Правило сумм в квантовой механике

В квантовой механике правило сумм — это формула переходов между уровнями энергии, в которой сумма сил переходов выражается в простой форме. Правила сумм используются для описания свойств многих физических систем, включая твердые тела, атомы, атомные ядра и ядерные составляющие, такие как протоны и нейтроны.

Правила сумм выведены из общих принципов и полезны в ситуациях, когда поведение отдельных уровней энергии слишком сложно, чтобы его можно было описать с помощью точной квантово-механической теории. В общем, правила сумм выводятся с использованием квантово-механической алгебры Гейзенберга для построения операторных равенств, которые затем применяются к частицам или энергетическим уровням системы.

Вывод правил сумм

Предположим, что гамильтониан ${\hat {H}}$ имеет полныйнабор собственных функций $|n\rangle$ с собственными значениями $E_{n}$:

${\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

Для эрмитова оператора ${\hat {A}}$ мы определяемповторный коммутатор ${\hat {C}}^{(k)}$ итеративно:

${\begin{aligned}{\hat {C}}^{(0)}&\equiv {\hat {A}}\\{\hat {C}}^{(1)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {A}}]={\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}\\{\hat {C}}^{(k)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {C}}^{(k-1)}],\ \ \ k=1,2,\ldots \end{aligned}}$

Оператор ${\hat {C}}^{(0)}$ является эрмитовым, поскольку ${\hat {A}}$определяется как эрмитово. Оператор ${\hat {C}}^{(1)}$ являетсяантиэрмитовский:

$\left({\hat {C}}^{(1)}\right)^{\dagger }=({\hat {H}}{\hat {A}})^{\dagger }-({\hat {A}}{\hat {H}})^{\dagger }={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}=-{\hat {C}}^{(1)}.$

По индукции находим:

$\left({\hat {C}}^{(k)}\right)^{\dagger }=(-1)^{k}{\hat {C}}^{(k)}$

а также

$\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle =(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle .$

Для эрмитова оператора имеем

$|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle ^{\ast }=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle .$

Используя это соотношение, получаем:

${\begin{aligned}\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle &=\langle m|{\hat {A}}{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.\end{aligned}}$

Результат можно записать как

$\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle ={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}k{\mbox{ is even}}\\2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2},&{\mbox{if }}k{\mbox{ is odd}}.\end{cases}}$

Для $k=1$ это дает:

$\langle m|[{\hat {A}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]|m\rangle =2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.$

См. также

• Сила осциллятора
• Правила сумм (квантовая теория поля)
• Правила сумм КХД