$ . ^[1]^: 1.17^[2]^{: Лем 5,50}

Заявление

The $\partial {\bar {\partial }}$ лемма утверждает, что если $(X,\omega )$ является компактным кэлеровым многообразием и $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ является комплексной дифференциальной формой бистепени (p,q) (с $p,q\geq 1$ ) чей класс $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ равен нулю в когомологиях де Рама, то существует форма $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ бистепени (p-1,q-1) такая, что

$\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,$

где $\partial$ и ${\bar {\partial }}$ являются операторами Дольбо комплексного многообразия $X$ . ^[3]^{: Глава VI, Лем 8.6.}

потенциал ддбара

Форма $\beta$ называется $\partial {\bar {\partial }}$ -потенциал $\alpha$ . Включение фактора $i$ гарантирует, что $i\partial {\bar {\partial }}$ является вещественным дифференциальным оператором, то есть если $\alpha$ является дифференциальной формой с действительными коэффициентами, то также $\beta$ .

Эту лемму следует сравнить с понятием точной дифференциальной формы в когомологиях де Рама. В частности, если $\alpha \in \Omega ^{k}(X)$ — замкнутая дифференциальная k-форма (на любом гладком многообразии), класс которой равен нулю в когомологиях де Рама, то $\alpha =d\gamma$ для некоторой дифференциальной (k-1)-формы $\gamma$ назвал $d$ -потенциал (или просто потенциал ) $\alpha$ , где $d$ является внешней производной . Действительно, поскольку сумма операторов Дольбо дает внешнюю производную $d=\partial +{\bar {\partial }}$ и квадрат, чтобы дать ноль $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ , $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма означает, что $\gamma ={\bar {\partial }}\beta$ , совершенствование $d$ -потенциал к $\partial {\bar {\partial }}$ -потенциал в случае компактных кэлеровых многообразий.

Доказательство

The $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма является следствием теории Ходжа, примененной к компактному кэлерову многообразию. ^[3]^[1]^: 41–44^[2]^: 73–77

Теорему Ходжа для эллиптического комплекса можно применить к любому из операторов $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ и соответственно их операторам Лапласа $\Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}$ . Этим операторам можно определить пространства гармонических дифференциальных форм, заданных ядрами:

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}$

Теорема о разложении Ходжа утверждает, что существует три ортогональных разложения, связанных с этими пространствами гармонических форм, заданными формулами

${\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}$

где $d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ являются сопряжениями формальными $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ относительно римановой метрики кэлерова многообразия соответственно. ^[4]^{: Тэм. 3.2.8} Эти разложения выполняются отдельно на любом компактном комплексном многообразии. Важность того, что многообразие является кэлеровым, заключается в том, что существует связь между лапласианами $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ и, следовательно, ортогональных разложений, приведенных выше. В частности, на компактном кэлеровом многообразии

$\Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}$

что подразумевает ортогональное разложение

${\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}$

где есть дальнейшие отношения ${\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}$ связывающие пространства $\partial$ и ${\bar {\partial }}$ -гармонические формы. ^[4]^{: Предложение 3.1.12.}

В результате проведенных выше разложений можно доказать следующую лемму.

Лемма ( $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма) ^[3]^: 311 - Позволять $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ быть $d$ -замкнутая (p,q)-форма на компактном кэлеровом многообразии $X$ . Тогда следующие условия эквивалентны:

$\alpha$ является $d$ -точный.
$\alpha$ является $\partial$ -точный.
$\alpha$ является ${\bar {\partial }}$ -точный.
$\alpha$ является $\partial {\bar {\partial }}$ -точный. То есть существует $\beta$ такой, что $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ .
$\alpha$ ортогонален ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ .

Доказательство состоит в следующем. ^[4]^{: Кор. 3.2.10} Позволять $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ — замкнутая (p,q)-форма на компактном кэлеровом многообразии $(X,\omega )$ . Отсюда сразу следует, что (d) влечет за собой (a), (b) и (c). Более того, из приведенных выше ортогональных разложений следует, что любое из (a), (b) или (c) влечет за собой (e). Поэтому основная трудность состоит в том, чтобы показать, что из (д) следует (г).

Для этого предположим, что $\alpha$ ортогонален подпространству ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ . Затем $\alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}$ . С $\alpha$ является $d$ -закрытый и $d=\partial +{\bar {\partial }}$ , это также ${\bar {\partial }}$ -закрытый (т. ${\bar {\partial }}\alpha =0$ ). Если $\alpha =\alpha '+\alpha ''$ где $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ и $\alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma$ содержится в $\operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}$ тогда, поскольку эта сумма получается из ортогонального разложения по скалярному произведению $\langle -,-\rangle$ индуцированный римановой метрикой,

$\langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0$

или другими словами $\|\alpha ''\|^{2}=0$ и $\alpha ''=0$ . Таким образом, дело обстоит так, что $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ . Это позволяет нам писать $\alpha ={\bar {\partial }}\eta$ для некоторой дифференциальной формы $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ . Применяя разложение Ходжа для $\partial$ к $\eta$ ,

$\eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''$

где $\eta _{0}$ является $\Delta _{\partial }$ -гармонический, $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ и $\eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)$ . Равенство $\Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }$ подразумевает, что $\eta _{0}$ также $\Delta _{\bar {\partial }}$ -гармонический и, следовательно, ${\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0$ . Таким образом $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''$ . Однако, поскольку $\alpha$ является $d$ -закрыто, это тоже $\partial$ -закрыто. Затем, используя трюк, аналогичный описанному выше,

$\langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,$

также применяя тождество Кэлера , которое ${\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}$ . Таким образом $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '$ и настройка $\beta =i\eta '$ производит $\partial {\bar {\partial }}$ -потенциал.

Локальная версия

Локальная версия программы $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма верна и может быть доказана без обращения к теореме о разложении Ходжа. ^[4]^{: Пр. 1.3.3, РМК 3.2.11.} Это аналог леммы Пуанкаре или леммы Дольбо–Гротендика для $\partial {\bar {\partial }}$ оператор. Местный $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма справедлива для любой области, в которой справедливы вышеупомянутые леммы.

Лемма (локальная $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма) — Пусть $X$ быть комплексным многообразием и $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ быть дифференциальной формой бистепени (p,q) для $p,q\geq 1$ . Затем $\alpha$ является $d$ -закрыто тогда и только тогда, когда для каждой точки $p\in X$ существует открытое соседство $U\subset X$ содержащий $p$ и дифференциальная форма $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ такой, что $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ на $U$ .

Доказательство быстро следует из вышеупомянутых лемм. Прежде всего заметим, что если $\alpha$ локально имеет вид $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ для некоторых $\beta$ затем $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ потому что $\partial ^{2}=0$ , ${\bar {\partial }}^{2}=0$ , и $\partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial$ . С другой стороны, предположим $\alpha$ является $d$ -закрыто. Тогда по лемме Пуанкаре существует открытая окрестность $U$ любой точки $p\in X$ и форма $\gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)$ такой, что $\alpha =d\gamma$ . Сейчас пишу $\gamma =\gamma '+\gamma ''$ для $\gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)$ и $\gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)$ Обратите внимание, что $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ и сравнивая бистепени форм в $d\alpha$ подразумевает, что ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ и $\partial \gamma ''=0$ и это $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ . После возможного уменьшения размера открытой окрестности $U$ лемму Дольбо – Гротендика можно применить к $\gamma '$ и ${\overline {\gamma ''}}$ (последнее, потому что ${\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0$ ) для получения локальных форм $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ такой, что $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ и ${\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''$ . Заметив тогда, что $\gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}$ это завершает доказательство, поскольку $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ где $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ .

Когомологии Ботта – Черна

Когомологии Ботта – Черна — это теория когомологий компактных комплексных многообразий, зависящая от операторов $\partial$ и ${\bar {\partial }}$ и измеряет степень, в которой $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма не выполняется. В частности, когда компактное комплексное многообразие является кэлеровым многообразием, когомологии Ботта – Черна изоморфны когомологиям Дольбо , но в общем случае они содержат больше информации.

Группы когомологий Ботта –Черна компактного комплексного многообразия ^[3] определяются

$H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.$

Поскольку дифференциальная форма, которая является одновременно $\partial$ и ${\bar {\partial }}$ -закрыто $d$ -закрыто, есть естественная карта $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ от групп когомологий Ботта–Черна к группам когомологий де Рама. Также имеются карты $\partial$ и ${\bar {\partial }}$ Группы когомологий Дольбо $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ . Когда многообразие $X$ удовлетворяет $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма, например, если это компактное кэлерово многообразие, то указанные выше отображения когомологий Ботта–Черна в когомологии Дольбо являются изоморфизмами, и, кроме того, отображение когомологий Ботта–Черна в когомологии де Рама инъективно. ^[5] Как следствие, существует изоморфизм

$H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)$

в любое время $X$ удовлетворяет $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма. Таким образом, ядро приведенных выше отображений измеряет отказ многообразия. $X$ чтобы удовлетворить лемму и, в частности, измерить неспособность $X$ быть кэлеровым многообразием.

Следствия для бистепени (1,1)

Наиболее значимым последствием $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма возникает, когда комплексная дифференциальная форма имеет бистепень (1,1). В этом случае лемма утверждает, что точная дифференциальная форма $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ имеет $\partial {\bar {\partial }}$ -потенциал, заданный гладкой функцией $f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )$ :

$\alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.$

В частности, это происходит в том случае, когда $\alpha =\omega$ является кэлеровой формой, ограниченной небольшим открытым подмножеством $U\subset X$ кэлерова многообразия (этот случай следует из локальной версии леммы), где вышеупомянутая лемма Пуанкаре гарантирует, что оно является точной дифференциальной формой. Это приводит к понятию кэлерова потенциала — локально определенной функции, которая полностью определяет кэлерову форму. Другой важный случай — когда $\alpha =\omega -\omega '$ - это разность двух кэлеровых форм, принадлежащих одному и тому же классу когомологий де Рама. $[\omega ]=[\omega ']$ . В этом случае $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ в когомологиях де Рама, поэтому $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма применима. Позволяя полностью описывать (различия) кэлеровы формы с помощью одной функции, которая автоматически является плюрисубгармонической функцией , исследование компактных кэлеровских многообразий может быть предпринято с использованием методов теории плюрипотенциала , для которой множество аналитических доступно инструментов. Например, $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма используется для перефразирования уравнения Кэлера-Эйнштейна в терминах потенциалов, преобразуя его в сложное уравнение Монжа-Ампера для потенциала Кэлера.

коллекторы ddbar

Комплексные многообразия, которые не обязательно являются кэлеровыми, но все же удовлетворяют условию $\partial {\bar {\partial }}$ -леммы известны как $\partial {\bar {\partial }}$ -многообразия. Например, компактные комплексные многообразия класса C Фуджики удовлетворяют условию $\partial {\bar {\partial }}$ -лемма, но не обязательно являются кэлеровыми. ^[5]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Годюшон, П. (2010). «Элементы кэлеровой геометрии». Экстремальные кэлеровы метрики Калаби: элементарное введение (препринт).
^ Jump up to: ^а ^б Баллманн, Вернер (2006). Лекции по кэлеровым многообразиям . Европейское математическое общество. дои : 10.4171/025 . ISBN 978-3-03719-025-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Демайи, Жан-Пьер (2012). Аналитические методы в алгебраической геометрии . Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. ISBN 9781571462343 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хайбрехтс, Д. (2005). Сложная геометрия . Университетский текст Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/b137952 . ISBN 3-540-21290-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Анжела, Даниэле; Томассини, Адриано (2013). «На $\partial {\bar {\partial }}$ -Лемма и когомологии Ботта-Черна». Mathematical Inventions . 192 : 71–81. arXiv : 1402.1954 . doi : 10.1007/s00222-012-0406-3 . S2CID 253747048 .

Внешние ссылки

Жан-Пьер Демайи. «Личная страница Гренобля, включая публикации» .

[:2-1] Jump up to: ^а ^б Годюшон, П. (2010). «Элементы кэлеровой геометрии». Экстремальные кэлеровы метрики Калаби: элементарное введение (препринт).

[:3-2] Jump up to: ^а ^б Баллманн, Вернер (2006). Лекции по кэлеровым многообразиям . Европейское математическое общество. дои : 10.4171/025 . ISBN 978-3-03719-025-8 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Демайи, Жан-Пьер (2012). Аналитические методы в алгебраической геометрии . Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. ISBN 9781571462343 .

[:4-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хайбрехтс, Д. (2005). Сложная геометрия . Университетский текст Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/b137952 . ISBN 3-540-21290-6 .

[:1-5] Jump up to: ^а ^б Анжела, Даниэле; Томассини, Адриано (2013). «На $\partial {\bar {\partial }}$ -Лемма и когомологии Ботта-Черна». Mathematical Inventions . 192 : 71–81. arXiv : 1402.1954 . doi : 10.1007/s00222-012-0406-3 . S2CID 253747048 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]