Толстая модель

Модель Дике — фундаментальная модель квантовой оптики , описывающая взаимодействие света и материи . В модели Дике световая компонента описывается как единая квантовая мода, а материя описывается как совокупность двухуровневых систем . среднего поля Когда связь между светом и материей достигает критического значения, модель Дике показывает фазовый переход в фазу сверхизлучения . Этот переход принадлежит к классу универсальности Изинга и был реализован в экспериментах по квантовой электродинамике резонатора . Хотя сверхизлучательный переход и имеет некоторую аналогию с лазерной неустойчивостью, эти два перехода относятся к разным классам универсальности.

Описание

Модель Дике — это квантовомеханическая модель, описывающая связь между одномодовым резонатором и $N$ двухуровневые системы или что-то подобное $N$ вращение - 1/2 степени свободы. Модель была впервые представлена ​​в 1973 году К. Хеппом и Э. Х. Либом . Их исследование было вдохновлено новаторской работой Р. Х. Дике по сверхизлучательному излучению света в свободном пространстве. и назван в его честь.

Как и любая другая модель в квантовой механике, модель Дике включает в себя набор квантовых состояний ( гильбертово пространство полной энергии ) и оператор ( гамильтониан ). Гильбертово пространство модели Дике задается (тензорным произведением) состояний полости и двухуровневых систем. Гильбертово пространство полости можно наполнить состояниями Фока с $n$ фотоны , обозначаемые $|n\rangle$. Эти состояния могут быть построены из вакуумного состояния. $|n=0\rangle$ используя канонические лестничные операторы , $a^{\dagger }$ и $a$, которые добавляют и вычитают фотон из полости соответственно. Состояния каждой двухуровневой системы называются « вверх» и «вниз» и определяются с помощью спина . операторов ${\vec {\sigma }}_{j}=(\sigma _{j}^{x},~\sigma _{j}^{y},~\sigma _{j}^{z})$, удовлетворяющий спиновой алгебре $[\sigma _{j}^{x},~\sigma _{k}^{y}]=i\hbar \sigma _{j}^{z}\delta _{j,k}$. Здесь $\hbar$ – приведенная постоянная Планка и $j=(0,1,2,...,N)$ указывает на конкретную двухуровневую систему.

Гамильтониан : модели Дике

$$H=\hbar \omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{z}\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}+{\frac {2\lambda }{\sqrt {N}}}(a+a^{\dagger })\sum _{j}\sigma _{j}^{x}\;.$$

( 1 )

Здесь первый член описывает энергию резонатора и равен произведению энергии одного фотона резонатора $\hbar \omega _{c}$ (где $\omega _{c}$ — частота резонатора), умноженная на количество фотонов в резонаторе, $n_{c}=a^{\dagger }a$. Второе слагаемое описывает энергию двухуровневых систем, где $\hbar \omega _{z}$ – разность энергий между состояниями каждой двухуровневой системы. Последнее слагаемое описывает связь между двухуровневыми системами и полостью и предполагается пропорциональным константе $\lambda$, умноженное на величину, обратную квадратному корню из числа двухуровневых систем. Это предположение позволяет получить фазовый переход в пределе $N\to \infty$ (см. ниже ). Связь можно записать как сумму двух членов: члена, вращающегося в одном направлении , который сохраняет число возбуждений и пропорционален $a\sigma ^{+}+a^{\dagger }\sigma ^{-}$ и противовращающийся член, пропорциональный $a\sigma ^{-}+a^{\dagger }\sigma ^{+}$, где $\sigma ^{\pm }=\sigma ^{x}\pm i\sigma ^{y}$ являются операторами спиновой лестницы.

Гамильтониан уравнении в 1 предполагает, что все спины идентичны (т.е. имеют одинаковую разность энергий и одинаково связаны с полостью). В этом предположении можно определить макроскопические спиновые операторы $S^{\alpha }=\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{\alpha }$, с $\alpha =x,y,z$, которые удовлетворяют спиновой алгебре , $[S^{x},S^{y}]=i\hbar S^{z}$. Используя эти операторы, можно переписать гамильтониан в уравнении. 1 как

$$H=\hbar \omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{z}S^{z}+{\frac {2\lambda }{\sqrt {N}}}(a+a^{\dagger })S^{x}.$$ ( 2 )

Такое обозначение упрощает численное исследование модели, поскольку оно включает один спин-S с $S\leq N/2$, гильбертово пространство которого имеет размер $2S+1$, скорее, чем $N$ спин-1/2, гильбертово пространство которого имеет размер $2^{N}$.

Модель Дике имеет одну глобальную симметрию :

$${\mathcal {P}}:(a,\sigma ^{\pm })\to (-a,-\sigma ^{\pm })\;.$$

( 3 )

Потому что ${\mathcal {P}}$ квадратов к единице (т.е. если применить дважды, оно возвращает каждое состояние в исходное состояние), имеет два собственных значения, $1$ и $-1$. Эта симметрия связана с сохраняющейся величиной : четностью полного числа возбуждений, $P=(-1)^{N_{ex}}$, где

$$N_{ex}=a^{\dagger }a+\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\;.$$

( 4 )

Это сохранение четности можно увидеть из того факта, что каждый член гамильтониана сохраняет число возбуждения, за исключением членов, вращающихся в противоположных направлениях, которые могут изменить число возбуждения только на $\pm 2$. Состояние модели Дике называется нормальным , когда эта симметрия сохраняется, и сверхизлучающим, когда эта симметрия спонтанно нарушается.

Сопутствующие модели

Модель Дике тесно связана с другими моделями квантовой оптики. В частности, модель Дике с единой двухуровневой системой, $N=1$, называется моделью Раби . В отсутствие членов, вращающихся в противоположных направлениях, модель называется Джейнсом-Каммингсом . $N=1$ и Тэвис-Каммингс за $N>1$. Эти две модели сохраняют количество возбуждений $N_{ex}$ и характеризуются $U(1)$ симметрия. Спонтанное нарушение этой симметрии приводит к возникновению лазерного состояния (см. ниже ).

Связь между моделью Дике и другими моделями обобщена в таблице ниже.

Имя модели	Условия встречной ротации?	симметрия	Количество двухуровневых систем
Джейнс-Каммингс	нет	$U(1)$	$N=1$
Тэвис-Каммингс	нет	$U(1)$	$N>1$
Модель Раби	да	${\mathcal {P}}$	$N=1$
толщина	да	${\mathcal {P}}$	$N>1$

фазовый

Схематический график параметра порядка перехода Дике, который равен нулю в нормальной фазе и конечен в сверхизлучательной фазе. На вставке показана свободная энергия в нормальной и сверхизлучательной фазах, см. уравнение. 5 .

Ранние исследования модели Дике рассматривали ее равновесные свойства. Эти работы считали пределом $N\to \infty$ (также известный как термодинамический предел ) и предположил тепловую статистическую сумму , $Z=\exp(-H/k_{B}T)$, где $k_{B}$ – постоянная Больцмана и $T$ это температура . Было обнаружено, что при соединении $\lambda$ пересекает критическое значение $\lambda _{c}$Модель Дике претерпевает фазовый переход второго рода , известный как сверхизлучательный фазовый переход .В своем первоначальном варианте Хепп и Либ пренебрег эффектами вращающихся в противоположных направлениях членов и, таким образом, фактически рассмотрел модель Тэвиса-Каммингса (см. выше). Дальнейшие исследования полной модели Дике показали, что фазовый переход все еще происходит при наличии членов, вращающихся в противоположных направлениях, хотя и при другой критической связи.

Сверхизлучательный переход спонтанно нарушает симметрию четности, ${\mathcal {P}}$, определенный в уравнении 3 . Параметр порядка этого фазового перехода равен $\langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}$. В термодинамическом пределе эта величина стремится к нулю, если система нормальная, или к одному из двух возможных значений, если система сверхизлучательная. Эти две величины соответствуют физическим состояниям поля полости с противоположными фазами (см. уравнение 3) и, соответственно, состояниям спина с противоположными фазами. $x$ компоненты). Вблизи сверхизлучательного фазового перехода параметр порядка зависит от $\lambda$ как $\langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}\sim (\lambda _{c}-\lambda )^{-1/2}$. среднего поля Эта зависимость соответствует критическому показателю $\beta =1/2$.

Среднее

Самый простой способ описать сверхизлучательный переход — использовать приближение среднего поля , в котором операторы поля полости заменяются их средними значениями. В этом приближении, точном в термодинамическом пределе, гамильтониан Дике уравнения (2). 1 становится суммой независимых членов, каждый из которых действует на отдельную двухуровневую систему, которую можно диагонализировать независимо. При тепловом равновесии (см. выше) обнаруживается, что свободная энергия двухуровневой системы равна

$$F\left({\frac {\langle a\rangle }{\sqrt {N}}}=\alpha \right)=\omega _{c}\alpha ^{2}-k_{B}T\ln \left(2\cosh \left({\frac {\sqrt {\omega _{z}^{2}+16\lambda ^{2}\alpha ^{2}}}{2k_{B}T}}\right)\right).$$

( 5 )

Критическая связь перехода может быть найдена из условия $dF/d\alpha (\alpha =0)=0$, что приводит к

$$\lambda _{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}\coth \left({\frac {\hbar \omega _{z}}{2k_{B}T}}\right)}}.$$

( 6 )

Для $\lambda <\lambda _{c}$, $F$ имеет один минимум, а для $\lambda >\lambda _{c}$, он имеет два минимума. В пределе $T\to 0$ получаем выражение для критической связи сверхизлучательного фазового перехода при нулевой температуре: $\lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2$.

предел

Квазиклассический предел

Фазовое пространство модели Дике в симметричном атомном подпространстве с $S=N/2$ может быть построено путем рассмотрения тензорного произведения глауберовых когерентных состояний

$$\left\vert q,p\right\rangle =D(q,p)\left\vert 0\right\rangle ,$$ ( 7 )

где ${\textstyle D(q,p)=e^{-{\frac {S}{4}}\left(q^{2}+p^{2}\right)}\exp \left({\sqrt {\frac {S}{2}}}\left(q+ip\right)a^{\dagger }\right)}$ – оператор смещения и ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$ — фотонное вакуумное фоковское состояние , а SU(2) когерентные состояния

$$\left\vert Q,P\right\rangle =R(Q,P)\left\vert S,-S\right\rangle ,$$ ( 8 )

где ${\textstyle R(Q,P)=\left(1-{\frac {Q^{2}+P^{2}}{4}}\right)^{S}\exp \left({\sqrt {\frac {1}{4-Q^{2}-P^{2}}}}\left(Q+iP\right){\frac {S^{+}}{\hbar }}\right)}$ — оператор вращения в сфере Блоха , ${\textstyle Q^{2}+P^{2}\leq 4,}$ и $\left\vert {S,-S}\right\rangle$ Это состояние, в котором все атомы находятся в основном состоянии. Это дает четырехмерное фазовое пространство с каноническими координатами. ${\textstyle (q,p)}$ и $(Q,P)$.

Классический гамильтониан получается путем принятия среднего значения гамильтониана Дике, заданного уравнением. 2 в этих штатах,

$$H_{\text{cl}}(q,p,Q,P)={\frac {\hbar S\omega _{c}}{2}}\left(q^{2}+p^{2}\right)+{\frac {\hbar S\omega _{z}}{2}}\left(Q^{2}+P^{2}\right)+2\hbar S\lambda \,Qq{\sqrt {1-{\frac {Q^{2}+P^{2}}{4}}}}-\hbar S\omega _{z}.$$ ( 9 )

Процент классических траекторий с положительным показателем Ляпунова в зависимости от энергии, приходящейся на частицу ${\textstyle E/S}$ и параметр связи ${\textstyle \lambda }$ (деленная на критическую связь ${\textstyle \lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2}$). Параметры $\omega _{c}=\omega _{z}=1$.

В пределе $N\to \infty$, квантовая динамика, заданная квантовым гамильтонианом уравнения. 2 и классическая динамика, заданная уравнением. 9 совпадают. Для конечного размера системы существует классическое и квантовое соответствие, которое нарушается во время Эренфеста , которое обратно пропорционально $N$.

Квантовый хаос

Модель Дике представляет собой идеальную систему для изучения квантово-классического соответствия и квантового хаоса .

Классическая система, заданная уравнением. 9 хаотичен или регулярен в зависимости от значений параметров ${\textstyle \lambda }$, ${\textstyle \omega _{c}}$, и ${\textstyle \omega _{z}}$ и энергия ${\textstyle E}$. Заметим, что хаос может быть как в нормальном, так и в сверхрадиантном режиме.

Недавно было обнаружено, что экспоненциальная скорость роста вневременного коррелятора совпадает с классическими показателями Ляпунова в хаотическом режиме и в неустойчивых точках регулярного режима. Кроме того, эволюция вероятности выживания (т. е. точности состояния самому себе в более позднее время) начальных когерентных состояний, сильно делокализованных в собственном энергетическом базисе, хорошо описывается теорией случайных матриц . в то время как начальные когерентные состояния, на которые сильно влияет наличие квантовых шрамов, демонстрируют поведение, нарушающее эргодичность .

Модель открытой толщины

Модель Дике уравнения. 1 предполагает, что резонаторная мода и двухуровневые системы полностью изолированы от внешней среды.В реальных экспериментах это предположение не справедливо: связь со свободными модами света может привести к потере фотонов резонатора и распаду двухуровневых систем (т.е. каналов диссипации).Стоит отметить, что в этих экспериментах используются движущие поля (например, лазерные поля ) для реализации связи между модой резонатора и двухуровневыми системами.Различные каналы рассеяния можно описать, добавив связь с дополнительными степенями свободы окружающей среды.Усредняя динамику этих внешних степеней свободы, можно получить уравнения движения, описывающие открытую квантовую систему .В соответствии с обычным приближением Борна-Маркова можно описать динамику системы квантовым главным уравнением в Линдблада форме

$${\frac {d\rho }{dt}}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha }\left(L_{\alpha }\rho L_{\alpha }^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{\alpha }^{\dagger }L_{\alpha },\rho \right\}\right).$$

( 10 )

Здесь, $\rho$ – матрица плотности системы, $L_{\alpha }$ – оператор Линдблада канала распада $\alpha$, и $\gamma _{\alpha }$ соответствующая скорость распада. Когда гамильтониан $H$ определяется уравнением 1 , модель называется открытой моделью Дике.

Некоторые распространенные процессы распада, имеющие отношение к экспериментам, приведены в следующей таблице:

-	Кариозный распад	Атомный распад	Атомная дефазировка	Коллективный распад
Линдбладиан	$L=a$	$L=\sigma _{i}^{-}$	$L=\sigma _{i}^{z}$	$L=\sum _{i}\sigma _{i}^{-}$
Скорость распада	$\kappa$	$\gamma _{\downarrow }$	$\gamma _{\phi }$	$\Gamma _{\downarrow }$

При теоретическом описании модели часто рассматривают установившийся режим, когда $d\rho /dt=0$. В пределе $N\to \infty$, устойчивое состояние открытой модели Дике демонстрирует непрерывный фазовый переход, часто называемый неравновесным сверхизлучательным переходом . Критические показатели этого перехода такие же, как у равновесного сверхизлучательного перехода при конечной температуре (и отличаются от сверхизлучательного перехода при нулевой температуре).

переход и

Схематическое изображение разницы между сверхизлучением Дике и сверхизлучительным переходом открытой модели Дике.

Сверхизлучательный переход открытой модели Дике связан со сверхизлучением Дике , но отличается от него .

Сверхизлучение Дике — коллективное явление, при котором многие двухуровневые системы когерентно излучают фотоны в свободное пространство. Это происходит, если двухуровневые системы изначально подготовлены в возбужденном состоянии и размещены на расстоянии, значительно меньшем длины волны соответствующего фотона. В этих условиях спонтанный распад двухуровневых систем становится значительно быстрее: двухуровневые системы излучают короткий импульс света большой амплитуды. В идеальных условиях длительность импульса обратно пропорциональна числу двухуровневых систем: $N$, а максимальная интенсивность излучаемого света масштабируется как $N^{2}$. В отличие от спонтанного испускания $N$ независимые двухуровневые системы, время распада которых не зависит от $N$ и где интенсивность импульса масштабируется как $N$.

Как объяснялось выше, открытая модель Дике скорее моделирует двухуровневые системы, связанные с квантованным резонатором и управляемые внешним насосом. В нормальной фазе интенсивность поля полости не зависит от числа атомов. $N$, а в сверхизлучательной фазе интенсивность поля резонатора пропорциональна $\langle a^{\dagger }a\rangle \sim N$.

Законы масштабирования сверхизлучения Дике и сверхизлучательного перехода модели Дике суммированы в следующей таблице:

	Густое сверхизлучение	Сверхизлучательный переход модели Дике
Среда	Свободное место	Полость
Продолжительность	Переходный процесс	Устойчивое состояние
Напряженность поля (нормальная)	$N$	$1$
Напряженность поля (сверхизлучение)	$N^{2}$	$N$

Экспериментальные реализации

Схематическое изображение двух схем экспериментальной реализации модели Дике: слева — равновесный подход, основанный на дипольной связи между двумя уровнями, и справа — неравновесный подход, основанный на двухфотонных процессах, а именно вынужденном комбинационном рассеянии. Только последняя схема используется для реализации модели Дике.

Простейшая реализация модели Дике предполагает дипольную связь между двухуровневыми атомами в полости. В этой системе наблюдению сверхизлучательного перехода препятствуют две возможные проблемы: (1) Затравочная связь между атомами и полостями обычно слаба и недостаточна для достижения критического значения. $\lambda _{c}$, см. уравнение 6 . (2) Точное моделирование физической системы требует учета $A^{2}$ термины, которые, согласно теореме о запрете , могут помешать переходу. Оба ограничения можно обойти, применяя внешние накачки к атомам и создавая эффективную модель Дике в соответствующей вращающейся системе отсчета .

В 2010 году сверхизлучательный переход открытой модели Дике наблюдался экспериментально с использованием нейтральных атомов рубидия, захваченных в оптический резонатор. В этих экспериментах связь между атомами и полостью не достигается за счет прямой дипольной связи между двумя системами.Вместо этого атомы освещаются внешним насосом, который запускает вынужденный рамановский переход .Этот двухфотонный процесс заставляет двухуровневую систему менять свое состояние с нижнего на верхнее или наоборот и испускать или поглощать фотон в полость.Эксперименты показали, что число фотонов в резонаторе резко возрастает, когда интенсивность накачки пересекает критический порог.Этот порог был связан с критической связью модели Дике.

В экспериментах использовались два разных набора физических состояний: нижнее и верхнее . В некоторых экспериментах два состояния соответствуют атомам с разными скоростями или импульсами: нижнее состояние имело нулевой импульс и принадлежало конденсату Бозе-Эйнштейна , тогда как верхнее состояние имело импульс, равный сумме импульса фотона полости и импульса фотон накачки. Напротив, более поздние эксперименты использовали два разных сверхтонких уровня атомов рубидия в магнитном поле. Последняя реализация позволила исследователям изучить обобщенную модель Дике (см. ниже ). В обоих экспериментах система зависит от времени, и (обобщенный) гамильтониан Дике реализуется в системе отсчета, вращающейся с частотой накачки.

модель

Модель Дике можно обобщить, рассмотрев влияние дополнительных членов в гамильтониане уравнения. 1 . Например, недавний эксперимент реализовал открытую модель Дике с независимо настраиваемыми вращающимися и противоположными вращающимися членами. Помимо сверхизлучательного перехода, эта обобщенная модель Дике может испытывать нестабильность генерации , которая была названа инвертированной генерацией или встречной генерацией . Этот переход вызван вращающимися в противоположных направлениях членами модели Дике и наиболее заметен, когда эти члены больше, чем вращающиеся.

Неравновесный сверхизлучательный переход и лазерная неустойчивость имеют ряд сходств и различий. Оба перехода относятся к типу среднего поля и могут быть поняты в терминах динамики одной степени свободы. Сверхизлучательный переход соответствует сверхкритической вилочной бифуркации , а лазерная неустойчивость соответствует неустойчивости Хопфа . Ключевое различие между этими двумя типами бифуркаций состоит в том, что первый приводит к двум устойчивым решениям, а второй приводит к периодическим решениям ( предельным циклам ). Соответственно, в сверхизлучательной фазе поле резонатора статично (в рамках поля накачки), а в фазе генерации оно периодически осциллирует.

См. также

• Модель Джейнса – Каммингса
• Суперсияние
• Сверхизлучательный фазовый переход
• Квантовая электродинамика резонатора
• Открытая квантовая система
• Пьяный

Ссылки

Эта статья была адаптирована из следующего источника под лицензией CC BY 4.0 ( 2020 г. ) ( отчеты рецензента ): Мор М Роуз; Эмануэле Далла Торре (4 сентября 2020 г.). «Модель Дике» . ПЛОС Один . 15 (9): e0235197. doi : 10.1371/JOURNAL.PONE.0235197 . ISSN   1932-6203 . ПМИД   32886669 . Викиданные   Q98950147 .