Симметричная логарифмическая производная

Симметричная логарифмическая производная является важной величиной в квантовой метрологии и связана с квантовой информацией Фишера .

Определение

Позволять $\rho$ и $A$ быть двумя операторами, где $\rho$ является эрмитовым и положительно полуопределенным . В большинстве приложений $\rho$ и $A$ выполнять дополнительные свойства, которые также $A$ является эрмитовым и $\rho$ — матрица плотности (которая также нормализована по следам), но для определения она не требуется.

Симметричная логарифмическая производная $L_{\varrho }(A)$ определяется неявно уравнением

$i[\varrho ,A]={\frac {1}{2}}\{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}$

где $[X,Y]=XY-YX$ является коммутатором и $\{X,Y\}=XY+YX$ является антикоммутатором. В явном виде оно дается формулой

$L_{\varrho }(A)=2i\sum _{k,l}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{l}}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}}\langle k\vert A\vert l\rangle \vert k\rangle \langle l\vert$

где $\lambda _{k}$ и $\vert k\rangle$ являются собственными значениями и собственными состояниями $\varrho$, то есть $\varrho \vert k\rangle =\lambda _{k}\vert k\rangle$ и $\varrho =\sum _{k}\lambda _{k}\vert k\rangle \langle k\vert$.

Формально карта от оператора $A$ оператору $L_{\varrho }(A)$ является (линейным) супероператором .

Характеристики

Симметричная логарифмическая производная линейна по $A$:

$L_{\varrho }(\mu A)=\mu L_{\varrho }(A)$

$L_{\varrho }(A+B)=L_{\varrho }(A)+L_{\varrho }(B)$

Симметричная логарифмическая производная является эрмитовой, если ее аргумент $A$ является эрмитовым:

$A=A^{\dagger }\Rightarrow [L_{\varrho }(A)]^{\dagger }=L_{\varrho }(A)$

Производная выражения $\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A)$ относительно $\theta$ в $\theta =0$ читает

${\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big [}\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A){\Big ]}{\bigg \vert }_{\theta =0}=i(\varrho A-A\varrho )=i[\varrho ,A]={\frac {1}{2}}\{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}$

где последнее равенство соответствует определению $L_{\varrho }(A)$; это отношение является источником названия «симметричная логарифмическая производная». Далее мы получаем разложение Тейлора

$\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A)=\varrho +\underbrace {{\frac {1}{2}}\theta \{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}} _{=i\theta [\varrho ,A]}+{\mathcal {O}}(\theta ^{2})$.