Теорема о сфере
В римановой геометрии , теорема о сфере также известная как теорема о четверть защемленной сфере , сильно ограничивает топологию многообразий, допускающих метрики с определенной границей кривизны. Точная формулировка теоремы такова. Если M — полное односвязное принимающей - n мерное риманово многообразие с секционной кривизной, значения в интервале тогда M гомеоморфно сфере n - . (Если быть точным, мы имеем в виду, что секционная кривизна каждой касательной 2-плоскости в каждой точке должна лежать в .) Другой способ сформулировать результат состоит в том, что если М не гомеоморфно сфере, то на М невозможно поставить метрику с четверть защемленной кривизной.
![{\displaystyle (1,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5874b482e7e0a5777f6837be39bbe60f8d3ff80c)
Заметим, что вывод неверен, если кривизнам сечения разрешено принимать значения в замкнутом интервале. . Стандартный контрпример — комплексное проективное пространство с метрикой Фубини–Студи ; кривизны сечения этой метрики принимают значения от 1 до 4, включая конечные точки. Другие контрпримеры можно найти среди симметрических пространств первого ранга .
![{\displaystyle [1,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d586411d3b36b42d74ece1ec4e191d4fe1fc83da)
Теорема о дифференцируемой сфере
[ редактировать ]Первоначальное доказательство теоремы о сфере не приводило к выводу, что обязательно диффеоморфно n -сфере M . Эта сложность связана с тем, что сферы более высоких измерений допускают гладкие структуры , которые не являются диффеоморфными. (Для получения дополнительной информации см. статью об экзотических сферах .) Однако в 2007 году Саймон Брендл и Ричард Шон использовали поток Риччи , чтобы доказать, что с учетом приведенных выше гипотез M обязательно диффеоморфно n -сфере с ее стандартной гладкой структурой. Более того, доказательство Брендла и Шена использует только более слабое предположение о точечном, а не о глобальном ущемлении. Этот результат известен как теорема о дифференцируемой сфере .
История теоремы о сфере
[ редактировать ]Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с сжатой секционной кривизной представляет собой сферу. [1] В 1951 году Гарри Раух показал, что односвязное многообразие кривизны из [3/4,1] гомеоморфно сфере. [2] В 1960 году Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы о сфере с оптимальной константой сжатия. [3] [4] Бергер обсуждает историю теоремы в своей книге «Панорамный взгляд на риманову геометрию» , первоначально опубликованной в 2003 году. [5]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хопф, Хайнц (1932), «Дифференциальная геометрия и топологическая форма», Годовой отчет Ассоциации немецких математиков , 41 : 209–228.
- ^ Раух, HE (1951). «Вклад в дифференциальную геометрию в целом». Анналы математики . 54 (1): 38–55. дои : 10.2307/1969309 . JSTOR 1969309 .
- ^ Бергер, М. (1961). «Односвязные нормальные однородные римановы многообразия строго положительной кривизны» . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Scienze Fisiche e Matematiche (на французском языке). 15 (3): 179–246. ISSN 0036-9918 . Проверено 15 января 2024 г.
- ^ Клингенберг, Вильгельм (1961). «О римановых многообразиях положительной кривизны» . Комментарии по математике Helvetici . 35 : 47–54. дои : 10.1007/BF02567004 . eISSN 1420-8946 . ISSN 0010-2571 . S2CID 124444094 . Проверено 15 января 2024 г.
- ^ Бергер, Марсель (2012). Панорамный взгляд на риманову геометрию . Весна-Верлаг. ISBN 978-3-642-62121-5 .
- Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере . Аспирантура по математике. Том. 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/gsm/111 . ISBN 978-0-8218-4938-5 . МР 2583938 .
- Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2009). «Многообразия с кривизной в 1/4 дюйма являются космическими формами». Журнал Американского математического общества . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Бибкод : 2009JAMS...22..287B . дои : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . МР 2449060 .
- Брендл, Саймон; Шон, Ричард (2011). «Кривизна, теоремы о сфере и поток Риччи». Бюллетень Американского математического общества . 48 (1): 1–32. arXiv : 1001.2278 . дои : 10.1090/s0273-0979-2010-01312-4 . МР 2738904 .