Информация о квантовом Фишере

Квантовая информация Фишера является центральной величиной в квантовой метрологии и является квантовым аналогом классической информации Фишера . Это одна из центральных величин, используемых для оценки полезности входного состояния, особенно при оценке фазы или параметров на основе интерферометра Маха – Цендера (или, что то же самое, Рамсея). Показано, что квантовая информация Фишера также может быть чувствительным зондом квантового фазового перехода (например, распознавая сверхизлучательный квантовый фазовый переход в модели Дике). ). Квантовая информация Фишера $F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]$ государства ​ $\varrho$ относительно наблюдаемого $A$ определяется как

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\sum _{k,l}{\frac {(\lambda _{k}-\lambda _{l})^{2}}{(\lambda _{k}+\lambda _{l})}}\vert \langle k\vert A\vert l\rangle \vert ^{2},$

где $\lambda _{k}$ и $\vert k\rangle$ — собственные значения и собственные векторы матрицы плотности $\varrho ,$ соответственно, и суммирование идет по всем $k$ и $l$ такой, что $\lambda _{k}+\lambda _{l}>0$.

Когда наблюдаемая порождает унитарное преобразование системы с параметром $\theta$ из исходного состояния $\varrho _{0}$,

$\varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),$

квантовая информация Фишера ограничивает достижимую точность статистической оценки параметра $\theta$ через квантовую границу Крамера–Рао как

$(\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}},$

где $m$ – количество независимых повторений.

Часто желательно оценить величину неизвестного параметра. $\alpha$ который контролирует силу гамильтониана системы $H=\alpha A$ относительно известной наблюдаемой $A$ в течение известного динамического времени $t$. В этом случае определение $\theta =\alpha t$, так что $\theta A=tH$, означает оценки $\theta$ могут быть непосредственно переведены в оценки $\alpha$.

Связь с информацией Fisher

Классическая информация Фишера об измерении наблюдаемой $B$ по матрице плотности $\varrho (\theta )$ определяется как $F[B,\theta ]=\sum _{b}{\frac {1}{p(b|\theta )}}\left({\frac {\partial p(b|\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}$, где $p(b|\theta )=\langle b\vert \varrho (\theta )\vert b\rangle$ вероятность получения результата $b$ при измерении наблюдаемого $B$ на преобразованной матрице плотности $\varrho (\theta )$. $b$ собственное значение, соответствующее собственному вектору $\vert b\rangle$ наблюдаемых $B$.

Квантовая информация Фишера является верхней границей классической информации Фишера по всем таким наблюдаемым.

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=\sup _{B}F[B,\theta ].$

Связь с симметричной логарифмической производной

Квантовая информация Фишера равна математическому ожиданию $L_{\varrho }^{2}$, где $L_{\varrho }$ - симметричная логарифмическая производная

Эквивалентные выражения

Для операции унитарного кодирования $\varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),$, квантовая информация Фишера может быть вычислена как интеграл,

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=-2\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\left(\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\right)\ dt,$

где $[\ ,\ ]$ справа обозначает коммутатор.Это также можно выразить через произведение Кронекера и векторизацию :

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\,{\text{vec}}([\varrho _{0},A])^{\dagger }{\big (}\rho _{0}^{*}\otimes {\rm {I}}+{\rm {I}}\otimes \rho _{0}{\big )}^{-1}{\text{vec}}([\varrho _{0},A]),$

где $^{*}$ обозначает комплексно-сопряженное , а $^{\dagger }$ обозначает сопряженное транспонирование . Эта формула справедлива для обратимых матриц плотности. Для необратимых матриц плотности инверсия, указанная выше, заменяется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза . В качестве альтернативы можно вычислить квантовую информацию Фишера для обратимого состояния. $\rho _{\nu }=(1-\nu )\rho _{0}+\nu \pi$, где $\pi$ — это любая матрица плотности полного ранга, а затем выполнить предел $\nu \rightarrow 0^{+}$ получить квантовую информацию Фишера для $\rho _{0}$. Матрица плотности $\pi$ может быть, например, ${\rm {Identity}}/\dim {\mathcal {H}}$ в конечномерной системе или тепловое состояние в бесконечномерных системах.

Обобщение и связь с метрикой Буреса и квантовой точностью.

Для любой дифференцируемой параметризации матрицы плотности $\varrho ({\boldsymbol {\theta }})$ вектором параметров ${\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n})$квантовая информационная матрица Фишера определяется как

$F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]=2\sum _{k,l}{\frac {\operatorname {Re} (\langle k\vert \partial _{i}\varrho \vert l\rangle \langle l\vert \partial _{j}\varrho \vert k\rangle )}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}},$

где $\partial _{i}$ обозначает частную производную по параметру $\theta _{i}$. Формула справедлива и без учета действительной части $\operatorname {Re}$, поскольку мнимая часть приводит к антисимметричному вкладу, который исчезает под суммой. Обратите внимание, что все собственные значения $\lambda _{k}$ и собственные векторы $\vert k\rangle$ матрицы плотности потенциально зависят от вектора параметров ${\boldsymbol {\theta }}$.

Это определение идентично четырехкратному увеличению метрики Буреса с точностью до особых точек, в которых меняется ранг матрицы плотности (это точки, в которых $\lambda _{k}+\lambda _{l}$ внезапно становится нулем.) Благодаря этому соотношению оно также связано с квантовой точностью. $F(\varrho ,\sigma )=\left(\mathrm {tr} \left[{\sqrt {{\sqrt {\varrho }}\sigma {\sqrt {\varrho }}}}\right]\right)^{2}$ двух бесконечно близких состояний,

$F(\varrho _{\boldsymbol {\theta }},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}})=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}{\Big (}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]+2\!\!\sum _{\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}\!\!\partial _{i}\partial _{j}\lambda _{k}{\Big )}d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}),$

где внутренняя сумма охватывает все $k$ при каких собственных значениях $\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0$. Дополнительного члена (который, однако, в большинстве приложений равен нулю) можно избежать, приняв симметричное разложение точности:

$F\left(\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}-d{\boldsymbol {\theta }}/2},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}/2}\right)=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}).$

Для $n=1$ При унитарном кодировании квантовая информационная матрица Фишера сводится к исходному определению.

Квантовая информационная матрица Фишера является частью более широкого семейства квантовых статистических расстояний.

Связь с восприимчивостью к верности

Предполагая, что $\vert \psi _{0}(\theta )\rangle$ является основным состоянием невырожденного гамильтониана, зависящего от параметра $H(\theta )$, в четыре раза превышающая квантовую информацию Фишера этого состояния, называется восприимчивостью к точности и обозначается

$\chi _{F}=4F_{Q}(\vert \psi _{0}(\theta )\rangle ).$

Восприимчивость к точности измеряет чувствительность основного состояния к параметру, а ее расхождение указывает на квантовый фазовый переход. Это происходит из-за вышеупомянутой связи с точностью: расходящаяся квантовая информация Фишера означает, что $\vert \psi _{0}(\theta )\rangle$ и $\vert \psi _{0}(\theta +d\theta )\rangle$ ортогональны друг другу, при любом бесконечно малом изменении параметра $d\theta$, и поэтому говорят, что они претерпевают фазовый переход в точке $\theta$.

Свойства выпуклости

Квантовая информация Фишера в четыре раза превышает дисперсию для чистых состояний.

$F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}$.

Для смешанных состояний, когда вероятности не зависят от параметра, т. е. когда $p(\theta )=p$, квантовая информация Фишера выпукла:

$F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}(\theta )+(1-p)\varrho _{2}(\theta ),H]\leq pF_{\rm {Q}}[\varrho _{1}(\theta ),H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2}(\theta ),H].$

Квантовая информация Фишера — это наибольшая выпуклая функция, равная четырехкратной дисперсии для чистых состояний.То есть оно в четыре раза превышает выпуклую крышу дисперсии.

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},$

где нижняя грань находится по всем разложениям матрицы плотности

$\varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .$

Обратите внимание, что $\vert \Psi _{k}\rangle$ не обязательно ортогональны друг другу. Вышеупомянутую оптимизацию можно переписать как оптимизацию пространства с двумя копиями как

$F_{Q}[\varrho ,H]=\min _{\varrho _{12}}2{\rm {Tr}}[(H\otimes {\rm {Identity}}-{\rm {Identity}}\otimes H)^{2}\varrho _{12}],$

такой, что $\varrho _{12}$ является симметричным сепарабельным состоянием и

${\rm {Tr}}_{1}(\varrho _{12})={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})=\varrho .$

Позднее это утверждение было доказано даже для случая минимизации по общим (не обязательно симметричным) сепарабельным состояниям.

Когда вероятности $\theta$-зависимое, доказано соотношение расширенной выпуклости:

$F_{\rm {Q}}{\Big [}\sum _{i}p_{i}(\theta )\varrho _{i}(\theta ){\Big ]}\leq \sum _{i}p_{i}(\theta )F_{\rm {Q}}[\varrho _{i}(\theta )]+F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}],$

где $F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}]=\sum _{i}{\frac {\partial _{\theta }p_{i}(\theta )^{2}}{p_{i}(\theta )}}$ — это классическая информация Фишера, связанная с вероятностями, способствующими выпуклому разложению. Первый член в правой части приведенного выше неравенства можно рассматривать как среднюю квантовую информацию Фишера матриц плотности в выпуклом разложении.

Неравенства для составных систем

Нам необходимо понять поведение квантовой информации Фишера в составной системе, чтобы изучить квантовую метрологию многочастичных систем. Для состояний продукта

$F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2}]$

держит.

Для приведенного состояния имеем

$F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],$

где $\varrho _{1}={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})$.

Отношение к запутанности

существуют прочные связи Между квантовой метрологией и квантовой информатикой . Для многочастичной системы $N$ частицы со спином 1/2

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N$

справедливо для сепарабельных состояний, где

$J_{z}=\sum _{n=1}^{N}j_{z}^{(n)},$

и $j_{z}^{(n)}$ представляет собой компонент углового момента одной частицы. Максимум для общих квантовых состояний определяется выражением

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.$

Следовательно, квантовая запутанность необходима для достижения максимальной точности в квантовой метрологии. Более того, для квантовых состояний с глубиной запутанности $k$,

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq sk^{2}+r^{2}$

держится, где $s=\lfloor N/k\rfloor$ — наибольшее целое число, меньшее или равное $N/k,$ и $r=N-sk$ это остаток от деления $N$ к $k$. Следовательно, для достижения все большей и большей точности оценки параметров необходимы все более высокие уровни многочастной запутанности. Можно получить более слабую, но более простую оценку

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq Nk.$

Следовательно, нижняя граница глубины перепутывания получается как

${\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N}}\leq k.$

Связь с информацией об асимметрии Вигнера-Янасе

Информация о перекосе Вигнера-Янасе определяется как

$I(\varrho ,H)={\rm {Tr}}(H^{2}\varrho )-{\rm {Tr}}(H{\sqrt {\varrho }}H{\sqrt {\varrho }}).$

Отсюда следует, что $I(\varrho ,H)$ является выпуклым в $\varrho .$

Для квантовой информации Фишера и информации о перекосе Вигнера-Янасе неравенство

$F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)$

имеет место равенство чистых состояний.

Отношение к дисперсии

Для любого разложения матрицы плотности, заданной формулой $p_{k}$ и $\vert \Psi _{k}\rangle$ отношение

$(\Delta H)^{2}\geq \sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]$

имеет место, где оба неравенства точны. То есть существует разложение, для которого второе неравенство является насыщенным, что равнозначно утверждению, что квантовая информация Фишера представляет собой выпуклую крышу дисперсии по четырем, обсуждавшейся выше. Существует также разложение, для которого первое неравенство является насыщенным, а это означает, чтоотличие — собственная вогнутая крыша

$(\Delta H)^{2}=\sup _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}.$

Отношения неопределенности с квантовой информацией Фишера и дисперсией

Зная, что квантовая информация Фишера представляет собой выпуклую крышу дисперсии, умноженной на четыре, мы получаем соотношение $$(\Delta A)^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},$$что сильнее соотношения неопределенностей Гейзенберга . Для частицы спин- $j,$ имеет место следующее соотношение неопределенностей $$(\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+(\Delta J_{z})^{2}\geq j,$$где $J_{l}$ являются компонентами углового момента. Отношения можно усилить, если $$(\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j.$$