Сверхизлучательный фазовый переход

Схематический график параметра порядка перехода Дике, который равен нулю в нормальной фазе и конечен в сверхизлучательной фазе. На вставке показана свободная энергия в нормальной и сверхизлучательной фазах.

В квантовой оптике сверхизлучающий фазовый переход — это фазовый переход , который происходит в совокупности флуоресцентных излучателей (таких как атомы) между состоянием, содержащим мало электромагнитных возбуждений (как в электромагнитном вакууме ), и сверхизлучающим состоянием со множеством электромагнитных возбуждений, запертых внутри. излучатели. Состояние сверхизлучения становится термодинамически выгодным за счет сильных когерентных взаимодействий между эмиттерами.

Сверхизлучающий фазовый переход был первоначально предсказан моделью Дике сверхизлучения , которая предполагает , что атомы имеют только два энергетических уровня и что они взаимодействуют только с одной модой электромагнитного поля. Фазовый переход происходит, когда сила взаимодействия атомов с полем больше энергии невзаимодействующей части системы. (Это аналогично случаю сверхпроводимости в ферромагнетизме , что приводитк динамическому взаимодействию между ферромагнитными атомами и спонтанному упорядочению возбуждений ниже критической температуры.)Коллективный лэмбовский сдвиг , относящийся к системе атомов, взаимодействующих с вакуумными флуктуациями , становится сравнимым с энергиями одних только атомов, а вакуумфлуктуации вызывают самовозбуждение вещества.

Переход можно легко понять, используя преобразование Гольштейна-Примакова. применительно к двухуровневому атому . В результате этого преобразования атомы превращаются в Лоренца. гармонические осцилляторы с частотами, равными разности энергетических уровней. Затем вся система упрощается до системы взаимодействующих гармонических осцилляторов атомов и поля, известного как диэлектрик Хопфилда , которое далее предсказывает в нормальном состоянии поляроны для фотонов или поляритонов .Если взаимодействие с полем настолько сильно, что система коллапсирует в гармоническом приближении и появляются комплексные поляритонные частоты (мягкие моды), то физическая система с нелинейными членами высшего порядкастанет системой с потенциалом мексиканской шляпы и подвергнется сегнетоэлектрический фазовый переход. В этой модели система математически эквивалентна для одного режима возбуждения троянскому волновому пакету , когда напряженность циркулярно поляризованного поля соответствует константе электромагнитной связи. Выше критического значения оно меняется на неустойчивое движение ионизации .

Сверхизлучательный фазовый переход стал предметом широкой дискуссии относительно того, является ли он лишь результатом упрощенной модели взаимодействия вещества и поля; и может ли это произойти при реальных физических параметрах физических систем ( недопустимая теорема ). Однако как первоначальный вывод, так и более поздние поправки, приводящие к отсутствию перехода – из-за правила сумм Томаса – Райха – Куна, отменяющего для гармонического осциллятора необходимое неравенство невозможной отрицательности взаимодействия – были основаны на предположении, что квантовое поле операторы являются коммутирующими числами, а атомы не взаимодействуют со статическими кулоновскими силами. Как правило, это не так, как в случае с теоремой Бора – Ван Левена и классическим отсутствием диамагнетизма Ландау . Отрицающие результаты также были следствием использования простых квантово-оптических моделей взаимодействия электромагнитного поля и материи, но а не более реалистичные модели конденсированного вещества , такие как, например, модель сверхпроводимости БКШ , но с заменой фононов на фотоны, чтобы сначала получить коллективные поляритоны . Возврат перехода в основном происходит потому, что межатомные диполь-дипольные или вообще электрон-электронные кулоновские взаимодействия никогда не пренебрегаемы в конденсированном и тем более в сверхизлучательном режиме плотности вещества и унитарное преобразование Пауэра-Зинау, устраняющее квантовый векторный потенциал. в гамильтониане с минимальной связью преобразует гамильтониан точно к той форме, которая использовалась при его открытии, и без квадрата векторного потенциала, который, как позже утверждалось, предотвращал это. В качестве альтернативы в рамках полной квантовой механики, включая электромагнитное поле, обобщенное Теорема Бора – Ван Лювена не работает иэлектромагнитные взаимодействия невозможно устранить, пока они лишь изменяют $\mathbf {p} \cdot \mathbf {A}$ векторный потенциал, связанный с электрическим полем $\mathbf {x} \cdot \mathbf {E}$ связь и изменить эффективные электростатические взаимодействия. Это можно наблюдать в модельных системах, таких как конденсаты Бозе – Эйнштейна. и искусственные атомы.

Теория

Критичность линеаризованной модели Джейнса-Каммингса

Сверхизлучательный фазовый переход формально предсказывается критическим поведением резонансной модели Джейнса-Каммингса , описывающей взаимодействие только одного атома с одной модой электромагнитного поля.Начиная с точного гамильтониана модели Джейнса-Каммингса при резонансе.

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}\right),$

Применяя преобразование Гольштейна-Примакова для двух уровней спина, замена операторов повышения и понижения спина операторами для гармонических осцилляторов

${\hat {\sigma }}_{-}\approx {\hat {b}}$

${\hat {\sigma }}_{+}\approx {\hat {b}}^{\dagger }$

${\hat {\sigma }}_{z}\approx 2{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$

получаем гамильтониан двух связанных гармонических осцилляторов:

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {b}}^{\dagger }+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}+{\hat {a}}{\hat {b}}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }\right),$

которое легко диагонализовать.Постулирование его нормальной формы

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\Omega _{+}{\hat {A_{+}}}^{\dagger }{\hat {A_{+}}}+\Omega _{-}{\hat {A_{-}}}^{\dagger }{\hat {A_{-}}}+C$

где

${\hat {A_{\pm }}}=c_{\pm 1}{\hat {a}}+c_{\pm 2}{\hat {a}}^{\dagger }+c_{\pm 3}{\hat {b}}+c_{\pm 4}{\hat {b}}^{\dagger }$

получаем уравнение собственных значений

$[{\hat {A_{\pm }}},{\hat {H}}_{\text{JC}}]=\Omega _{\pm }A$

с решениями

$\Omega _{\pm }=\omega {\sqrt {1\pm {\frac {\Omega }{\omega }}}}$

Система коллапсирует, когда одна из частот становится мнимой, т.е. когда

$\Omega >\omega$

или когда связь атом-поле сильнее, чем частота моды и атомных осцилляторов.Хотя в истинной системе существуют физически более высокие члены, система в этом режиме, следовательно, будет подвергаться фазовый переход.

Критичность модели Джейнса-Каммингса

Упрощенный гамильтониан модели Джейнса-Каммингса, пренебрегающий членами, вращающимися в противоположных направлениях, имеет вид

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right),$

а энергии для случая нулевой расстройки равны

$E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega (n),$

$\Omega (n)=\Omega {\sqrt {n+1}}$

где $\Omega$ — частота Раби .Можно приближенно вычислить каноническую статистическую сумму

$Z=\sum _{\pm ,n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)}\approx \sum _{\pm }\int \mathrm {e} ^{-\beta E_{\pm }(n)}dn=\int \mathrm {e} ^{\Phi (n)}dn$,

где дискретная сумма заменена интегралом.

Обычный подход заключается в том, что последний интеграл вычисляется с помощью гауссова приближения вокругмаксимум показателя:

${\frac {\partial \Phi (n)}{\partial n}}=0$

$\Phi (n)=-\beta \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\log 2\cosh {\frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}$

Это приводит к критическому уравнению

$\tanh {\frac {\hbar \Omega (n)\beta }{2}}=4{\frac {\omega }{\Omega }}{\sqrt {n+1}}$

Это имеет решение только в том случае, если

$\Omega >4\omega$

это означает, что нормальная и сверхизлучательная фазы существуют только в том случае, если связь поля с атомом значительно сильнее. чем разница энергий между уровнями атома.При выполнении условия уравнение дает решение для параметра порядка $n$ в зависимости от обратного температура $1/\beta$, что означает режим неисчезающего упорядоченного поля.Аналогичные соображения можно провести и в истинном термодинамическом пределе бесконечного числа атомов.

Нестабильность классической электростатической модели.

Лучшее понимание природы сверхизлучательного фазового перехода, а также физического значения критического параметра, который необходимо превысить. Чтобы переход произошел, можно получить, изучая классическую устойчивость системы заряженных классических гармонических осцилляторов в трехмерном пространстве, взаимодействующих только с электростатическими силами отталкивания, например, между электронами в потенциале локально-гармонического осциллятора. Несмотря на оригинальную модель сверхизлучения, здесь полностью пренебрегают квантовым электромагнитным полем. Можно предположить, что осцилляторы размещены, например, на кубической решетке с постоянной решетки $a$ по аналогии с кристаллической системой конденсированного вещества.Предполагается худший сценарий дефекта отсутствия двух электронов, стабилизирующих внеплоскостное движение, у 6-х ближайших соседей выбранного электрона, при этом четыре ближайших электрона сначала предполагаются жесткими в пространстве и создавая антигармонический потенциал в направлении, перпендикулярном плоскости всех пяти электронов. Условием нестабильности движения выбранного электрона является то, что результирующий потенциал является суперпозициейпотенциал гармонического осциллятора и квадратично расширенный кулоновский потенциал четырех электронов отрицательны, т.е.

${\frac {m\omega ^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\times 4\times {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{a^{3}}}<0$

или

${\frac {e^{2}}{\pi \epsilon _{0}m\omega ^{2}}}{\frac {1}{a^{3}}}>1$

Искусственно сделав ее квантовой, умножив числитель и знаменатель дроби на $\hbar$ получается состояние

${\frac {2}{\pi }}{\frac {|D_{12}|^{2}}{E_{12}\epsilon _{0}}}\left({\frac {N}{V}}\right)>1$

где

$|D_{12}|^{2}={\frac {e^{2}\hbar }{2m\omega }}$

- квадрат силы дипольного перехода между основным состоянием и первым возбужденным состоянием квантового гармонического осциллятора ,

$E_{12}=\hbar \omega$

– энергетический разрыв между последовательными уровнями, также замечено, что

${\frac {1}{a^{3}}}={\frac {N}{V}}$

– пространственная плотность осцилляторов.Условие практически идентично полученному при первоначальном открытии сверхизлучательного фазового перехода при замене гармонических осцилляторов двухуровневыми атомами с одинаковым расстоянием между уровнями энергии, силой дипольного перехода и плотностью, что означает, что он происходит в режиме когда кулоновские взаимодействия между электронами преобладают над локально-гармоническим колебательным влиянием атомов. Это чувство свободы электронный газ с $\omega =0$также является чисто сверхизлучательным.

Критическое неравенство переписано, но по-другому

$\omega <{\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\pi \epsilon _{0}}}{\frac {N}{V}}}}\approx {\sqrt {{\frac {e^{2}}{m\epsilon _{0}}}{\frac {N}{V}}}}$

выражает тот факт, что сверхизлучательный фазовый переход происходит, когда частота связывающих атомных осцилляторов ниже электронного газа так называемая плазменная частота .

Внешние ссылки

• Старая Варшавская школа «Нет хода» сверхизлучательного фазового перехода , выступление медали Вигнера 2022 года, К. Ржонжевского бывшего аспиранта Иво Бялиницкого-Бирулы, лауреата